Centro Federal de Educação Tecnológica
Unidade de Nova Iguaçu
Ensino de Graduação
Matemática
Exercícios Álgebra Linear
Espaços e Subespaços Vetoriais
Lista 2
1) Verique quais dos conjuntos dados abaixo com as respectivas operações são ou não espaços
vetoriais.
R
R
a) E = {(x, y) ∈ 2 ; 3x − 2y = 0} com
operações usuais do 2 ;
b) E é o conjunto das matrizes da forma:
a −b
b a
onde a, b ∈
M R
R R
R
2
operações usu-
ais do 2 ( );
c) E = {f : → ; f (x) = f (−x)} operações usuais de funções;
d) E =
R
2
com operações
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (2x1 − 2y1 , x1 − y1 ) e
α(x, y) = (3αx, −αx) ;
R
e) E = {(x, y, z, w) ∈ 4 ; x = y, z = w2 }
operações usuais do 4 ;
f) E = 2
com (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 )
e α(x, y) = (αx, y) ;
R
R
2) Verique quais dos conjuntos dados abaixo são ou não subespaços vetoriais.
a) O conjunto
S = {p(x) ∈
P (x) ⊂ P (x); p(X) = 0};
∗
n
b) O conjunto
S = {(x, y, z) ∈
c) O conjunto
d) O conjunto
n
R ; x + y + z = 0};
M(n); A = A }
t
(matrizes quadradas simétricas);
3
R
S = {A ∈
e) S é o conjunto das matrizes da forma:
a −a
onde a, b, c ∈
b c
de 2 ( );
00
S = {∈ C 2 ( ); f − f = 0}
(conjunto das soluções desta EDO de segunda ordem);
M R
f) S = {(x, y, z, w) ∈
R , subconjunto
2
R ; x = y, z = w};
4
3) Diga, em cada um dos itens abaixo, se a armação é verdadeira ou falsa, justicando sua resposta,
isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra exemplo se for falsa.
a) Se S1 e S2 são subespaços de um espaço vetorial E então S1 ∪ S2 é um subespaço vetorial de E .
b) Sejam S1 e S2 subespaço de um espaço vetorial E . Então S1 ∪ S2 é um subespaço de E se, e
somente se,S1 ⊂ S2 ou S2 ⊂ S1 .
4) Considere um círculo de raio 1 no plano. Tome um ponto p sobre este círculo e seu vetor u
associado. Ache a reta tangente ao círculo neste ponto. Prove que a reta tangente e o vetor u
são ortogonais.
5) Considerando o produto interno denido em C([0, 2π]),
Z
b
f (x)g(x) dx
a
deduza qual o ângulo entre as funções: f (x) = cos(x) e g(x) = sen(x).
1
R). Dena a aplicação:
<, >: M
(R) × M
(R) → R
6) Considere o espaço vetorial das matrizes
M
m×n (
m×n
m×n
pondo
< A, B >=
m X
n
X
ai,j bi,j
i=1 j=1
onde A = [ai,j ] e B = [bi,j ] Prove que <, > é um produto interno.
7) Com
relação
ao produto
interno
denido no item anterior, calcule o produto interno entre: A =
1 1
−2 0
eB=
Qual a conclusão sobre estas matrizes?
0 2
1
1
8) Prove que para u, v ∈ E espaço vetorial com produto interno, vale
||u + v||2 + ||u − v||2 = 4 < u, v >;
9) Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual que n e coecientes reais
n ( ). Dena a aplicação:
P R
<, >:
P (R) × P (R) → R
n
pondo
n
∞
Z
< p, q >=
e−x p(x)q(x) dx
0
onde p e q são polinômios em
P (R). Prove que <, > é um produto interno.
n
10) Calcule a distância entre os pontos abaixo considerando o respectivo espaço vetorial com o produto interno canônico.
a) u = (1, 1, 3, 2), v = (2, 2, 1, 0) em
R;
4
d) u =
b) u = sen(x), v = cos(x) em C([0, 2π]);
c) u = (2, 2, 1), v = (−1, 1, 0) em
R
1 1
0 2
ev=
−2 0
, em
1 1
P R
M (R);
2×2
e) u = (x + 1)2 , v = x2 − 2 em n ( ) (considere
o produto interno dado no exercício 9);
3;
2