INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
12a LISTA DE PROBLEMAS E EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR - 2a
FASE
LCEIC-Taguspark, LCERC, LCEGI, LCEE
1o semestre 2007/08 - lista extra
1. Sejam A e B as seguintes matrizes por blocos:
A=
A11 A12
A21 A22
B=
B11 B12
B21 B22
a) Calcule a matriz produto AB, supondo compatı́veis todos os produtos dos blocos.
b) Supondo A uma matriz triangular superior por blocos, i.e. A12 = O com O
matriz nula, e as matrizes na diagonal por blocos A11 e A22 invertı́veis, determine
a matriz inversa de A.
2. Sendo An×n e A = AT uma matriz simétrica, A = −AT uma matriz anti-simétrica,
mostre que:
a) para toda a matriz quadrada B, BB T e B + B T são matrizes simétricas.
b) para toda a matriz quadrada B, B − B T é uma matriz anti-simétrica.
3. Considere as seguintes matrizes que representam transformações lineares em C2 :
0 1
1 −2
1 5
(a)
(b)
(c)
1 3
−2 3
−8 4
Para cada uma delas escreva a equação caracterı́stica e encontre os valores próprios
respectivos. Descreva o sistema dinâmico correspondente.
a −b
4. Encontre a matriz P invertı́vel e a matriz C da forma
tal que A = P CP −1 .
b a
1 −2
1 5
5 −5
(a) A =
(b) A =
(c) A =
1 3
−2 3
1 1
5. Sabendo que uma matriz hermiteana é uma matriz com entradas complexas que verifica
A = AT , sendo usual ainda a escrita AT = A∗ , encontre k, l e m que tornam a matriz
A numa matriz hermiteana.


−1
k
−i
0
m 
A =  3 − 5i
l
2 + 4i 2
6. Sendo A e B matrizes com entradas complexas e k ∈ C, mostre que:
a) (A∗ )∗ = A;
b) (kA)∗ = kA∗ ;
c) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ;
d) (AB)∗ = B ∗ A∗ .
7. Mostre que se An×n com entradas complexas e A = A∗ , então A só pode ter valores
próprios reais.
8. Mostre que para A com entradas reais, se A = AT , então A só pode ter valores próprios
reais e que os vectores próprios de espaços próprios diferentes são sempre ortogonais
relativamente ao p.i. usual.
9. Sabendo que uma matriz quadrada com entradas complexas se chama matriz unitária
quando verifica A−1 = A∗ , determine entre as matrizes dadas, quais as que são
unitárias.
 −i i

# √
√
√i
" i
1
6
3
√
√
1+i 1+i
0 −1
i 0
 02 √

−i
2
2
√i  ,
,
,
,
,

−i
1
6
3
√
√
1 0
0 i
1 − i −1 + i
i
i
i
2
2
√
2
√
6
√
3
10. Mostre que se A é uma matriz unitária, então:
a) as linhas de A formam uma base ortonormal em Cn relativamente ao p.i. usual
em Cn (Vd. [Anton 9E], p. 548).
b) as colunas de A formam uma base ortonormal em Cn relativamente ao p.i. usual
em Cn .
11. Sabendo que uma matriz quadrada com entradas complexas é dita matriz normal
quando verifica AA∗ = A∗ A, mostre que:
a) as matrizes hermiteanas e as matrizes unitárias são matrizes normais.
b) se A é uma matriz normal, então os vectores próprios de espaços próprios diferentes são sempre ortogonais relativamente ao p.i. usual em Cn .