Métodos Matemáticos
Lineares - MML
Prof. Emilson Rocha de Oliveira
Primeiro Semestre de 2014
www.emc.ufg.br/~emilson/public
• DADOS GERAIS
Disciplina: Métodos Matemáticos Lineares
Período: 3o
Curso: Engenharia Elétrica
Carga horária: 4 horas semanais
Nome do Professor: Emilson Rocha de
Oliveira - Bloco G
(Sala de Professores – acesso PG3)
Dias/Horário: Segunda (sala 110) e Quarta
(sala 210) das 10:50 as 12:30
Semestre/Ano: primeiro/2014
OBJETIVOS
1. Familiarizar o aluno com a teoria de sistemas
a tempo discreto, sua representação através
de equações a diferença e técnicas para sua
solução.
2. Propiciar ao aluno bagagem matemática
adequada,
através
de
transformações
matemáticas que levam funções ou sinais do
domínio do tempo para o domínio da
frequência.
OBJETIVOS
3. permitir que, em disciplinas subsequentes,
técnicas para análize de sistemas lineares
invariantes no tempo, discretos ou
contínuos, possam ser apresentadas e
compreendidas pelos alunos do curso.
•EMENTA
- Equações de Diferenças.
- Transformada Z.
- Transformada de Laplace.
- Séries de Fourier.
- Transformada de Fourier.
•PROGRAMA
- Solução de Equações a Diferença:
•Sistemas a Tempo Discreto
•Solução Homogênea.
•Solução Particular
- Transformada Z:
• Definição.
• Propriedades da Transformada Z.
•Transformada Z de Funções Elementares.
•Transformada Z Inversa.
•Solução de Equação a Diferença
utilizando a Transformada Z.
- Transformada de Laplace:
• Definição.
• Propriedades da Transformada de
Laplace.
• Transformada de Laplace de
Funções Elementares.
• Transformada Laplace Inversa.
• Solução de Equação Diferencial
utilizando a Transformada de
Laplace.
- Transformada de Fourier:
• Representação em Série de Fourier
de Sinais Periódicos.
• Definição da Transformada de
Fourier.
• Propriedades da Transformada de
Fourier.
•METODOLOGIA DE ENSINO
O programa da disciplina é apresentado em aulas
expositivas do conteúdo teórico, sempre seguido da
resolução de exemplos relativos aquele conteúdo em
sala de aula. Em determinadas situações, após a
resolução dos exemplos os alunos são solicitados a, na
própria sala de aula, resolver exemplos semelhantes
aos apresentados. Listas de exercícios acompanhadas
das respostas são fornecidas para que o aluno os
resolva fora da sala de aula. As listas de exercício e
outros materias de apoio didático serão disponibilizados
no endereço www.emc.ufg/~emilson/public . Contato
com o professor pode ser mantido também pelo e-mail:
eroc235@gmail.com
•AVALIAÇÃO
MF  P1 * (0,20)  P2 * (0,25)  P3 * (0,25)  P4 * (0,30)
Primeira Prova (peso de 20%): 02 de abril
Segunda Prova (peso de 25%): 12 de maio
Terceira Prova (peso de 25%): 02 de junho
Quarta Prova (peso de 30%): 14 de julho
Substitutiva: 16 de julho
•BIBLIOGRAFIA:
1.Bibliografia Básica:
1. R. A. Gabel e R. A. Roberts. Signals and Linear systems, 3ª edição.
John Wiley, 1987.
2. H. P. Hsu. Sinais e Sistemas. Coleção Schaum. Bookman, Porto
Alegre, 2004.
3. B. P. Lathi Sinais e Sistemas Lineres, Bookman, Porto Alegre, 2004.
2.Bibliografia Complementar:
1. M. J. Roberts. Fundamentos em Sinais e Sistemas, McGrawHill,
2009.
2. A. Oppenheim e A. S. Willsky. Sinais e Sistemas. Pearson Education
do Brasil, 2010.
3. S. S. Soliman. Continous and Discrete Signals and Systems.
Prentice-Hall, 1990.
4. B. Girod, R. Rabenstein e A. Stenger. Sinais e Sistemas. LTC, 2003.
5. H. P. Hsu. Fourier Analysis. Simonand Scuster, 1970.
6. E. I. Butkov. Física Matemática. LTC, 1988.
Caracterização de Sistemas Lineares
• Não Linearidade versus Linearidade dos sistemas
físicos.
– Linearidade permite cálculos matemáticos mais simples.
– Utilização de sinais com facilidade de geração e tratamento
matemático;
• Degrau, rampa, exponencial, senos e cossenos
• Análise e Projeto (Síntese)
– Como engenheiros estamos interessados em projetar. Mas
como interferir em um sistema sem saber seu
comportamento?
– A análise precede o projeto.
Análise de sistemas
• A forma mais eficiente de análise é verificar o
sinal de saída de um sistema quando este é
submetido a um sinal padrão de entrada
Sinal de
Entrada
SISTEMA
Sinal de
Saída
O que é um SINAL ?
• É uma função que representa uma
quantidade ou variável física e contém
informações sobre o comportamento ou a
natureza do fenômeno.
– A comunicação entre os seres humanos ocorre
comumente através dos sinais de fala, seja na conversação
frente a frente ou através do telefone;
– Outra forma de comunicação humana é através da
comunicação visual com os sinais assumindo forma de
pessoas ou imagens de objetos;
– A comunicação também pode ser feita através da escrita
onde temos sinais gráficos que podem por exemplos
serem transmitidos via internet através de correio
eletrônico;
Outros Exemplos de Sinais
• Na medicina:
– Batimento cardíaco, temperatura do corpo,
pressão sanguínea, respiração etc.
• Na meteorologia:
– Temperatura, umidade, velocidade e direção dos
ventos etc.
• Na economia:
– Variações nos preços de ações, taxa de juros,
cotação de moedas etc.
Classificação dos Sinais
• Sinal a Tempo Contínuo e Sinal a Tempo
Discreto:
– O primeiro possui valor (mesmo que zero) para qualquer
instante de tempo, o segundo só tem valores definidos
(mesmo que zero) para instantes de tempo inteiros.
– Com esta classificação nossa definição de sinal fica melhor
representada por:
• É uma função ou sequência de valores que representa uma
quantidade ou variável física e contém informações sobre o
comportamento ou a natureza do fenômeno.
Classificação dos Sinais
• Sinal de Amplitude Contínua e Amplitude
Discreta:
– No exemplo anterior x(t) representa a variável
dependente enquanto “t” representa a variável
independente, desta forma um sinal de amplitude
contínua é aquele em que a variável dependente
assume valores contínuos (qualquer valor) e um
sinal de amplitude discreta é aquele em que a
variável dependente assume somente valores
inteiros.
Classificação dos Sinais
• Sinal Analógico:
– É aquele em que as variáveis dependentes e
independentes tem amplitude contínua.
• Sinal Digital:
– É aquele em que as variáveis dependentes e
independentes tem amplitude discreta.
• Sinal Real:
– Quando a variável dependente é real.
• Sinal Complexo:
– Quando a variável dependente é complexa.
Classificação dos Sinais
• Sinal Determinístico:
– Quando a variável dependente assume valores
conhecidos.
• Sinal Estocástico:
– Quando a variável dependente assume valores
aleatórios.
Classificação dos Sinais
• Sinal Par:
xt   x t 
x(t)
-2
-1
1
2
t
Classificação dos Sinais
• Sinal Impar:
xt    x t 
-1
1
t
Classificação dos Sinais
• Sinal Periódico e Não Periódico:
xt   xt  T  , T é o período
x(t)
V
-3T/4
-T/4
T/4
-V
3T/4
t
O que é um Sistema?
• É um modelo matemático (abstração) de um
processo físico que estabelece uma relação
entre um sinal de entrada (força externa ou
excitação) com um sinal de saída
Sinal de
Entrada
SISTEMA
X(.)
T(.)
Sinal de
Saída
y(.)
• Onde T(.) é um operador que transforma x(.)
em y(.)
Sistema " Massa - Mola Amortecido "
d xt  f dxt  k
1

 xt   F t 
2
dt
m dt
m
m
2
Classificação dos Sistemas
• Sistema quanto ao número de entradas e
saídas:
– Sistemas “SISO”: sistemas com uma entrada e
uma saída;
– Sistemas “MIMO”: sistemas como mais de uma
entrada e mais de uma saída.
Classificação dos Sistemas
• Sistemas a Tempo Contínuo:
– São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de
saída são contínuos e o operador T(.) atua de
forma contínua no sinal de entrada.
T(t), onde “t” é um número real
• Sistemas a tempo Discreto:
– São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de
saída são discretos e o operador T(.) atua de
forma discreta no sinal de entrada.
T(k), onde “k” é um número inteiro
Classificação dos Sistemas
• Sistema Causal:
– São aqueles em que a saída presente só depende
das entradas presentes e passadas.
– Isto implica que um sistema causal, com condições
iniciais nulas, não gera saída diferente de zero
antes que a ele seja aplicada uma entrada
diferente de zero.
Classificação dos Sistemas
• Sistemas Não Causais:
– São aqueles em que sua saída depende de
entradas futuras.
– Não existem fisicamente mas matematicamente
pode ser útil idealizá-los:
yt   xt  1
Classificação dos Sistemas
• Sistemas Lineares:
– São sistemas extremamente importantes para as
Engenharias;
– As técnicas de análise são bastante completas e
consolidadas para esta classe de sistemas;
– Para determinadas condições de operação os
sistemas não lineares podem ser analisados pelas
técnicas dos sistemas lineares.
Classificação dos Sistemas
– Em Engenharia Elétrica a teoria de sistemas
lineares é utilizada nas seguintes áreas:
•
•
•
•
•
•
Análise e Projeto de Circuitos Elétricos;
Processamento Digital de Sinais;
Telecomunicações;
Controle e Automação;
Instrumentação;
Etc.
Classificação dos Sistemas
– Definição de Sistemas Lineares:
– São aqueles que atendem a propriedade da
SUPERPOSIÇÃO
x1 t   y1 t 
x2 t   y2 t 
x3 t   x1 t   x2 t   y3 t   y1 t   y2 t 
– A propriedade da superposição implica em outra
propriedade a HOMOGENEIDADE
HOMOGENEIDADE
x1 t   y1 t 
x2 t   x1 t   y2 t   y1 t 
LINEARIDADE
• Se a resposta de um sistema a uma
combinação linear de sinais de entrada
implica em uma combinação linear das saídas
individualmente geradas por cada uma das
entradas, então a superposição se aplica e o
sistema é Linear
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