Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear I
Profa Yane Lísley
1a Lista
Resolver as seguintes questões do livro:
FIGUEIREDO e WETZLER. 3a edição.
PÁGINA
EXERCÍCIOS
11
1
49
3
PÁGINA
130
131
EXERCÍCIOS 6,7,8,9,10,11 12,13,15,18
Álgebra Linear, BOLDRINI, COSTA,
90
4
91
9
132
19,22,25
133
26,27,29,30
129
1,2,3,4
134
35
Resolver também as questões a seguir:
Nas questões que seguem, todo espaço vetorial real tem dimensão nita.
1) Sejam X um conjunto qualquer não-vazio e F(X, R) o conjunto de todas as funções f : X → R.
Dena as seguintes operações em F(X, R):
• para f, g ∈ F(X, R), dena a função f + g : X → R dada por
(f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀ x ∈ X.
• para λ ∈ R e f ∈ F(X, R), dena a função λ · f : X → R dada por
(λ · f )(x) = λf (x), ∀ x ∈ X.
Com estas operações, mostre que F(X, R) é um R-espaço vetorial.
2) Sejam V1 e V2 espaços vetoriais sobre R. Considere o conjunto V = V1 × V2 (produto cartesiano
de V1 por V2 ). Dena as seguintes operações em V :
• dados v = (v1 , v2 ), u = (u1 , u2 ) ∈ V denimos v + u = (v1 +1 u1 , v2 +2 u2 ), onde +1 e +2
denotam as operações de soma de V1 e V2 respectivamente.
• dados λ ∈ R e v = (v1 , v2 ) ∈ V denimos λ · v = (λ ·1 v1 , λ ·2 v2 ), onde ·1 e ·2 denotam as
operações de multiplicação por escalar de V1 e V2 respectivamente.
Com estas operações, mostre que V é um R-espaço vetorial.
3) Seja V um espaço vetorial real.
a) Mostre que 0 · v = 0V , para todo v ∈ V e que λ · 0V = 0V , para todo λ ∈ R.
b) Mostre que se λ · v = 0V , com λ ∈ R e v ∈ V , então ou λ = 0 ou v = 0V .
4) Seja S = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0} um plano do R3 passando pela origem. Mostre que
S é um R-espaço vetorial.
5) Considere o conjunto V = {(a, b) ∈ R2 | a, b > 0} munido das seguintes operações:
• (a, b) ⊕ (c, d) = (ac, bd), ∀ (a, b), (c, d) ∈ V .
• λ(a, b) = (aλ , bλ ), ∀ λ ∈ R e (a, b) ∈ V .
Mostre que V , munido dessas operações, é um R-espaço vetorial.
6) Verique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V sobre R nos seguintes casos:
a) V = Rn e S = {(a1 , . . . , an ) ∈ Rn | a1 · a2 = 0}.
b) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 3x e x = 2y}.
c) V = F(R, R) e S = {f ∈ V | f (0) = f (1)}.
d) V = R5 e S é o conjunto dos vetores v ∈ R5 que têm duas ou mais coordenadas nulas.
e) V = R3 e S é o conjunto dos vetores v ∈ R3 que têm pelo menos uma coordenada maior ou
igual a zero.
f) V = R3 e S = {(x, y, z) : x − 3z = 0}.
g) V = R4 e S = {(x, y, z, w) : x + y = 0 e z − w = 0}.
h) V = Rn e S é o conjunto dos vetores v ∈ Rn cujas primeiras k coordenadas são iguais.
i) V = Rn e S é o conjunto dos vetores v ∈ Rn que têm k coordenadas iguais.
j) V = R3 e S = {(x, y, z) : x + y + z = 0}.
7) Sejam W1 o subespaço de R3 gerado pelos vetores (0, 1, −2) e (1, 1, 1) e W2 o subespaço de R3
gerado pelos vetores (−1, 0, 3) e (2, −1, 0). Encontre escalares a1 , b1 , c1 e a2 , b2 , c2 tais que se tenha:
W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | a1 x + b1 y + c1 z = 0},
W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | a2 x + b2 y + c2 z = 0}.
8) Sejam W1 e W2 subespaços de um R-espaço vetorial V .
a) Dê um exemplo mostrando que W1 ∪ W2 não é subespaço de V .
b) Mostre que W1 ∪ W2 é um subespaço de V se, e somente se, W1 ⊆ W2 ou W2 ⊆ W1 .
2
9) Considere os subespaços W1 , W2 ⊆ R3 denidos por:
F1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = z} e F2 = {(a, b, c) ∈ R3 | c = 0}.
Mostre que R3 = W1 ⊕ W2 .
10) Sejam V, W espaços vetoriais reais. Uma função f : V → W chama-se par (respectivamente
ímpar ) quando f (−v) = f (v) (respectivamente f (−v) = −f (v)) para todo v ∈ V . Mostre que o
conjunto P das funções pares e o conjunto I das função ímpares são subespaços vetoriais de F(V, W ).
Além disso, mostre que F(V, W ) = P ⊕ I.
11) Mostre que o conjunto {1} é um conjunto gerador do R-espaço vetorial R.
12) Mostre que, para cada número inteiro n ≥ 3, é possível encontrar um conjunto gerador de R3
com n elementos. Mostre também que não existe nenhum conjunto gerador de R3 com menos de 3
elementos.
13) Mostre que todo espaço vetorial tem um conjunto gerador.
14) Seja n ∈ N. Mostre que o conjunto {1, x, . . . , xn } é uma base do R-espaço vetorial Pn (R).
Esta base é chamada de base canônica de Pn (R).
15) Exiba uma base para cada um dos subespaços de R4 listados a seguir:
F = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = x2 = x3 = x4 }
G = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = x2 e x3 = x4 }
H = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = x2 = x3 }
K = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + x2 + x3 + x4 = 0}
16) Seja W um subespaço vetorial de um espaço vetorial V nitamente gerado sobre R. Mostre
que se dimR W = dimR V , então W = V .
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