Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Alessandro D. Trani Gomes – [email protected]
Aula 3 – Transformada de Laplace
A teoria desenvolvida por Laplace permite empregar métodos
para soluções de equações algébricas para resolver equações
diferenciais lineares invariantes no tempo.
Seja um sinal físico que pode ser representado pela função no
domínio do tempo denotada por f(t). A transformada de Laplace
de f(t), doravante denotada por L {f(t)} = F(s) é definida por:

£ f (t )  F ( s)   f (t ) e st dt(1)
0
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Aula 3 – Transformada de Laplace
Analisando-se dimensionalmente o expoente –st, nota-se que o
mesmo deve ser adimensional de onde conclui-se que a variável s
deve ter mesma dimensão de frequência (T-1) recebendo o nome
de frequência complexa.
A transformada de Laplace pode então ser entendida como uma
mudança de domínio, onde uma função no domínio do tempo é
transformada em outra no domínio da frequência.
A função F(s) é a transformada de Laplace de f(t) e é uma função
da freqüência generalizada s =  + j . Temos interesse em t > 0.
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Aula 3 – Transformada de Laplace
ou
O retorno do domínio da frequência para o domínio do tempo
é obtida pela transformada inversa de Laplace denotada por
L-1 {F(s)} = f(t) e definida por:
f (t )  £
1
F (s)
c j
1
st
f (t ) 
F
(
s
)
e
ds , t  0

2 j c  j 
A transformada inversa de Laplace possibilita encontrar a
função temporal de uma reposta dinâmica de um sistema
modelado no domínio complexo‘s’.
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Aula 3 – Transformada de Laplace
Alguns métodos podem ser aplicados na inversão da função
no domínio complexo para o domínio tempo. Os métodos
mais simples baseiam-se na análise de tabelas de
transformações. Porém, dependendo do grau da função F(s),
requer-se fracioná-la, de maneira que a função total, por
vezes de difícil solução, seja quebrada em parcelas com
inversas mais simples. Esse método denomina-se Expansão
por Frações Parciais.
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Exemplos:
a) f (t )  e
at


F ( s)   f (t ) e dt   e
0
s t
a t

e at   e
s t
0
( s  a ) t
0

b) Função Degrau unitário: £ 1   e
0
s t
1
dt 
s
dt
1

sa
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Aula 3 – Transformada de Laplace
TEOREMA DO VALOR FINAL
Para analisar a resposta de um sistema em regime
estacionário aplica-se o teorema do valor final que é
definido por:
lim f (t )  lim sF ( s )
t 
s 0
Se uma transformada de Laplace é multiplicada por “s”, o
valor do produto fazendo “s” tender a zero é o valor da
transformada inversa com “t” tendendo a infinito.
Onde f(t) é uma função qualquer no domínio do tempo
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TEOREMA DO VALOR INICIAL
Não fornece o valor de f(t) em t = 0, mas num tempo ligeiramente
superior a ZERO

f (0 )  lim f (t )  lim sF ( s )
t 0
s 
Se uma transformada de Laplace é multiplicada por “s”, o
valor do produto fazendo “s” tender a infinito é o valor da
transformada inversa com “t” tendendo a zero.
Onde f(t) é uma função qualquer no domínio do tempo
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Exemplos:
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
• O método mais conveniente é utilizar a tabela de
transformadas inversas;
• A função deve estar numa forma reconhecível na tabela;
• Se a transformada F(s) não puder ser encontrada
diretamente na tabela, deve-se expandir em frações
parciais para obter funções com transformadas conhecidas;
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Aula 3 – Transformada de Laplace
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
• O denominador deve ser fatorado em termos de suas
raízes reais ou complexas;
• O numerador deve ser, pelo menos, um grau abaixo do
denominador;
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TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS
1) RAÍZES REAIS DIFERENTES
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1) RAÍZES REAIS DIFERENTES
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TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS
1) RAÍZES REAIS DIFERENTES (EXEMPLO)
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TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS
1) RAÍZES REAIS DIFERENTES (EXEMPLO)
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TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS
1) RAÍZES REAIS DIFERENTES (EXEMPLO)
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TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS
2) RAÍZES REAIS IGUAIS (REPETIDAS)
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2) RAÍZES REAIS IGUAIS (REPETIDAS)
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2) RAÍZES REAIS IGUAIS (REPETIDAS)
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2) RAÍZES REAIS IGUAIS (REPETIDAS)
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TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS
3) RAÍZES COMPLEXAS
- VEREMOS MAIS TARDE.....
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