LISTA DE EXERCÍCIOS #3 - ANÁLISE VETORIAL EM FÍSICA
1. Uma partı́cula de massa m fixa executa um movimento descrito pela curva
~r = −tı̂ + 4 cos(ωt) ĵ + 4 sen(ωt) k̂
onde ω é uma constante. O referencial em questão é inercial.
(a) Determine a velocidade ~v e a aceleração ~a da partı́cula. Alguma dessas grandezas é
constante?
(b) Determine os módulos de ~v e ~a. Algum deles é constante?
(c) Ache o momento linear ~
p da partı́cula e a força resultante F~ que age nela. O momento
linear é constante?
~ e o torque T~ agindo na partı́cula. O momento angular
(d) Calcule o momento angular L
é constante?
π
(e) Suponha que no instante t = 4ω
a força que age sobre a partı́cula é desligada. Como
será o movimento da partı́cula a partir desse ponto? Obtenha a equação que descreve
esse movimento.
2. Um dado sistema possui uma massa m que varia com o tempo de acordo com a expressão
m = m0 (1 + 2t2 )
onde m0 é uma constante. Esse sistema está sendo estudado por um observador inercial,
que verifica que a equação para a posição do sistema é dada por
~r = 2tı̂ + t3 ĵ − 5t4 k̂
Ele pede a você que responda as seguintes questões.
(a) Calcule o momento linear p~ do sistema.
(b) Calcule a aceleração ~a do sistema.
(c) O observador calculou a força atuando no sistema por meio de F~ = m~a. Você concorda
com o cálculo dele? Se sim, por que? Se não, por que, e calcule a força pelo modo
que você acha correto.
(d) Calcule o momento angular e o torque agindo na partı́cula. Alguma destas grandezas
é constante?
3. Uma partı́cula
move-se ao longo de uma curva de equações paramétricas x = 3 cos t,
π 3
y = 5 t − 6 , z = 2 + 5 sen t, onde t é o tempo. Determinar
(a) Velocidade ~v e aceleração ~a.
~ = ı̂ − 2 ĵ + 3 k̂.
(b) Componente de ~v (t = π6 ) na direção do vetor A
1
(c) Supondo que a massa da partı́cula é fixa e vale m, qual a força resultante agindo
sobre ela?
4. Mostrar que
~
~ · dA = A dA
A
dt
dt
5. Uma partı́cula de massa m fixa se move de acordo com a equação
~r(t) = a cos(ωt)ı̂ + b sen(ωt) ĵ
onde a e b são constantes. Essa trajetória é uma elipse, como a descrita (aproximadamente)
pelos planetas do sistema solar (no caso dos planetas, ω não é constante). A origem, neste
caso, está situada no centro da elipse.
(a) Obtenha a velocidade da partı́cula e verifique se ~r ⊥ ~v .
(b) O momento linear é constante? Se não, calcule a força sobre a partı́cula.
(c) Calcule o torque sobre a partı́cula e seu momento angular. O momento angular varia
ou é constante?
(d) Calcule a energia cinética da partı́cula. É uma grandeza constante?
~0 + B
~ 0 t, onde A
~0
6. Uma partı́cula de massa m tem como equação de posição a função ~r = A
~
e B0 são vetores constantes. Interprete fisicamente os termos da equação, determine o tipo
de movimento e ache ~v e ~a.
7. Escreva a equação vetorial de posição para um MRUV. Ache ~v e ~a a partir da equação
obtida.
8. Um navio está se movendo sobre um meridiano da Terra com uma velocidade constante
em módulo. Sabe-se que o meridiano está localizado a 60◦ de longitude leste. Utilizando
coordenadas esféricas, e supondo que a Terra é uma esfera, determine posição, velocidade
e aceleração do navio em coordenadas esféricas quando visto por um referencial inercial
que está fixo no centro da Terra e que a vê girar com uma velocidade angular de módulo Ω.
O eixo z pode ser escolhido como sendo paralelo ao eixo da Terra para facilitar.
9. Uma partı́cula move-se de acordo com as seguintes equações paramétricas: ρ = ρ0 (1+e−2t ),
θ = θ0 + ωt, z = z0 + a0 t2 , onde ρ0 , θ0 , ω, z0 e a0 são todos constantes e t é o tempo.
Obtenha as equações para posição, velocidade e aceleração no sistema de coordenadas
cilı́ndricas. Descreva a trajetória executada pela partı́cula.
10. Um objeto tem as seguintes equações paramétricas: r = r0 e−3t , θ = θ0 , φ = φ0 cos(ωt),
onde r0 , θ0 , φ0 e ω são constantes. Escreva a posição, velocidade e aceleração desse objeto
em coordenadas esféricas. Qual a trajetória descrita pelo objeto?
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