Análise
Combinatória
Prof. Marlon
ANÁLISE COMBINATÓRIA é uma
parte da matemática que estuda os
agrupamentos de elementos sem
precisar de enumerá-los.
A origem desse assunto está ligada ao
estudo dos jogos de azar, tais como:
lançamento de dados, jogos de cartas,
etc.
Atualmente, a estimativa de acertos
em jogos populares como: loteria
esportiva, loto, loteria federal, etc.,
além de utilizações mais específicas,
como confecções de horários, de
planos de produção, de números de
placas de automóveis etc.
FATORIAL É UMA OPERAÇÃO !
Ex.: 2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Convenção 0! = 1
1! = 1
ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
5! = 5.4.3.2.1 = 120
4! = 4.3.2.1 = 24
3! = 3.2.1 = 6
2! = 2.1 = 2
1! = 1
CONVENÇÃO
0! = 1
n! = n.(n  1) . (n  2) . (n  3). .... 2 . 1
Exemplo: Calcular o valor de:
a) 4! + 3!
24 + 6
30
10! 10. 9.8! = 90
=
c)
8!
8!
b) 7!
7.6.5.4.3.2.1
5040 Observe que:
4!+3!  7!
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1).(n – 2).(n – 3)....
(n + 1)! = (n + 1).n.(n – 1)!
d)
50!49! O conjunto solução de: Determine a soma dos valores
49!
50.49!– 49!
49!
(n  1)!
 210 é:
(n  1)!
(n  1)!
 210
(n  1)!
de m que satisfazem a
equação (m – 3)! = 1
(m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0!
m–3=1
m=4
m–3=0
m=3
49! (50 – 1) (n + 1).n.(n – 1)!
= 210
(n – 1)!
49!
Logo a soma dos valores de m
49
(n + 1).n = 210
n2 + n – 210 = 0
n’ = 14
n’’ = - 15
(n tem que ser natural)
é7
Observação: n! = n (n – 1)!
Ex.: 8! = 8 . 7!
10! = 10 . 9!
Exemplo:Simplificar a expressão:
100! 100  99  98!

 9900
98!
98!
( x  1)!
 56.
Resolva a equação:
( x  1)!
( x  1)!
( x  1)(x)(x  1)!
 56 
 56  ( x  1)(x)  56
( x  1)!
( x  1)!
 1  225
x  x  56  x  x  56  0  x 
2
x  7
 1  15
x

2
x  -8
2
2
Resposta: x = 7, pois não existe fatorial de
um número negativo
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE
CONTAGEM – Princípio da Multiplicação
Árvore de possibilidades – princípio geral que pode ser
usado para se resolver muitos problemas de contagem.
EXEMPLO:
Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa
e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo, um
verde e um branco. Quantos conjuntos diferentes a criança
pode ter?
R
A
{R, A}
V
P
B
{R, V} {R, B}
A
{P, A}
Escolha da bala
V
B
{P, V}
{P, B}
Escolha do chiclete
Trocando a seqüência de eventos:
A
R
{A, R}
P
{A, P}
V
R
{V, R}
B
P
{V, P}
R
{B, R}
Escolha do chiclete
P
Escolha da bala
{B, P}
Número de possibilidades é o mesmo: 2 x 3 = 3 x 2 = 6.
Princípio da Multiplicação
Se existem n1 resultados possíveis para um
primeiro evento e n2 para um segundo,
então existem n1 . n2 resultados possíveis
para a seqüência de dois eventos.
EXEMPLO:
A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos.
Quantos desses números de quatro dígitos existem?
10 . 10 . 10. 10 = 10000 números diferentes
EXEMPLO:
Com relação ao Ex.23, quantos números de quatro dígitos
existem se um mesmo dígito não puder ser repetido?
10 . 9 . 8 . 7 = 5040 números diferentes
EXEMPLO:
a) De quantas maneiras podemos escolher três representantes
em um grupo de 25 pessoas?
25 . 24 . 23 =
13800
b) De quantas maneiras podemos escolher três representantes,
para três comissões, um para cada comissão, em um grupo
de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais
25 . 25 . 25 =
de uma comissão?
15625
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias,
de quantas maneiras ela poderá se vestir?
A escolha de uma camisa poderá ser feita de
cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira
camisa poderá escolher uma das quatro saias.
Portanto, o número total de escolhas será:
4 x 5 = 20
02. Uma moeda é lançada três vezes.
Qual o número de seqüências
possíveis de cara e coroa?
Indicaremos por C o resultado cara e K
o resultado coroa.
Queremos o número de triplas
ordenadas(a,b,c) onde a  {C,K},b 
{C,K} e c  {C,K}, logo, o resultado
procurado é
2.2.2 = 8
Pelo o Diagrama da
Árvore
C
C
C–C–C
K
C–C–K
C
C–K–C
K
C–K–K
C
K
C
K–C–C
K
K–C–K
C
K–K–C
K
K–K-K
C
K
K
03. Quantos números de 3 algarismos
podemos formar com os algarismos
significativos (1 a 9)?


9
x
9

x
9 = 729 números
E se fossem com algarismos distintos?
9
x
8
x
7 = 504 números
04. Quantos números de quatro algarismos
distintos podemos formar no sistema de
numeração decimal?
Resolução:
Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
9
x
9
x
8
x
7
O número não começar por 0 (zero), logo:
9 . 9 . 8. 7 = 4.536
Resposta: 4.536 números
05. Em uma corrida de 6 carros,
quantas são as possibilidades do 1º, 2º
e 3º lugares?
1º lugar 2º lugar

6
3º lugar

x
5

x
4
= 120 possib.
06. Quantos são os divisores de 72?
Os divisores de 72 são do tipo 2x . 3y
(pois 72 = 23.32) onde: x  {0, 1, 2, 3} e
y  {0, 1, 2}.
Logo teremos: 4 possibilidades para a
escolha do expoente x e 3
possibilidades para a escolha do
expoente y.
Total: 4 x 3 = 12
07. Quantos resultados podemos obter na
loteria esportiva?
Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos
temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.
Pelo P.F.C., teremos:
Jogo 1
Jogo 2
C1 Cm C2
3
...
C1 Cm C2
x
3
Jogo 14
C1 Cm C2
x ... x
3
= 314
EM RESUMO:
1º) Quantas escolhas devem ser feitas.
2º) Quantas opções cada escolha tem.
3º) Multiplicar tudo!
 Se o problema não depender da ordem
(por exemplo: comissões, escolhas, jogos,
equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão,
casais, grupos, etc.) dividimos o resultado
pelo fatorial das escolhas.
08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a
cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à
cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C,
passando por B. De quantos modos
diferentes a pessoa poderá fazer essa
viagem?
Resolução:
de A para B = 3 possibilidades
de B para C = 4 possibilidades
Logo, pelo princípio fundamental de contagem,
temos: 3 . 4 = 12
Resposta: 12 modos
09. A placa de um automóvel é formada
por duas letras seguidas por um número
de quatro algarismos. Com as letras A e R
e os algarismos ímpares, quantas placas
diferentes podem ser constituídas, de
modo que o número não tenha algarismo
repetido?
Resolução:
Placa:
2
. 2
.
5
. 4
. 3
. 2
Pelo princípio fundamental da contagem, temos:
2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480
Resposta: 480 placas
10. Quantos números de três
algarismos distintos podemos formar
com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7?
5
x
4
x
3
 5 x 4 x 3 = 60
Respostas: 60 números
11. Com os algarismos de 1 a 9,
quantos números de telefone podem
formar-se com 6 algarismos, de
maneira que cada número tenha
prefixo 51 e os restantes sejam
números todos diferentes, inclusive
dos números que formam o prefixo?
Resolução:
Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Prefixo 
7 x 6 x 5 x 4
colocando-se o prefixo 51, restam 7
algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840
Resposta: 840 números
12. Um tabuleiro especial de xadrez
possui 16 casas dispostas em 4
linhas e 4 colunas. Um jogador
deseja colocar 4 peças no tabuleiro,
de tal forma que, em cada linha e
cada coluna, seja colocada apenas
uma peça. De quantas maneiras as
4 peças poderão ser colocadas?
Resolução:
Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras.
Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente,
4 e 1 maneiras.
Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576
Resposta: 576 maneiras
13. Um torneio esportivo entre duas escolas
será decidido numa partida de duplas mistas
de tênis. A Escola E inscreveu nesta
modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe
de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes
e 3 moças. Calcule de quantas maneiras
poderemos escolher os quatro jogadores
que farão a partida decisiva, sabendo que
uma das jogadoras da equipe E não admite
jogar contra seu namorado, que faz parte da
equipe F.
Resolução:
Cálculo da quantidade de maneiras de formação
das equipes:
Escola E  6. 4 = 24 maneiras
Escola F  5 . 3 = 15 maneiras
Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos
de: 24 . 15 = 360 maneiras.
Excluindo os casos nos quais os namorados jogam
entre si, que são em números de:
(6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos:
360 – 18 = 342
Resposta: 342 maneiras
14. De quantos modos pode-se pintar as
faces laterais de uma pirâmide pentagonal
regular, utilizando-se oito cores diferentes,
sendo cada face de uma única cor?
Resolução:
Supondo-se que todas as cinco faces laterais da
pirâmide sejam pintadas com cores diferentes
duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o
número de modos de pintar suas faces laterais,
utilizando 8 cores diferentes, será dado por:
8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720
Resposta: 6.720 modos
15) (Cesgranrio-2005) A senha de certo cadeado é
composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou
não. Somando-se os dois primeiros algarismos
dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois
últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga
tais informações abrirá esse cadeado em no
máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O
valor de n é igual a:
a) 9
b) 15
c) 20
d) 24
e) 30
Resolução:
Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9
Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou
seja, 04 opções;
Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e
1, ou seja, 05 opções.
Total de tentativas : 04 x 05 = 20
Portanto n = 20 tentativas.
16. Observe o diagrama
O número de ligações distintas entre X e Z
é:
a) 39
b) 41
c) 35
d) 45
Resolução:
Possíveis caminhos
XRZ = 3.1 = 3
XRYZ = 3.3.2 = 18
XYZ = 1.2 = 2
XSYZ = 3.2.2 = 12
XSZ = 3.2 = 6
Total = 41
(Princípio da ADIÇÃO)
O Princípio da Adição
Suponha que queremos selecionar uma sobremesa entre
três tortas e quatro bolos. De quantas maneiras isso pode
ser feito?
O número de escolhas possíveis é o número total de
escolhas que temos, 3 + 4 = 7.
Princípio da Adição
Se A e B são eventos disjuntos com n1 e n2 resultados
possíveis, respectivamente, então o número total de
possibilidades para o evento “A e B” é n1 + n2.
Exemplo:
Um consumidor deseja comprar um veículo de uma
concessionária. A concessionária tem 23 automóveis e 14
caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis o
consumidor tem?
Se fosse o mesmo número de veículos mais 17 veículos
vermelhos, não seria 23 + 14 + 17. Conjuntos não disjuntos!
23 + 14 = 37
Usando os dois Princípios Juntos
Exemplo:
Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma
rosa e uma preta, e um entre três chicletes, um amarelo,
um verde e um branco. Suponha que, neste caso,
queremos encontrar de quantas maneiras diferentes a
criança pode escolher o doce, ao invés do número de
conjuntos de doces que ela pode ter.
6 + 6 = 12
Exemplo:
Quantos números de quatro dígitos começam com 4 ou 5?
1000 + 1000 = 2000
Exemplo:
Considere novamente o problema do Exemplo anterior.
Vamos evitar usar o princípio da adição.
2 . 10 . 10 . 10 = 2000
17. A quantidade de números de três
algarismos, maiores que 500, que podem ser
formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com
repetição, é igual a:
a) 10
b) 20
Resolução:
c) 48
é um problema em que o português é
d) 52
quem manda, a maioria das pessoas
e) 100 cometeriam o erro de fazer o cálculo:
4 x 5 x 5 = 100 (errado!)
Porém, quando o problema fala com
repetição, os algarismos devem ser
repetidos,assim:
Nº com algarismos repetido mais nº com
algarismos distintos é igual ao total de nº que
podem ser formados Usando o P.F.C. teremos:
Nº com algarismos repetidos = x
Nº com algarismos distintos = 4.4.3 = 48
Total de nº formados = 4.5.5 = 100
Portanto, x + 48 = 100
Resposta : Letra D.
x = 52
18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma
sala serão ocupadas por dois alunos. O
número de maneiras distintas possíveis
que esses alunos terão para escolher
duas das cinqüenta cadeiras, para ocupálas, é:
a) 1225
b) 2450
c) 250
Resolução:
d) 49!
50 x 49 = 2450
19. Com relação a palavra BRASIL, quantos
anagramas podemos formar:
a) No total?
Resolução: 6! = 720
b) Começados por BR?
Resolução: 4! = 24  |BR| 4.3.2.1
c) Começando por vogal e terminando em
consoante ?
Resolução: 2.4.3.2.1.4 = 192
d) Com as letras BR juntas nesta ordem?
Resolução:
BR juntas significa que formarão uma única
letra, logo o anagrama será composto de 5
letras, portanto a resposta é:
5! = 120
e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem?
Resolução:
Em qualquer ordem, teremos:
5! . 2 = 240
f) Quantos anagramas podemos formar
com a palavra ARARA?
5! 120

 10
3!2! 6.2
g) E com a palavra ITATIAIA ?
8!
3!3!2!
h) E com a palavra APROVADO ?
8!
2!2!
20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e
2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma
sem reposição. Quantas seqüências de
cores podemos observar?
Resolução: É como se fosse uma seqüência
de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em
qualquer ordem faremos como se fosse um
anagrama com repetição, ou seja,
5!
 10
3!.2!
21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões
segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do
ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo
caminho mais curto, isto é movendo–se da
esquerda para direita, ou de baixo para cima.
Nessas
condições,
quantos
caminhos
diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas
“horizontais” e 3 “verticais”?
Resolução:
P.
Idem solução anterior,
.Q é uma anagrama com
repetição do tipo:
DDDDCCC, ou seja:
7!
 35
4!.3!
22.O número de anagramas que podem
ser formados com as letras da palavra
APOSTA e que não apresentam as letras A
juntas é:
Resolução:
a) 120
TOTAL – A juntas = A separadas
b) 240
c) 360
6!
 5!
d) 480
2!
e) 600
720
 120
2
360  120
240
23.O jogo da Sena consiste em acertar 6
dezenas sorteadas entre 60. O número de
possíveis resultados está entre:
a) 15.000.000 e 25.000.000
b) 25.000.000 e 35.000.000
c) 35.000.000 e 45.000.000
d) 45.000.000 e 55.000.000
Resolução:
60 59 58 57 56 55
      50.063.860
6 5 4 3 2 1
24.Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles,
8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2.
Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao
sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling
Stones e 3 do U2. O número de modos
distintos de se escolherem os discos é:
a) 12
Resolução:
b) 42
c) 160 Beatles x Rol. Stones x U2
8 7
4 3 2
d) 1.120 5 4

x

x


e) 1.200 2 1
2 1
3 2 1
1120
25.Se existem 11 pessoas em uma sala e
cada pessoa cumprimenta todas as
outras uma única vez, o número de
apertos de mão dados será igual a:
a) 55
b) 65
Resolução:
c) 110
11 10
d) 121
Precisamos de mãos :
  55
2 1
26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente
que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes
de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo
sete tipos diferentes de exercícios adequados a
esse tratamento. Ao começar o tratamento, o
paciente resolve que, a cada dia, sua escolha
dos três exercícios será distinta das escolhas
feitas anteriormente. O número máximo de dias
que o paciente poderá manter esse procedimento
é:
a) 35
b) 38
Resolução:
c) 40
d) 42
7 6 5
   35
3 2 1
27. De quantas maneiras distintas
podemos distribuir 10 alunos em 2 salas
de
aula,
com
7
e
3
lugares,
respectivamente?
a) 120
Resolução: Basta escolhermos 3 e os
b) 240
c) 14.400 outros irão para a outra sala;
d) 86.400
e) 3.608.800
10 9 8
   120
3 2 1
28.O número de múltiplos de 10,
compreendidos entre 100 e 9999 e com
todos os algarismos distintos é:
a) 250
Resolução:
b) 321
Para ser múltiplo de 10 o zero tem que
c) 504
estar fixo na casa das unidades, portanto:
d) 576
9 8
0  72
9  8  7 0  504
t ot al 576
29.Uma sala tem 6 lâmpadas com
interruptores independentes. O número
de modos de iluminar essa sala,
acendendo pelo menos uma lâmpada é:
a) 63
Resolução:
b) 79
c) 127 Sabemos que a condição para iluminar
a sala é que pelo menos uma lâmpada
d) 182
esteja acesa.As opções de cada
e) 201 lâmpada são: acesa e apagada, logo:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1
(todas apagadas) = 63
30. O código Morse usa “palavras” contendo
de 1 a 4 “letras”. As “letras” são
representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-).
Deste modo, a quantidade de “palavras”
possíveis através do código Morse é:
a) 16
b) 64 Resolução:
2 (1 letra)
c) 30 Pode-se
formar
d) 8
palavras de uma, duas 2.2  4 (2 letras)
e) 36 , três ou quatro letras 2.2.2  8 (3 letras)
e as opções por letra
são duas (ponto ou
traço), logo:
2.2.2.2  16 (4 letras)
total 30
31. O número de maneiras de se
distribuir 10 objetos diferentes em duas
caixas diferentes, de modo que
nenhuma caixa fique vazia, é:
a) 45
b) 90
c) 1022
d) 101
Resolução:
São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022
(opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)
32.(BB/2007) Considere que o BB tenha
escolhido alguns nomes de pessoas para
serem usados em uma propaganda na
televisão, em expressões do tipo Banco
do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha,
também, que a quantidade total de
nomes escolhidos para aparecer na
propaganda seja 12 e que, em cada
inserção da propaganda na TV, sempre
apareçam somente dois nomes distintos.
Nesse caso, a quantidade de inserções
com pares diferentes de nomes distintos
que pode ocorrer é inferior a 70.
Resolução:
É uma questão de análise combinatória onde
usaremos o princípio fundamental de
contagem:
Devemos fazer duas escolhas dentre as 12
pessoas disponíveis, ou seja:
12 11
x  66 pares diferentes,
2 1
ou , C12, 2
12!

 66
10!.2!
portanto o item está correto.
33.(BB/2007)Considere
que
um
decorador deva usar 7 faixas
coloridas de dimensões
iguais,
pendurando-as
verticalmente
na
vitrine de uma loja para produzir
diversas formas. Nessa situação, se 3
faixas são verdes e indistinguíveis, 3
faixas são amarelas e indistinguíveis e
1 faixa é branca, esse decorador
conseguirá produzir, no máximo, 140
formas diferentes com essas faixas
Resolução:
É um problema de permutação repetida
onde as cores são como letras e o total
de faixas(7) como uma palavra de 07
letras, ou seja:
7
3,3
P
7!

 140 formas,
3!.3!
portanto o item está correto.
34. Há exatamente 495 maneiras
diferentes de se distribuírem 12
funcionários de um banco em 3
agências, de modo que cada agência
receba 4 funcionários.
Resolução:
1ª agência
x 2ª agência x 3ª agência
12 11 10 9 8 7 6 5
4 3 2 1
      
    
4 3 2 1 4 3 2 1
4 3 2 1
495 701  34650
35. Se 6 candidatos são aprovados
em um concurso público e há 4
setores distintos onde eles podem
ser lotados, então há, no máximo, 24
maneiras de se realizarem tais
lotações.
Resolução:
4.4.4.4.4.4 = 46, maneiras,
portanto o item está errado
36.(UFMG-2006) A partir de um grupo de
oito pessoas, quer-se formar uma
comissão
constituída
de
quatro
integrantes.
Nesse
grupo,incluem-se
Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se
relacionam um com o outro. Portanto, para
evitar problemas, decidiu-se que esses
dois,juntos, não deveriam participar da
comissão
a
ser
formada.
Nessas
condições, de quantas maneiras distintas
se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
RESOLUÇÃO:
Total de comissões – comissões (Gustavo
e Danilo juntos)
8 7 6 5 6 5
. . .  .
4 3 2 1 2 1
70  15
55
SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO
NEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃO
LINEAR
Ex.: Considere a equação linear
x + y = 5, quantas soluções inteiras
não negativas podemos obter:
(0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0),
portanto teremos 6 soluções inteiras
não negativas.
Considere agora a equação
x+y+z=7
resolvendo por tentativa, o trabalho
será muito grande , e corremos o
risco de esquecer alguma solução.
Temos que dividir 7 unidades em 3
partes ordenadas, de modo que fique
em cada parte um número maior ou
igual a zero.
Indicaremos cada unidade por uma
bolinha e usaremos a barra para fazer
a separação, que corresponde aos
sinais de adição:
Logo teremos uma permutação com
elementos repetidos (como em
AARAARAAA), assim:
P
7,2
9
9!

 36
7!2!
Portanto existem 36 soluções inteiras
positivas para a equação.