Na aula anterior introduzimos o tema de sistemas discretos e recordamos
aspectos sobre transformada Z, que é uma ferramenta imprescindível
para trabalhar neste campo
Hoje nos deteremos em dois aspectos fundamentais
Representação de sistemas de dados mostrados
Representação Discreta do Subsistema:
D/A – Processo – A/D
Na aula anterior, foi apresentado o sistema de controle digital genérico,
vide figura que pode ser esquematizada na seguinte forma:
Neste modelo, o relógio garante que o sistema discreto irá trabalhar com um
período de amostragem constante.
Em geral, a referência r(t) (sinal de entrada) é gerada internamente pelo
computador, desta forma o diagrama pode ser representado como:
Observações
• Na figura o sistema está parcialmente descrito na variável “z” e
parcialmente na variável “s”.
• Para projetar o controlador Gz, é necessário que o sistema todo esteja
representado em apenas uma única variável.
• Isto é feito determinando a função de transferência discreta do subsistema
discreto composto por D/A – processo – A/D, ou seja:
A seguir nos deteremos um momento neste elemento
O conversor D/A de ordem zero aproxima os valores amostrados por um
polinômio de ordem zero, conforme mostrado na figura abaixo.
Para determinar a resposta de G(s) (processo) a essa entrada, é necessário
aplicar a transformada de Laplace sabendo que:
A transformada de Laplace é:
Segundo a figura
Sendo que y(kT) é
obtido de y(t)
fazendo apenas
t = kT.
A resposta y(s) do processo
devido à entrada é
Esta resposta y(t) passa
pelo conversor A/D e
gera y(kT).
A transformada Z de y(kT) será:
Fazendo:
Teremos:
Segundo o operador atraso:
Logo,
devido a
Assim,
deve ser interpretada como a
transformada – Z da seqüência
obtida pela amostragem do sinal
Já se definiu anteriormente
Como a resposta ao impulso Y(z) é igual à função de transferência do sistema
H(z), temos:
A equação pode ser determinada utilizando apenas a tabela
Logo, para calcular H(z) devem-se seguir os seguintes passos:
Encontre na tabela a transformada inversa de
Faça
e encontre na tabela a transformada – Z de
Finalmente, a função de transferência discreta do sistema
D/A – G(s) – A/D
será
Exemplo 1: Considere o seguinte sistema dinâmico com interface A/D e
D/A:
Calcule a função de transferência discreta:
Solução:
A função de transferência H(z) é obtida realizando-se os passos da página anterior:
1-
2-
logo, segundo a tabela temos:
utilizou-se a linha (6) da tabela
3-
Finalmente,
Se
a4
T  0.1
0.3297
H(z) 
z - 0.6703
a=4;
G=tf(a,[1 a]);
T=0.1;
Gz=c2d(G,T)
0.3297
---------z - 0.6703
Exemplo 2: Considere o sistema de controle digital abaixo,
O período de amostragem da parte discreta é: 0,1seg
Trace o gráfico de y(kT) x kT devido a entrada r(kT) tipo degrau
unitário..
Solução:
Para determinar y(kT) é necessário primeiramente representar todo sistema
na variável Z, onde obtemos:
Os pólos são:
Temos:
Aplicando a propriedade de deslocamento:
Finalmente, a resposta transitoria sera:
Gz=tf([0.0952 0],[1 -1.8096 0.9048],0.1)
figure(1)
step(Gz)
Esta é a resposta completa se quer ver quão mesmo obteve teoricamente
até o instante de amostragem 17
Gz=tf([0.0952 0],[1 -1.8096 0.9048],0.1)
figure(1)
step(Gz,2)
n=[0.0952 0]
d=[1 -1.8096 0.9048]
figure(2)
dstep(n,d)