Subespaços Vetoriais
Seja o Espaço Vetorial Real V ,  ,  e
U , W  V , U , W   dois subespaços vetoriais.
Proposição: A interseção de U  W é um
subespaço vetorial de V ,  ,  .
Obs: 1) Note que a união de subespaços vetoriais não é
um subespaço vetorial.
2) Todo espaço vetorial possui pelo menos dois
subespaços, os quais são chamados de subespaços
triviais.
São eles:
U   0 , U  V
Subespaços Vetoriais
Proposição: Considere o conjunto
dado por:
U  W  u  w
u  U, w  W
Este conjunto é um subespaço vetorial de
V , chamado de Subespaço Soma.
Obs: Nestas condições temos que:
U W  W U
U  U  W, W  U  W
U   0  U
Subespaços Vetoriais
V
U  W
W
U
U  W
 0
Subespaços Vetoriais
Definição: Seja V ,  ,  um espaço vetorial e sejam
U , W  V , U , W   , dois subespaços vetoriais
de , tais que:
U  W   0
UW  V
e
Neste caso, dizemos que V é a Soma Direta de
U e W.
Os
subespaços
Suplementares.
Notação:
são
UW
ditos
Subespaços
Subespaços Vetoriais
Exercício 01: Verifique se V ,  ,  é a soma direta
de U e W .
a) U    x , y , 0  x , y  R 
e
W    0, 0, z  z  R 
b) U    x , y , 0  x , y  R 
e
W    0, z , z  z  R 
Proposição: Sejam U e W subespaços vetoriais
de um espaço vetorial. Então V  U  W se e
somente se cada vetor v  V admite uma única
decomposição v  u  w , onde u  U e w  W .
Combinação Linear
Definição: Seja V um espaço vetorial
real e S   u 1 , u 2 , ..., u n   V . Diz-se que
um vetor v é combinação linear dos
elementos de S , se existirem escalares
tais que:  1 ,  2 , ...,  n  R e
n
v   1u 1   2 u 2  ...   n u n 

j 1
j
uj
Subespaço Gerado
Proposição: Seja um espaço vetorial
V
real e S   u 1 , u 2 , ..., u n   V . Considere
o conjunto de todas as combinações
possíveis de S , ou seja,
 n
W     ju j
 j 1

 j  R, u j  S 

Esse subconjunto é um subespaço vetorial
real chamado Subespaço Vetorial Gerado
por S . Notação: W   S 