5a LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I - BIOTECNOLOGIA
Professor: José Carlos de Souza Júnior
1. Nos exercı́cios de 1-4, diga se a função traçada é contı́nua em [−1, 3]. Se não, onde ela
deixa de ser contı́nua e por quê?
Os exercı́cios 5-10 são sobre a função representada abaixo:
 2
x − 1, −1 ≤ x < 0




 2x, 0 < x < 1
1, x = 1
f (x) =


−2x + 4, 1 < x < 2



0, 2 < x < 3
5. (a) Existe f (−1)?
(b) Existe limx→−1+ f (x)?
(c) Existe limx→−1+ f (x) = f (−1)?
(d) f é contı́nua em x = −1?
6. (a) Existe f (1)?
(b) Existe limx→1 f (x)?
(c) Existe limx→1 f (x) = f (1)?
(d) f é contı́nua em x = 1?
7. (a) f é definida em x = 2? (Veja a definição de f .)
(b) f é contı́nua em x = 2?
8. Em quais valores de x é f contı́nua?
9. Qual valor deve ser atribuı́do para f (2) para tornar a função estendida contı́nua em x = 2?
10. Para qual novo valor f (1) deve ser mudada para remover a descontinuidade?
11. Em quais intervalos as funções abaixo são contı́nuas?
(a) y =
1
x−2
(e) y =
cos x
x
− 3x (b) y =
1
(x+2)2
(f) y = tg
πx
2
+4
(c) y =
(g) y =
x+1
x2 −4x+3
√
2x + 3
12. Determine as constantes A e B de modo que
 4
 x + 2x2 + 2, se x ≤ 0
Ax2 + B, se 0 < x < 2
f (x) =

2x + 2, se x ≥ 2
(d) y =
(h) y =
1
|x|+1
√
4
−
x2
2
3x − 1
seja contı́nua em R.
13. Verifique se a seguinte função é contı́nua em x = 0 :
f (x) =
x3 +6x2
,
x2
se x 6= 0
7, se x = 0
14. Mostre que a equação x5 − 3x4 − 2x3 − x + 1 = 0 tem solução entre 0 e 1.
15. Dê exemplo de uma função definida em R, que não seja contı́nua em 2, mas que
lim f (x) = lim− f (x)
x→2+
x→2
16. Qual o valor que torna a função abaixo contı́nua em x = 0?
f (x) =
sen(x)
,
x
se x 6= 0
? , se x = 0
17. A função abaixo é contı́nua em x = 3? Justifique.
|x−3|
, se x 6= 3
x−3
f (x) =
1, se x = 3
18. Dê exemplos de funções satisfazendo:
(a) f + g é contı́nua, mas f e g são descontı́nuas.
(b) f · g é contı́nua, mas f e g são descontı́nuas.
(c) f é contı́nua, g é descontı́nua, mas g ◦ f é contı́nua.
19. Sejam f, g : R → R funções contı́nuas em R e suponha que f (3) = g(3). A função h é
contı́nua em R? Justifique.
h(x) =
f (x), se x ≤ 3
g(x), se x > 3
20. (a) Mostre que existe um número real x0 tal que x50 − 4x0 + 1 = 7, 21.
(b) Sejam f, g : [a, b] → R funções contı́nuas com f (a) < g(a) e g(b) < f (b). Mostre que
existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = g(c).
21. Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contı́nua em todos os pontos exceto
em −1, 0, 1.
22. Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contı́nua em todos os pontos exceto
nos inteiros.
23. Um corredor parte do repouso e corre numa pista circular. Ele para quando volta ao ponto
de partida. Mostre que pelo menos uma vez durante esta volta, ele deve ter desenvolvido
a mesma velocidade em pontos diametralmente opostos.
24. Suponha que |f (x) − f (1)| ≤ (x − 1)2 , para todo x ∈ R. Mostre que f é contı́nua em
x0 = 1.