Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Definição Um espaço vetorial é qualquer conjunto V onde podemos definir operações de soma e multiplicação por escalar que satisfazem as seguintes propriedades, para quaisquer u, v , w 2 V e ↵, 2 R: 1 u + v = v + u; Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Definição Um espaço vetorial é qualquer conjunto V onde podemos definir operações de soma e multiplicação por escalar que satisfazem as seguintes propriedades, para quaisquer u, v , w 2 V e ↵, 2 R: 1 u + v = v + u; 2 u + (v + w ) = (u + v ) + w ; 3 u + 0 = 0 + u; Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Definição Um espaço vetorial é qualquer conjunto V onde podemos definir operações de soma e multiplicação por escalar que satisfazem as seguintes propriedades, para quaisquer u, v , w 2 V e ↵, 2 R: 1 u + v = v + u; 2 u + (v + w ) = (u + v ) + w ; 3 u + 0 = 0 + u; 4 u + ( u) = 0; 5 ↵( u) = (↵ )u; Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Definição Um espaço vetorial é qualquer conjunto V onde podemos definir operações de soma e multiplicação por escalar que satisfazem as seguintes propriedades, para quaisquer u, v , w 2 V e ↵, 2 R: 1 u + v = v + u; 2 u + (v + w ) = (u + v ) + w ; 3 u + 0 = 0 + u; 4 u + ( u) = 0; 5 ↵( u) = (↵ )u; 6 ↵(u + v ) = ↵u + ↵v ; 7 (↵ + )u = ↵u + u; Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplo O conjunto das matrizes n ⇥ m com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é uma espaço vetorial. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplo O conjunto das matrizes n ⇥ m com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, é uma espaço vetorial. O conjunto das funções reais é um espaço vetorial, definindo as seguintes operações: (f + g )(x) = f (x) + g (x) (↵f )(x) = ↵f (x). O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes reais, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é uma espaço vetorial. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exercı́cio: O conjunto R2 , definido como o conjunto de todas as ordenadas de números reais: R2 = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 2 R}, com as operações de soma e multiplicação por escalar: (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + x2 , 0) ↵(x1 , x2 ) = (↵x1 , ↵x2 ) é um espaço vetorial? Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Subespaços Vetoriais Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Subespaços Vetoriais Definição Dado um espaço vetorial V. Um subconjunto não vazio W ⇢ V é um subespaço vetorial de V se satisfaz as duas condições seguintes: Se v , w 2 W, então v + w 2 W também; Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos A esfera não é um subespaço vetorial de R3 ; Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos A esfera não é um subespaço vetorial de R3 ; O subconjunto formado por duas retas que se encontram na origem não é um subespaço vetorial de R2 ; O conjunto solução de um sistema linear homogêneo AX = 0 é um subespaço vetorial. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos A esfera não é um subespaço vetorial de R3 ; O subconjunto formado por duas retas que se encontram na origem não é um subespaço vetorial de R2 ; O conjunto solução de um sistema linear homogêneo AX = 0 é um subespaço vetorial. O conjunto W = {(x, y , 0) : x, y 2 R} é um subespaço vetorial de R3 ? A Resposta é sim! Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Combinações Lineares Definição Se v , w são vetores, tais que w = ↵v para algum escalar ↵, dizemos que w é um múltiplo escalar de v . Dizemos que v é uma combinação linear dos vetores v1 , ..., vk se existem escalares ↵1 , ..., ↵k tais que v = ↵1 v1 + ... + ↵k vk . Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Sejam v1 = (4, 1, 3, 5) e v2 = (1, 0, 2, 3) vetores de R4 . O vetor v = (1, 0, 1, 6) é combinação linear de v1 e v2 ? Não. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Sejam v1 = (4, 1, 3, 5) e v2 = (1, 0, 2, 3) vetores de R4 . O vetor v = (1, 0, 1, 6) é combinação linear de v1 e v2 ? Não. Escreva v = (5, 2, 12, 1) como combinação linear de v1 e v2 . 0 é sempre combinação linear de quaisquer vetores. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Independência Linear Definição Dizemos que um conjunto S = {v1 , ..., vk } de vetores é linearmente independente (L.I.) se os únicos escalares ↵1 , ..., ↵k que satisfazem ↵1 v1 + ... + ↵k vk = 0 são ↵1 = ↵2 = ... = ↵k = 0. Caso contrário, dizemos que S é linearmente dependente (L. D.). Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Um conjunto S = {v1 } formado por um único vetor não-nulo é sempre L. I. Qualquer conjunto S que contenha o vetor nulo é L. D. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Um conjunto S = {v1 } formado por um único vetor não-nulo é sempre L. I. Qualquer conjunto S que contenha o vetor nulo é L. D. Um conjunto S = {v1 , v2 } formado por dois vetores é L. D. se somente se um é múltiplo escalar do outro. Os vetores v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (5, 6, 7, 8) e v3 = (6, 8, 10, 12) são L. I. ou L.D? Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Vetores Geradores Definição Dizemos que um conjunto S = {V1 , ..., Vk } de vetores de um subespaço W, gera W se todo vetor de W é uma combinação linear dos vetores de S. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos O subespaço W = {(a, b, a + b) : a, b 2 R} é gerado pelos vetores V1 = (1, 0, 1) e V2 = (0, 1, 1), pois todo vetor de W é dado por Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos O subespaço W = {(a, b, a + b) : a, b 2 R} é gerado pelos vetores V1 = (1, 0, 1) e V2 = (0, 1, 1), pois todo vetor de W é dado por (a, b, a + b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) . Os vetores V1 = (1, 1, 2), V2 = (0, 1, 1) e V3 = (1, 0, 1) não geram R3 . Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Base Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Base Definição Dizemos que um subconjunto B = {V1 , ..., Vk } é uma base para o subespaço W se: B gera W, e Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Os vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) formam uma base para R3 . Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Os vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) formam uma base para R3 . Os vetores (2, 1, 0, 0) e (1, 0, 1, 1), geradores do subespaço de R4 considerado no Exemplo 15 são L. I., logo eles formam uma base para este subespaço. Se {V1 , ..., Vk } e {W1 , ..., Wl } são duas bases de um subespaço W, então k = l. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Dimensão Definição A dimensão de um subespaço W é o número de vetores de qualquer uma de suas bases, denotada dim W. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Seja W um subespaço de dimensão m. Se {V1 , ..., Vm } é L.I., então {V1 , ..., Vm } é uma base para W. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Produto Escalar em Rn Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Produto Escalar em Rn Definição O produto escalar de dois vetores v = (v1 , ..., vn ), w = (w1 , ..., wn ) de Rn é definido por v .w = v1 w1 + ... + vn wn . A norma de um vetor v = (v1 , ..., vn ) de Rn é definida por p kv k = v .v Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Produto Escalar em Rn Definição O produto escalar de dois vetores v = (v1 , ..., vn ), w = (w1 , ..., wn ) de Rn é definido por v .w = v1 w1 + ... + vn wn . A norma de um vetor v = (v1 , ..., vn ) de Rn é definida por p kv k = v .v v é um vetor unitário de Rn se kv k = 1. Dois vetores v e w são ditos ortogonais se v .w = 0. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Propriedades do Produto Escalar Se U, V , W são vetores de Rn , e ↵ é um escalar, então: V .W = W .V U.(V + W ) = U.V + U.W Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Propriedades do Produto Escalar Se U, V , W são vetores de Rn , e ↵ é um escalar, então: V .W = W .V U.(V + W ) = U.V + U.W ↵(V .W ) = (↵V ).W = V .(↵W ) V .V = kV k2 0 e kV k = 0 se e somente se V = 0. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Propriedades do Produto Escalar Se U, V , W são vetores de Rn , e ↵ é um escalar, então: V .W = W .V U.(V + W ) = U.V + U.W ↵(V .W ) = (↵V ).W = V .(↵W ) V .V = kV k2 0 e kV k = 0 se e somente se V = 0. |V .W | kV k kW k kV + W k kV k + kW k Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Bases Ortonormais Sejam V1 , ..., Vk vetores não nulos de Rn ortogonais dois a dois, isto é, Vi .Vj = 0 para 8i 6= j. Então V1 , ..., Vk são L. I. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Considere dois vetores v , w como na figura: v2 v v1 w Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplos Considere dois vetores v , w como na figura: v2 v v1 w O vetor v 1 é chamado a projeção ortogonal de v sobre w e é denotado por projw v . O vetor v projw v é ortogonal a w Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Mudança de base Coordenadas de um vetor A origem O = (0, 0, 0) e os vetores i, j, k da base canônica de R3 determinam um sistema de coordenadas: se as coordenadas de um ~ = xi + yj + zk ponto P no espaço são (x, y , z), então OP Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Mudança de base Dado ponto O 0 como origem e outra base U1 , U2 , U3 de R3 , terı́amos novas coordenadas de P neste outro sistema de coordenadas, ou seja, O~0 P = x 0 U1 + y 0 U2 + z 0 U3 Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplo Seja P = ( 1, 3, 2) um ponto de R3 , em coordenadas canônicas. Determine as coordenadas de P no sistema de coordenadas {O 0 , U1 , U2 , U3 } que tem como origem o ponto O 0 = (1, 1, 1) e como base os vetores U1 = (1, 1, 0), U2 = (1, 1, 2), U3 = (1, 1, 1) Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplo Seja P = ( 1, 3, 2) um ponto de R3 , em coordenadas canônicas. Determine as coordenadas de P no sistema de coordenadas {O 0 , U1 , U2 , U3 } que tem como origem o ponto O 0 = (1, 1, 1) e como base os vetores U1 = (1, 1, 0), U2 = (1, 1, 2), U3 = (1, 1, 1) Solução: O~0 P = P O 0 = ( 2, 4, 3) Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Exemplo Seja P = ( 1, 3, 2) um ponto de R3 , em coordenadas canônicas. Determine as coordenadas de P no sistema de coordenadas {O 0 , U1 , U2 , U3 } que tem como origem o ponto O 0 = (1, 1, 1) e como base os vetores U1 = (1, 1, 0), U2 = (1, 1, 2), U3 = (1, 1, 1) Solução: O~0 P = P O 0 = ( 2, 4, 3) O~0 P = (1, 1, 0) + 0(1, 1, 2) 3(1, 1, 1) Assim P = (1, 0, 3) neste sistema de coordenadas. Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Matriz de mudança de coordenadas da base {O, E1 , E2 , E3 } para a base {O, U1 , U2 , U3 } Dado um ponto P tem coordenadas (x, y , z) em {O, E1 , E2 , E3 }. ~ = P O em {O, E1 , E2 , E3 }, temos Então OP ~ = xE1 + yE2 + zE3 OP Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Assim, escrevendo E1 , E2 , E3 em função de U1 , U2 , U3 , tal que Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Assim, escrevendo E1 , E2 , E3 em função de U1 , U2 , U3 , tal que E1 = a11 U1 + a21 U2 + a31 U3 E2 = a12 U1 + a22 U2 + a32 U3 E3 = a13 U1 + a23 U2 + a33 U3 Temos ~ = x(a11 U1 +a21 U2 +a31 U3 )+y (a12 U1 +a22 U2 +a32 U3 )+z(a13 U1 +a23 U2 +a33 U3 ) OP Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Segue que ~ = (xa11 +ya12 +za13 )U1 +(xa21 +ya22 +za23 )U2 +(xa31 +ya32 +za33 )U3 OP As coordenadas (x 0 , y 0 , z 0 ) de P em relação ao sistema {O 0 , U1 , U2 , U3 } Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear Matrizes Sistemas de Equações Lineares Espaços Vetoriais Transformações Lineares Combinações Lineares e Independência Linear Vetores Geradores, Bases e Dimensão Mudança de base Segue que ~ = (xa11 +ya12 +za13 )U1 +(xa21 +ya22 +za23 )U2 +(xa31 +ya32 +za33 )U3 OP As coordenadas (x 0 , y 0 , z 0 ) de P {O 0 , U1 , U2 , U3 } 0 01 0 x a11 @y 0 A = @a21 z0 a31 Matriz mudança 0 a11 a12 A = @a21 a22 a31 a32 em relação ao sistema a12 a22 a32 10 1 a13 x a23 A @y A a33 z de base 1 a13 a23 A a33 Gladston Juliano Prates Moreira email: [email protected] MTM112 - Introdução a Álgebra Linear
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