Transformada de Laplace
Teoremas da Transformada de Laplace
Transformada Inversa de Laplace
Prof. André Marcato
Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição –
Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA
1
Teorema da Derivação Real(1)
Aula 3
2
Teorema da Derivação Real(2)
Aula 3
3
Teorema da Derivação Real(demo)
Aula 3
4
Teorema da Derivação Real (extensão 1)
Aula 3
5
Teorema da Derivação Real (extensão 2)
Aula 3
6
Exemplo 2.1
Aula 3
7
Teorema do Valor Final
Aula 3
8
Exemplo 2.2
Aula 3
9
Teorema do Valor Inicial


Aula 3
É a contraparte do teorema do valor final.
Este teorema não fornece o valor de f(t) em t=0, mas
em um instante mínimo maior que zero.
10
Teorema da Integração Real(1)
Aula 3
11
Teorema da Integração Real(2)
Aula 3
12
Teorema da Integração Real(3)
Aula 3
13
Teorema da Derivada Complexa
Aula 3
14
Integral de Convolução(1)
Aula 3
15
Integral de Convolução(2)
Aula 3
16
Integral de Convolução(3)
Aula 3
17
Interpretação Gráfica (1)
Aula 3
18
Interpretação Gráfica (2) –
Deslocamento para Direita
    g  
   t   g    t   g t  
Aula 3
19
Interpretação Gráfica (3) –
Deslocamento para Esquerda
Aula 3
20
Interpretação Gráfica (4) –
Deslocamento para Esquerda t<-3
Aula 3
21
Interpretação Gráfica (5)
Aula 3
22
Aplicação Importante
A operação de convolução pode ser
utilizada para encontrar a resposta de
um sistema linear de equações
diferenciais. A saída de um sistema
linear pode ser dada pela convolução da
entrada pela resposta ao impulso do
sistema.
 Entre outras…

Aula 3
23
Transformada de Laplace do Produto de
Duas Funções no Domínio de Tempo
Aula 3
24
Propriedade da Transformada de Laplace(1)
Aula 3
25
Propriedade da Transformada de Laplace(2)
Aula 3
26
Propriedade da Transformada de Laplace(3)
Aula 3
27
Transformada Inversa de Laplace

Integral de Inversão

Devido a dificuldade de resolução analítica desta
integral, sua utilização não é recomendada para
encontrar transformadas inversas de funções
comumente encontradas na engenharia de controle.
 Tabela de Transformadas
 Outra solução: Expandir em frações parciais e
escrever F(s) em termos de funções simples de s.
Aula 3
28
Método da Expansão para Determinação da
Transformada Inversa de Laplace
Na análise de sistemas de controle, F(s), a transformada de Laplace
de f(t), apresenta-se frequentemente do seguinte modo:
Onde A(s) e B(s) são polinômios de s. Na expansão em frações
parciais é importante que a maior potência de s em A(s) seja
maior que a maior potência de s em B(s). Caso contrário, o
numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s).
Aula 3
29
Expansão em Frações Parciais quando
F(s) envolve somente pólos distintos
Aula 3
30
Cálculo de ak
Aula 3
31
Resumo da Expansão em Frações
Parciais
Aula 3
32
Exemplo 2.3
Aula 3
33
Exemplo 2.4
Aula 3
34
Exemplo 2.5
Aula 3
35
Exemplo 2.5 (cont.)
Aula 3
36
Expansão em Frações Parciais Quando
F(s) inclui pólos múltiplos(1)
Aula 3
37
Expansão em Frações Parciais Quando
F(s) inclui pólos múltiplos(2)
Aula 3
38
Expansão em Frações Parciais Quando
F(s) inclui pólos múltiplos(3)
Aula 3
39
Expansão em Frações Parciais Quando
F(s) inclui pólos múltiplos(4)
Aula 3
40
Expansão em Frações Parciais Quando
F(s) inclui pólos múltiplos(5)
Aula 3
41
Expansão em Frações Parciais Quando
F(s) inclui pólos múltiplos(6)
Aula 3
42