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Mecânica Clássica I - 2015.1 - Lista de Problemas 2.2
Mecânica Clássica I
Lista de Problemas 2.2
Prof. Marco Polo
Resolva os problemas desta lista numericamente, com o auxı́lio de um sistema
algébrico computacional ou de uma linguagem de alto nı́vel.
Questão 01: Pêndulo forçado
Seja a equação abaixo discutida em sala de aula,
ẍ = −cẋ − sin x + F cos ωt′ ,
que descreve um pêndulo amortecido e forçado. Suponha os parâmetros F = 0, 7 e
c = 0, 05.
(a) Determine quais dos valores para ω (0, 1, 0, 2, 0, 3, . . . , 1, 5) produzem movimento caótico.
(b) Escolha uma condição inicial e produza um diagrama de fase para ω = 0, 3.
Questão 02: Sistema massa-mola não linear
Suponha um sistema massa-mola não linear, onde a massa m está sujeita à força
elástica Fel = −kx − δx3 e a uma força externa Fext = A cos ωt.
(a) Mostre que a equação diferencial que governa o movimento no sistema pode ser
escrita como
ẍ + 2β ẋ + ω02 x + αx3 = F cos ωt,
onde x representa a posição da massa, e β, ω0 , α e F0 são constantes que
podem ser escritas em termos de k, δ, A e m. Essa equação é conhecida como
equação de Duffing.
(b) Seja β = 0, 025, ω = 1, ω0 = 0, 3 e α = 1. Suponha que, no instante t = 0, a
massa está no repouso com x = 0. Com o auxı́lio de um computador, faça o
gráfico da posição da massa em função do tempo, para (i) F = 4, (ii) F = 7 e
(iii) F = 10. Suponha que todas as constantes estão no SI. Para qual ou quais
destes valores de F o sistema apresenta comportamento caótico? Explique.
(c) Faça o diagrama de fase para os três casos do item (b).
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Departamento de Fı́sica – UNIR
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Questão 03: Mapeamento
Seja o seguinte mapa logı́stico:
xn+1 = α cos xn
Suponha que x0 = 0, 2.
(a) Faça gráficos representando xn em função de n para (i) α = 1, 0, (ii) α = 1, 8,
(iii) α = 1, 9, (iv) α = 2, 0 e (v) α = 2, 1 e (vi) α = 2, 2.
(b) Para quais dos valores de α do item (a) observamos comportamento caótico?
(c) Esboce, sem usar um computador, um diagrama de bifurcação para o sistema,
tomando por base os seis valores de α do item (a).
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