Subespaço, base e dimensão
Sejam A uma matriz m  n e W 
do sistema linear homogêneo Ax  0.
(a) Se
a W.
n
o conjunto solução
x e y pertencem a W, então x  y também pertencem
(b) Se x pertence a
todo escalar  .
W, então  x também pertence a W para
O espaço solução do
Ax  0
é um subespaço de
ou
Todo subespaço é espaço solução de
Ax  0
.
Exemplos páginas 150-151
n
.
Definição (Geração de um Subespaço)
Seja W um subespaço de
n
, dizemos que:
 Os vetores v1 ,..., vk pertencem a W, geram W;
ou
 v1 ,..., vk  é um conjunto de geradores de W ;
ou
 W é o subespaço gerado por v1 ,..., vk
Se qualquer vetor de
;
W é combinação linear de v1 ,..., vk .
Exemplo 1:


Sejam v1  1,2 e v2 
é um conjunto de geradores de
combinação linear de v1 e v2 .
, tais que v1 , v2 
 2,3 vetores
2
W
, qualquer
 v1   v2  v
p/   1
e  1
y
3
2
v1
1
v2
2
x
v W é
p/   1
p/   1
y
3
2
 v2
v2
v1
1
 v1
2
1
2
x
p/   1
1
p/   
2
y
3
2
v1
v2
1  v2 1v 2
1
3/ 2
2
x
p/   2
p/   1
y
4
3
 v1
2
v1
 2 1
v2
2
 v2
3
x
y
6
P/   0
p/   2
3
 v2
2
v1
1
v2
2
4
x
Teorema I: Seja W subespaço de
conjunto de vetores de W que:
i 
são L.I
 ii 
Geram W
n
e
v1,..., vm  um
Então, um conjunto com mais de m vetores em
W é L.D.
Exemplo 2: Um conjunto com m vetores em
n
será L.D se m>n.
( Ex: m=3 e n=2 )
y
y
x
x
y
y
x
x
Definição (Base) : Seja W um subespaço de
que um subconjunto
 i  v1,..., vk 
 ii  v1,..., vk 
v1,..., vk  de W
n
, dizemos
é uma base de W, se :
é um conjunto de geradores de
W
;e
é L.I
Exemplo 3:





Seja W  x, y , z  t a, b, c t 
uma reta que
passa pela origem. Como o vetor diretor v  a, b, c é não
nulo e gera todos os pontos da reta, então v` é uma base
de W


y

v
v
v
x
Exemplo 4:



Seja W  x, y, z 
ax  by  cz  0 um plano
que passa pela origem . Encontre uma base para o plano W
Um ponto P 
se e somente se
z 
y
Para todo
3
 x, y, z  satisfaz a equação ax  by  cz  0
e
, 
ax  b  c  0
ax  b  c
1
b c
 x    b  c 
x

a
a
a
e para
a0
.
Assim, o plano
W pode ser descrito como
 1


W     b  c  ,  ,   ,   

 a

Ou pode ser escrito como uma soma de vetores
c
 b

 c

 b

     ,  ,      ,0,1     ,1,0 
a
 a

 a

 a

O que equivale a:
v   v1   v2 ,
tal que
v W


Logo v1 , v2 é uma base do plano W, pois v é
combinação linear de v1 e v2 ; e v1 e v2 são L.I.
Em
L.I
n
um conjunto com mais de n vetores é L.D.

L.D
Máx de L.I
Mín de geradores

Dimensão