ESTATÍSTICA
BÁSICA
Engenharia Mecânica
15/03/2011
1
Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional e teorema do produto:
Probabilidade condicional – sejam dois eventos A e B com P(B)>0. A
probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B ocorreu
é calculada pela seguinte expressão:
PA B  
PA  B 
P B 
É a probabilidade de A dado que B ocorreu ou é a probabilidade de
ocorrer A quando se sabe que o resultado pertence a B.
2
Teorema do produto
Teorema do produto – temos que:
que
PA B  
P B A  
PA  B 
PA
, observe também
PA  B 
P B 
Logo o Teorema do produto é:
P  A  B   P  A B P  B   P  B A P  A 
Para eventos independentes temos:
P  A  B   P  A  P B 
3
Exemplos
5- Os dados, a seguir, representam o sumário de um dia de observação em
um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite
produzidos num laticínio.
Tipo do leite
Condição de peso
B (B)
C (C)
UHT (U)
Total
dentro das especif.
500
4500
1500
6500
fora das especif.
30
270
50
350
Total
530
4770
1550
6850
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6850 unidades. Sejam
D e F os eventos que representam se o pacote retirado está dentro ou fora das
especificações, respectivamente. Da mesma forma, B, C e U são eventos que
representam o tipo de leite. Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado
estar fora das especificações, sabendo-se que é do tipo UHT?
PA B  
PA  B 
P B 
4
Exemplos
6- Em uma caixa com 11 peças, quatro delas são defeituosas. São selecionadas
2 peças ao acaso, sem reposição.
a. Obtenha a probabilidade de as duas peças serem defeituosas;
b. Obtenha a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas.
P  A  B   P  A B P  B   P  B A P  A 
P  A  B   P  A P  B A 
Eventos independentes: São jogados uma moeda e um dado. Obtenha a
probabilidade de sair cara e depois um 6.
P  A  B   P  A  P B 
5
Probabilidade total e teorema de Bayes
Probabilidade Total - é a soma das probabilidades conjuntas sobre
todos os valores possíveis.
A1  A2  A3  A4  An  S
Eventos mutuamente exclusivos
n
P ( A1 ) + P ( A 2 ) + P ( A 3 ) + P ( A 4 ) + P ( A n ) = 1
 PA   1
i
i 1
B   A1  B    A2  B   . An  B 
Probabilidade condicional P  B  
n
n
 P  A  B    P  A P  B
i
i 1
Ai 
i 1
6
exemplos
1- Um piloto de fórmula 1 tem 50% de probabilidade de vencer
determinada corrida, quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova
durante a corrida, sua probabilidade de vitória é de 25%. Se o serviço de
meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova durante a
corrida, qual é a probabilidade deste piloto ganhar esta corrida?
2- Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto
em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada
fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a
probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas
seja respectivamente de 10%, 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao
acaso, calcule a probabilidade dela ser defeituosa.
P B  
n
n
 P  A  B    P  A P  B
i
i 1
Ai 
i 1
7
Probabilidade total e teorema de Bayes
Teorema de Bayes – está intimamente relacionado ao teorema da
probabilidade total. Supõem-se as mesmas condições (eventos Ai
mutuamente exclusivos e exautivos e um evento B qualquer).
Basicamente, o teorema de Bayes permite obter a probabilidade de
que um dos eventos Ai ocorra, sabendo-se que o evento B ocorreu.
P  Ai B  
P  Ai  P  B Ai 
 P  A P  B
i
Ai 
8
Exemplos
2- Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes
de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e
as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças
defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%, 5% e 1%.
Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule a probabilidade de ser da fábrica A,
sabendo que a peça é defeituosa.
P  Ai B  
P  Ai  P  B Ai 
 P  A P  B
i
Ai 
14- Uma rede local de computadores é composta por um servidor e três clientes (A, B
e C). Registros anteriores indicam que os pedidos de determinado tipo de
processamento, realizados através de uma consulta, cerca de 20% vêm do cliente
A, 35% do B, e 45% do C. Se o pedido não for feito de forma adequada, o
processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais
de pedidos inadequados: 2% do cliente A, 1% do cliente B e 8% do cliente C.
a. Defina os eventos e identifique cada uma das probabilidades dadas no enunciado;
b. Determine a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente C,
sabendo-se que apresentou erro;
c. Qual a probabilidade de o sistema apresentar erro?
9
Distribuições Discretas de Probabilidade
Distribuição de Probabilidade – enumera cada valor que a variável
aleatória pode assumir, ao lado de sua probabilidade. Uma distribuição
de probabilidade deve satisfazer às seguintes condições:
0  P x   1
 P x   1
Representam frequências relativas, portanto
representadas através do histograma de frequência.
podem
ser
10
Exercícios
1- Determine se cada uma das distribuições é de probabilidade:
x
x
5
6
P(x)
P(x)
1
1/2
2
1/4
3
5/4
4
x
P(x)
1
0,16
2
0,22
3
0,28
4
0,2
5
0,14
-1
0,28
0,21
x
7
0,43
8
0,15
P(x)
1
0,09
2
0,36
3
0,49
4
0,06
11
Média, variância, desvio padrão e valor esperado
É possível medir a tendência central de uma distribuição de
probabilidade por meio de sua média e determinar a variabilidade por
meio de sua variância e de seu desvio padrão.
 

xP  x  
2

2


x

P x 

σ =
σ
2
E 
 xP  x 
x
P(x)
1
0,16
2
0,22
3
0,28
Exemplo: Obter a média, a
variância e o desvio padrão da
distribuição de probabilidade ao
lado.
4
0,2
X= dias de chuva;
5
0,14
P(x)= probabilidade de chover.
12
Distribuição Binomial
Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de
cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou
fracasso. Quando um jogador de basquete tenta um lançamento livre,
por exemplo, das duas, uma: ou ele faz a cesta ou não. Experimentos
probabilísticos como esse são chamados de binomiais.
n= número de vezes que uma tentativa é repetida;
p=P(S)= probabilidade de sucesso em uma única tentativa;
q=P(F)= probabilidade de fracasso em uma única tentativa;
x= a variável aleatória representa a contagem do número de sucessos
em n tentativas. X= 1, 2, 3, ..., n. (conta o número de tentativas com
sucesso).
x
P ( x )= n C x p q
n-x
=
n!
( n - x )! x !
x
p q
n-x
13
Exemplo
1- Qual a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda
honesta?
2- Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a
probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3
vezes?
3- Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos
aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que
contém 20% de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais
do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?
x n-x
P ( x )= n C x p q
=
n!
( n - x )! x !
x
p q
n-x
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Média, variância e desvio padrão
μ = np
σ
2
= npq
σ =
σ
2
E = np
1- No Sul do Brasil, 38% dos dias são ensolarados. Obtenha a média, a
variância e o desvio padrão para o número de dias ensolarados durante o mês
de junho (30 dias).
2- Minha filha convidou para seu aniversário 20 amigas da escola. Sabe-se
que cada amiga virá com probabilidade 60% e independente das demais.
Preparamos lembrancinhas em quantidade igual a 25% a mais do que o valor
esperado do número de amigas que comparecerão. Qual a probabilidade de
faltarem lembrancinhas?
15
Distribuição Normal de Probabilidade
É considerada a distribuição contínua de probabilidade mais
importante em estatística.
Seu gráfico é chamado de curva normal e é simétrico em torno da
média.
z
x

Exemplo: calcular
16
Distribuição Normal de Probabilidade
2) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas
por certa máquina é de 1,3 cm e desvio padrão 0,002 cm. A finalidade para qual
estas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima de 1,298 a 1,302 cm;
se isto não se verificar as arruelas serão consideradas defeituosas. Determine o
percentual de arruelas defeituosas que serão produzidas pela máquina,
admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.
3) Dois estudantes, em concurso alcançaram os seguintes valores de Z: 0,8 e
-0,4 respectivamente. Se suas notas foram 88 e 64, respectivamente, determine
a média e o desvio padrão das notas deste concurso.
z
x

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PRÓXIMA AULA – REVISÃO
E entrega dos trabalhos.
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