Álgebra Linear
ESPAÇOS VETORIAIS
Com doze andares de altura e pesando 75 toneladas, o US Columbia partiu majestosamente de
sua plataforma de lançamento numa manhã fresca num domingo de abril de 1981, em Palm.
Produto de dez anos de intensa pesquisa e desenvolvimento, o primeiro ônibus espacial dos EUA
foi uma vitória da engenharia de controle de sistemas, envolvendo muitas áreas da engenharia aeronáutica, química, elétrica, hidráulica e mecânica.
Os sistemas de controle do ônibus espacial são absolutamente críticos para o vôo. Como o
ônibus espacial é uma aeronave instável, ele requer um constante monitoramento por computador
durante o vôo atmosférico. O sistema de controle de vôo envia uma seqüência de comandos para
as superfícies de controle aerodinâmico e 44 jatos de propulsão.
Matematicamente, os sinais de entrada e saída de um sistema de engenharia são funções. É
importante para as aplicações que essas funções possam ser somadas e multiplicadas por
escalares. Essas operações em funções têm propriedades algébricas que são completamente
análogas às operações de soma de vetor e multiplicação de vetor por escalar no n . Por este
motivo, o conjunto de todas as entradas possíveis (funções) é chamado de um espaço
vetorial.(Texto extraído e adaptado de Livro “Álgebra Linear e suas aplicações”, David C. Lay, 2ª
edição. LTC.).
Definição: Um espaço vetorial real (abreviado por e.v.) é um conjunto V, não vazio, com duas
operações definidas: soma
V V V
v, v
v v
e multiplicação por escalar
K V V
a, v
a v
satisfazendo a propriedades operatórias análogas às listadas para matrizes e vetores, sendo:
da soma:
A1) u v v u, com u,v V.
A2) u v w
u v w, com u,v V
A3) Existe um elemento nulo 0 em V tal que u 0 0 u u.
A4) Para cada u em V, existe um elemento oposto u em V tal que u
u
0.
da multiplicação por escalar:
M1)
u v
u
v, com u,v V e
.
M2)
u
u
u, com u V e
,
.
M3)
u
u, com u V e
,
.
M4)1 u u, para todo elemento u de V.
1
Portanto, dizer que V é um espaço vetorial real significa que V é fechado para soma e para a
multiplicação por escalar. Isto é, se u e v são elementos quaisquer de V, então u v está em V. E
se u é um elemento qualquer de V e qualquer número real, então
u está em V.
Obs:
1. Os elementos de V são chamados de vetores.
2. O vetor nulo (0) de V é único.
3. O vetor oposto de v em V, isto é, v
1 v, é único.
Exemplo: Se V é o conjunto das matrizes de ordem 2, chamaremos mesmo assim as matrizes
de vetores.
Exemplos: São espaços vetoriais com as operações usuais (a soma e multiplicação por
escalar conhecidas):
conjunto dos números reais.
2
x, y /x, y
conjunto dos vetores no plano bi-dimensional.
3
x, y, z /x, y, z
conjunto dos vetores no plano tri-dimensional.
n
x 1 , x 2 , , x n /x i
conjunto dos vetores n-uplas de números reais.
M mxn conjunto das matrizes mxn cujos elementos são reais.
M n conjunto das matrizes de ordem n cujos elementos são reais.
fx
conjunto das funções reais de variável real.
Pn x
a 0 a 1 x a 2 x²
anxn
conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n de
coeficientes reais.
Exercício 1: Descreva o vetor nulo e vetor oposto de cada espaço vetorial citado acima.
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Ás vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam
eles próprios espaços vetoriais "menores". Tais conjuntos serão chamandos subespaços vetoriais
de V.
Exemplo: O conjunto nulo S
0 e o próprio espaço vetorial V são subespaços (triviais) de V.
Definição: Seja V um espaço vetorial real. Um subconjunto S
um subespaço vetorial de V se:
a) 0 S .
b) Se v, w S, então v w S.
c) Se k
e v S, então k v S.
2
V (um conjunto não vazio) é
Seja V um espaço vetorial real e S um subconjunto não vazio de V. S é um subespaço vetorial
de V se S for um espaço vetorial, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas
para V.
Observação: Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e
espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.
Exemplo: São subespaços de 2 com as operações usuais:
y
y
y
x
x
x
0,0 a origem
uma reta que passa pela origem
próprio
2
Exemplo: São subespaços de 3 com as operações usuais:
- 0, 0, 0 a origem
- uma reta que passa pela origem
- um plano que passa pela origem.
- e o próprio 3
Exemplo: Não é subespaço vetorial de
2
S
x, y
/x 0 e y 0
OBS:
1) 2
3
, isto é, 1, 3
2
com as operações usuais:
1, 3, 0 !!!!!!!!!!
2) Todo subespaço vetorial é um espaço vetorial.
Exemplo: São subespaços vetoriais de V dado:
a) S nxn
S n M n /S S T
conjunto das matrizes simétricas de V
quadradas de ordem n).
3
M n (conjunto das matrizes
b) Se AX 0 é um sistema linear homogêneo de m equações em n incógnitas, então o conjunto
n
dos vetores-soluções é um subespaço do V
.
Exemplo:
1
2 3
x
0
2
4 6
y
0
3
6 9
z
0
. Encontre a solução deste sistema homogêneo.
Verifique que o vetor-solução pode ser escrito como x 2y 3z 0 que é a equação de um
3
plano que passa pela origem, isto é, S
x, y, z
/x 2y 3z 0 é subespaço vetorial de 3
com as operações usuais.
Isto significa que se somarmos duas soluções, a soma de soluções também será uma solução
do sistema. Faça o teste: encontre duas soluções e some-as!
O produto de uma constante real por uma solução também será solução do sistema. Faça o
teste: multiplique uma solução por uma constante real qualquer!
E a solução trivial é solução do SEL, o que prova que o vetor-solução é um subespaço vetorial
do 3 com as operações usuais.
n
E o SEL for não-homogêneo, o conjunto dos vetores-soluções será um subespaço do V
? Por quê?
Exemplo: O conjunto S
subespaço de 3 .
Exemplo: O conjunto S
um subespaço de 3 .
3
x, y, z
3
x, y, z
/2x
/2x
3y
3y
6z
6z
0
(plano contendo a origem) é um
12 (plano não contendo a origem) não é
Exemplo: Sejam S 1 e S 2 subespaços do espaço V. A interseção de subespaços S 1
subespaço de V, mas a união S 1 S 2 não é um subespaço de V.
Exemplo: V
3
e S1
a, b, 0
3
e S2
/a, b
0, 0, c
3
S 2 é um
/c
Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos S são subespaços vetoriais de V? Justifique
3
3
eS
a, 0, 0
/a
Resp: sim
1) V
3
3
2) V
eS
a, 1, 1
/a
Resp: não
3
3
3) V
eS
a, b, c
/b a c 1, onde a, b, c
Resp: não
4) V
M2 e S
A
5) V
M2 e S
A
6) V
Mn e S
4
A
a b
M 2 /a
c d
a b
c d
M n /A T
A
b
c
M 2 / det A
0
d
0, onde a, b, c, d
Resp: sim
Resp: não
Resp: sim
Exercícios de Revisão
1) Considere o conjunto cujo único elemento é a Lua. Será este conjunto um espaço vetorial
com as operações Lua Lua
Lua e k Lua
Lua para cada número real k? Explique o seu
raciocínio.
Resp: sim.
2) Você considera possível existir um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores
distintos? Explique o seu raciocínio.
Resp: sim
3) Determine se o conjunto-solução do sistema AX 0 é uma reta pela origem, um plano pela
origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação para este plano; se for uma
reta, obtenha as equações paramétricas desta reta.
a) A
d) A
1
1
1
3
1
0
2
4
5
1
2
6
1
4
4
3 10
6
Resp: a) reta;x
d) origem
1
2
3
3
6
9
2
4
6
b) A
e) A
1/2t, y
3/2t, z
e) reta; x
3t, y
1
1
1
2
1
4
3
1
11
t
2t, z
1 2 3
c) A
2 5 3
1 0 8
f) A
b) reta; x 2t, y t, z 0
t
f) plano; x 3y z
1
3 1
2
6 2
3
9 3
c) origem
0
4) Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta
dando um argumento lógico ou um contra-exemplo.
a) Se AX B é qualquer sistema linear possível de m equações em n incógnitas, então o
conjunto-solução é um subespaço de n .
Resp:falsa
b) Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço vetorial V tal que ku v sempre é
um vetor em W para quaisquer vetores u e v em W e qualquer escalar k, então W é um subespaço
de V.
Resp: verdadeira
5) Considere o sistema linear
2x
4y
x
y
6y
6z
a
4z
b
14z
c
3
Seja W
x, y, z
/ x, y, z é solução do sistema . Isto é, W é o conjunto-solução do
sistema;
Que condições devemos impor a a, b,e c para que W seja subespaço vetorial de 3 ?
Resp:a b c 0
Consultar o livro: Steinbruch, A. Winterle, P. Álgebra Linear. 2a. ed. Makron Books. 1987.
Fazer os exercícios 1 a 26 (páginas 87 a 90) do capítulo 2.
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