Estatística Geral
Ferramentas Matemáticas usadas em
Probabilidade
(Análise Combinatória)
Bibliografia
Cap. II – Nazareth, H.Curso Básico de Estatística.
Cap. XXVI –Dante, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações .
Cap. VI – Spiegel, M. R.Estatística.
ICET/CUA/UFMT
Profº: Glauco Vieira de Oliveira
Análise Combinatória
Introdução
Analise a seguinte situação-problema:
– Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas
diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada
uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro
algarismos (repetidos ou não)?
Resposta Geral: Problemas como estes constituem o que chamamos de PROBLEMAS DE CONTAGEM
Princípio da multiplicação
(princípio fundamental da contagem)
Analise a seguinte situação-problema:
– Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São
Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São
Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto
Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa
pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
–
Resposta Geral: Dizemos que a viagem de Recife a Porto Alegre é um evento composto de DUAS ETAPAS
SUCESSIVAS E INDEPENDENTES
Análise Combinatória
ESQUEMA: Viagem de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo
A
A
1
2
3
B
B
A
5
B
C
C
C
D
D
D
A
A
4
B
B
C
C
D
D
OU
1
A
2
Recife
3
4
São
Paulo
B
Porto Alegre
C
D
5
5 possibilidades
4 possibilidades
Resposta: 5 . 4 = 20 Possibilidades: 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 2A, 2B, 2C, ....5D
Principio fundamental da contagem
Generalizando
 1) Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e
independentes de tal maneira que o n° de possibilidades na 1ª
etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o nº de
possibilidades na 2ª etapa é n, então o nº de possibilidades de
o evento ocorrer é dado pelo produto m . n
Exercícios
1- Ao lançarmos uma moeda e um dado, quais são os resultados
possíveis?
2- Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos
quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades
temos para fazer uma refeição com uma salada, um prato quente
e uma sobremesa?
3. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a) Quantos nºs de 3 algarismos podemos formar?
b) Quantos nºs de 3 algarismos distintos podemos formar?
Permuta Simples
Permutar = trocar, embaralhar.
Exemplo 1: Quantos são os anagramas (diferentes disposições das
letras de uma palavra) da palavra ANEL?
__ __ __ __
→
4 . 3 . 2 . 1 = 24 Possibilidades
Exemplo 2: de quantas maneiras podem 3 pessoas ocupar 3 lugares?
– Considerando Pessoas (A, B e C) e Lugares ( L1, L2 e L3)
L1
L2
L3
Iniciando em A temos 3 possibilidades:
A na 1ª posição
L1
L2
L3
A na 2ª posição
L1
A
L2
L3
A na 3ª posição
L1
L2
A
B
C
B
C
B
A
C
ou
ou
C
L3
B
C
ou
B
C
B
2 possibilidades de
escolha para cada
posição de A
Permuta Simples
Conclusão do exemplo 2: são 6 as possíveis maneiras de 3 pessoas
ocuparem 3 lugares
– Observação: há seis possibilidades de escolha. Para cada um dos três
lugares ocupados pela 1ª pessoa, há duas opções para a segunda
pessoa e apenas uma opção para a 3ª.
Fatorial: n (n -1) (n – 2)...1
– 3.2.1=6
→
3!
Esquematizando a solução do exemplo 1 (árvore de possibilidades)
Maneiras de ocupar
os lugares
L1
L2
L3
A
ACB
C
B
A
C
BAC
C
A
BCA
A
B
CAB
B
2
A
1
CBA
B
C
3 X
ABC
C
B
x
=
6
Neste exemplo a ordem das
pessoas é importante
Temos uma permuta de 3, 3 a 3
P3, 3= 3!
Permuta Simples
Generalizando
 2) Se temos n elementos distintos, então o nº de
agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses
n elementos é dado por: n(n – 1)(n – 2) ... 1 = n! esses
agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o
nome de Pn = n!
Exercícios
1- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO?
2- Quantos Anagramas tem a palavra PERDÃO que iniciam com
P e terminam com O?
3- Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as
letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO)?
Respostas
1) nº de anagramas = P6 = 6! = 720
2) P4= 4! = 24
3) 5 (posições de ão) x P4 (anafgrama das demais letras da palavra perdão) = 5 x4! = 120
Permutações com repetições
Exercício resolvido: Quantos são os Anagramas da palavra
BATATA?
– Resposta. Temos: 1B, 3 As e 2 Ts isto significa que as permutações
entre os 3 As ( P3 = 3!) não produzirão um novo anagrama. O mesmo
ocorre com os Ts (Permutas com os 2 Ts = P2 = 2!).
Portanto, o nº de anagramas da palavra BATATA é:
P6
P3 . P2

6!
3!2!

6 . 5 . 4 . 3!
 60
3!2!
Generalizando
 2.1) A Permutação de n elementos dos quais α é um tipo, β é
outro e γ é outro ainda, com α + β + γ = n, é dada por:
n!
  
Pn
,
,
Exercícios
1- Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
2- Quantos são os anagramas da palavra CAMARADA?

 !  ! !
Análise Combinatória: Arranjos Simples
Exemplo: De quantas maneiras pode, 4 lugares ser
ocupados por 2 pessoas?
Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades)
Escolhas de A
Escolhas de B
L2
L1
L3
L4
L2
L3
L1
L1
L2
A
B
A
A
L4
L1
A
B
B
L4
L2
L3
2
B
A
L2
L4
1
A
B
L4
B
L3
L1
L3
3
4
B
5
B
6
A
7
A
8
A
B
B
B
B
9
A
10
A
11
A
12
Arranjos simples
– Temos uma permutação de 4, 2 a 2. → Pn, p → P4, 2 = 4 . 3 = 12
Observação: não serão ocupados todos os lugares ao mesmo tempo. Neste
caso teremos um arranjo. A4,2 = 4 . 3
Reescrevendo a igualdade A4,2 = 4 . 3
Usando conceito de fatorial.
Temos: A4, 2 = 4 . 3 . 2 . 1
2.1
A4, 2 = 4 !
(4-2)!
Generalizando
3) Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p≤n) são
agrupamentos ordenados diferentes que se podem formar com
p dos n elementos dados. Assim: An,p= n (n – 1) (n – 2) . ... (n – p +1)
Ou:
An , p
p fatores
n!
( n  p )!
Exercícios
1- Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
2- Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos formar com as letras da
palavra CONTAGEM?
Análise Combinatória: Combinação simples
Exemplo 3:
– De quantas maneiras posso
escolher 2 pessoas entre 5, para
que sejam candidatas a uma
eleição?
Observação:
– AB e BA correspondem a
escolha das mesmas pessoas
(A e B), a ordem em que as
pessoas são escolhidas não
influi, portanto, no
agrupamento.
– Observe que cada agrupamento
aparece 2! Vezes (p vezes)
– A quantidade de escolhas é:
5.4
2!
= 10
Quando a Ordem dos elementos não
influi no agrupamento, estamos diante
de um caso de combinação
Escolhas
1ª
2ª
B
C
A
D
E
A
C
B
D
E
A
B
C
D
E
A
B
D
C
E
A
B
E
C
D
possibilidades
AB
AC
AD
AE
BA
BC
BD
BE
CA
CB
CD
CE
DA
DB
DC
DE
EA
EB
EC
ED
Análise Combinatória: Combinação Simples
Exemplo: De quantas maneiras posso escolher 2 pessoas entre 5,
para que sejam candidatas a uma eleição?
Esquematizando a solução do exemplo (árvore de possibilidades)
1º Candidato
2º Candidato
B
A
B
C
D
→ Possibilidades:
→ AB
C
→ AC
D
→ AD
E
→ AE
C
→ BC
D
→ BD
E
→ BE
D
→ CD
E
→ CE
E
→ DE
Generalizando
4) Combinações simples de n
elementos tomados p a p (p≤n)
são os subconjuntos com
exatamente p elementos que se
podem formar com os n
elementos.
Indica-se por Cn, p ou
Calcula-se por:
C n, p 
n!
p ! ( n  p )!
n
C ou 
 p

 
p
n
ou C n , p 
An , p !
p!
Análise Combinatória: Combinação simples
Nos problemas de contagem, o conceito de combinação esta
intuitivamente associado à noção de subconjuntos.
– Ex 1: Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma
equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma
apresentação. Quais e quantas são as possibilidades
Resposta: os subconjuntos de 2 elementos são:
{A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, { R, F}, {R,G}, {F,G}
Estes subconjuntos chamados de combinações simples de 5
elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2 e
escrevemos C5,2=10
– Ex 2: Recalcule o “Ex 1” considerando agora três
representantes da equipe para a apresentação.
Resposta: os subconjuntos de 3 elementos são: C5,3=10
{A,E,R}, {A,E,F}, {A,E,G}, {A,R,F}...{R,F,G}
Propriedade importante: Cn, p = Cn, n-p
Análise Combinatória
Problemas que envolvem os vários tipos de agrupamento
Analisando o problema da introdução do capítulo:
– Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas
diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que em cada
uma existam três letras (não repetidas) seguidas de quatro
algarismos (repetidos ou não)?
– Resolução:
– As 26 letras serão agrupadas de 3 em 3 sem repetição:
– 26 x 25 x 24 = 15.600 agrupamento de letras → A26,3
– Os 10 algarismos serão agrupados de 4 em 4, com repetição:
– 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 agrupamentos de algarismos
– Para cada agrupamento de letras podemos usar todos os
agrupamentos de algarismos. Então, o total de placas é:
– 15.600 x 10.000 = 156.000.000 placas
Qual será o nº de placas se as letras também puderem ser
repetidas?
Lista de exercícios
Análise Combinatória
1) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a)
b)
Quantos números de 3 algarismos podemos formar? R: 512
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? R: 336
2) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
diferentes ele poderá pintar os estados da região Centro-Oeste do Brasil,
cada um de uma cor? R: 60 ou 120 (se incluir o DF)
De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem
apenas 3 lugares? R: 60
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos
distintos maiores que 300 podemos formar? R: 80
De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de
baskete tendo 12 atletas à sua disposição? (1 time = 5 jogadores) R: 792
Um conselho de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos.
Candidataram–se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras
diferentes esse conselho pode ser eleito? R: 40600
De quantos modos posso escolher 4 livros em uma coleção de 10? R: 210
Quantos anagramas podemos formar com a palavra LÓGICA? R: 720
Quantos anagramas podemos formar com a palavra DEZESSETE? R:
30240