Instituto Politécnico de Tomar
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Área Interdepartamental de Matemática
Licenciaturas em Engenharia Ambiente e Biológica, Civil,
Electrotécnica e de Computadores, Informática e
Quı́mica e Bioquı́mica
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Trabalho de Análise Matemática I
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Datas de Entrega
Relatório Preliminar - 21 de Dezembro de 2007
Relatório Final - 07 de Janeiro de 2008
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1. O Dr. Alberto Posta, adquiriu recentemente para o seu Ministério, uma veı́culo no valor de 40000
euros. Após consulta ao Ministério das Finanças, foi informado que o seu veı́culo desvalorizará
um quarto do seu valor, ao fim de cada ano de utilização.
(a) Obtenha a expressão analı́tica da função que representa o valor comercial do carro em
função dos anos de uso.
(b) Represente graficamente a função obtida.
(c) Por restrições orçamentais, os Ministros só poderão manter os veı́culos enquanto a desvalorização for até 43.75%. Indique ao fim de quantos anos, será o Dr. Alberto Posta,
obrigado a trocar de veı́culo.
(d) Obtenha e represente graficamente a função derivada. Determine a assı́mptota horizontal
desta função e interprete o seu significado no contexto do problema.
2. Seja y = f (x) definida implicitamente por x4 = 4(4x2 − y 2 ).
(a) O gráfico desta função é chamado lemniscata, faça a sua representação.
(b) Determine as equações das quatro rectas tangentes a esta curva para y = 3.
(c) Ilustre graficamente a alı́nea anterior.
(d) Calcule o ponto de intersecção de duas das referidas rectas, que se encontra no primeiro
quadrante.
3. Numa colmeia, cada célula é um prisma hexagonal regular, aberto no extremo com um ângulo
triédrico no outro extremo. Acredita-se que as abelhas formas essas células de forma a minimizar
a área superficial para um dado volume, usando assim uma quantidade mı́nima de cera na
construção. Baseado na geometria da célula, mostra-se que a área superficial S é dada por
´
√
3 ³
S = 6sh − s2 cot(θ) − 3 csc(θ)
2
onde s, o comprimento dos lados do hexágono, e h, a altura, são constantes.
(a) Que ângulo deveriam preferir as abelhas? Justifique.
(b) Considere h = 1. Utilizando a amplitude obtida e mais algumas à sua escolha, confirme
graficamente a conclusão anterior.
4. A altura média de um homem Português com idade entre 18 e 24 anos é de 174 cm, e o desvio
padrão é de 6 cm. Um homem entre 18 e 24 anos é escolhido aleatoriamente. Considere a função
real de variável real dada por:
(t−174)2
1
f (t) = √ e− 72
6 2π
(a) Represente graficamente f.
(b) Obtenha o maximizante de f.
(c) Prove que f é uma função densidade de probabilidade.
Nota 1: f é uma função de densidade de probabilidade se:
(i) f (t) ≥ 0, ∀t ∈ R;
Z ∞
(ii)
f (t) dt = 1.
−∞
(d) Calcule a probabilidade de se encontrar um homem Português, com idade entre 18 e 24
anos, que meça entre 1.70m e 1.80m.
Nota 2: A área de uma região plana sob uma função densidade de probabilidade e entre
os pontos de abcissa a e b dá-nos a probabilidade da variável aleatória tomar valores entre
a e b.
(e) Determine a altura média de um homem Português, com idade entre 18 e 24 anos.
Nota 3: A média de uma variável aleatória contı́nua E(T ), (esperança de T), é dada por:
Z
∞
E(T ) =
t · f (t) dt.
−∞
5. As peças de betão para a construção de um novo edifı́cio têm as dimensões (em metros) e o
formato mostrados na figura.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-2
0
2
4
2
1.5
1
0.5
0
(a) Determine a área da superfı́cie de cada uma das secções que compõem a peça.
Nota: Assuma que cada secção desta peça é limitada inferiormente pelas funções
f (x) =
1√
5+x
3
e
g(x) =
1√
5 − x.
3
(b) Determine o volume de betão que cada peça contem.
(c) Um metro cúbico de betão pesa 1200Kg. Determine o peso desta peça.