Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares (IFADT)
Programa de Pós-graduação em Fı́sica (PPGF)
Prova de seleção ao Mestrado (14 de dezembro 2009)
Identificação do candidato
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nome
número
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assinatura
Questão de Mecânica Quântica (Mestrado) (valor: 2.5 pontos)
Formulário:
−
h̄2 d2 ψ(x)
+ V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
Uma partı́cula de massa m encontra-se confinada em uma caixa unidimensional de
comprimento L, com paredes impenetráveis. No interior da caixa, a partı́cula não sofre a ação
de nenhuma força e, portanto, a energia potencial é nula.
Considere que as extremidades da caixa têm coordenadas x = 0 e x = L.
a) (1.0 ponto) Mostre que os possı́veis valores de energia da partı́cula são dados por
E n = n2
π 2 h̄2
2mL2
(n = 1, 2, 3, · · ·)
e as correspondentes funções normalizadas que representam os estados estacionários da
partı́cula no interior da caixa são dadas por
ψn (x) =
r
nπ
2
sen
x
L
L
(n = 1, 2, 3, · · ·)
b) (0.5 ponto) Esboce o gráfico da densidade de probabilidade de presença da partı́cula em
seu estado fundamental em função da posição, no intervalo 0 < x < L.
c) (1.0 ponto) Calcule as probabilidades de se encontrar a partı́cula em seu estado
fundamental nos intervalos (0, L), (0, L/2) e (0, L/4).
Questão de Mecânica Clássica (Mestrado) (valor: 2.5 pontos)
Formulário:
v = ṙr̂ + rθ̇θ̂
Um dos problemas fundamentais da Mecânica Clássica é o da determinação do movimento de
uma partı́cula sob a ação de uma força central.
1. Tomando o centro de forças como origem do sistema de coordenadas:
a) (1.0 ponto) mostre que o momentum angular da partı́cula é constante ao longo do
tempo;
b) (0.5 ponto) indique uma consequência direta dessa lei de conservação com relação à
trajetória do movimento da partı́cula;
2. (1.0 ponto) Suponha que uma partı́cula esteja sob a ação de uma força central atrativa,
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre a partı́cula e o centro de força.
Identifique quanto ao tipo de trajetória as possı́veis órbitas da partı́cula, sem resolver
explicitamente as equações de movimento.
Questão de Eletromagnetismo (Mestrado) (valor: 2.5 pontos)
Formulário:
I
~ d~s = q
E.
ε◦
1
V (r) =
4πε◦
1
U=
2
Z
Z
V =−
σ(r′ ) ds′
|~r − ~r′ |
ε◦
σ V ds =
2
Z
~ d~r
E.
~ = −∇V
E
Z
E 2 dv
Uma casca esférica perfeitamente condutora de raio a, em repouso, encontra-se uniformemente
carregada com carga elétrica total Q.
a) (0.5 ponto) Esboce os gráficos das magnitudes do campo e do potencial elétricos em
função da distância ao centro da casca.
b) (0.5 ponto) Determine a magnitude do campo elétrico em todos os pontos do espaço, a
partir da lei de Gauss.
c) (1.0 ponto) Calcule o potencial elétrico em pontos internos e externos à casca esférica,
por integração direta da distribuição de cargas.
d) (0.5 ponto) Mostre que a energia eletrostática armazenada na casca esférica é dada por
U=
1 Q2
4πε◦ 2a
Questão de Mecânica Estatı́stica (Mestrado) (valor: 2.5 pontos)
Formulário:
cosh x =
ln z hµi = kT
∂H T
ex + e−x
2
senh x =
ex − e−x
2
F = −N kT ln z
∂F S=−
∂T H
Um gás paramagnético em equilı́brio térmico à temperatura T é constituı́do por N átomos
que possuem momentos magnéticos de magnitude constante igual a µ (∼ 10−20 erg/G). Ao se
aplicar um campo magnético externo de intensidade H em uma dada direção, os momentos só
podem se orientar no mesmo sentido do campo ou em sentido oposto.
Desse modo, o espectro de energia de cada átomo é constituı́do apenas dos seguintes valores:


 ε1 = −µH

 ε = +µH
2
a) (0.5 ponto) Mostre que a função de partição canônica para um átomo do sistema pode
ser escrita como
µH
z = 2 cosh
kT
onde k ≃ 1.38 × 10−23 J/K é a constante de Boltzmann.
b) (0.5 ponto)) Mostre que a magnetização total média do gás é igual a
hMi = N µ tgh
µH
kT
c) (0.5 ponto) Mostre que a entropia do gás pode ser expressa como
µH
µH
µH
S = N k ln 2 + ln cosh
−
tgh
kT
kT
kT
d) (1.0 ponto) Esboce o gráfico da entropia em função da temperatura, mostrando os limites
para T → 0 e T → ∞, e estime o valor da entropia molar de um gás paramagnético sob a
ação de um campo magnético da ordem de 103 G, à temperatura de 10 K.
(NA ≃ 6.02 × 1023 mol−1 – constante de Avogadro)