EE –05
Princípios de Telecomunicações
AULA 2
Análise de Fourier
Sinais e espectros
Os sinais são compostos de várias
componentes senoidais (Série de Fourier)


Generalização  Transformada de Fourier
Aplicações

A análise da largura de faixa permitirá o
dimensionamento do sistema e o seu
adequado projeto.

Determinação da distribuição espectral de
um sinal de microondas e do ângulo de
chegada, através de uma transformada de
Fourier espacial
Operação transformada

A fim de se realizar uma operação de
transformação, deve-se inicialmente modelar
matematicamente o sinal.

Objetivo:
Série de Fourier;
Transformada de Fourier;
Relação entre ambas.
-
Fasores e espectro de linhas

Seja um sinal senoidal dado pela seguinte
expressão:
v(t )  A cos(o t  )

Utilizando-se da relação de Euler, tal que:
e j  cos()  j sen()
Representação fasorial

Podemos expressar o sinal senoidal por um
fasor, tal como na figura abaixo:
A cos(o t  )  Re(A.e jo t  )  A Re(e jo t  )
Espectro de amplitudes e
espectro de fases

Alternativamente, pode-se representar o
sinal senoidal pelos seus espectros de
amplitudes e de fases, tal como na figura.
Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase

Observações:

i. A amplitude (magnitude), no espectro de
amplitudes, deve ser sempre positiva . Assim, um sinal
descrito por v(t )   A cos( 0 t   ) deve ser re-escrito como
v(t )  A cos(0 t    ) .É indiferente se é utilizado + ou -.
ii.  tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve
ser expressa em radianos. Lembrar que  = 2..f em rad/s
e f em Hz.
iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do
eixo real, no sentido anti-horário.
iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente
denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que
, (t)  cos(t  / 2) , ou seja, o sinal seno é um sinal
sen
cosseno atrasado de /2 (ou, 900 ).



Exemplo

Dado o sinal:
s (t )  7  10 cos(40 t  60 )  4sen(120 t )

Cuja forma de onda é:

Determinar o seu espectro de freqüência
(amplitude e fase)
Solução

O sinal pode ser reescrito como:
s(t )  7 cos(20t )  10cos(220t  120)  4 cos(260t  90)

Assim, o seu espectro de freqüências será:
Série de Fourier

Seja uma função periódica de período T. Esta
função pode ser representada pela série de Fourier
Trigonométrica:
f (t) 
1
a 0  a1 cos( 0 t )  a 2 cos(2 0 t )  ...  b1 sen(0 t )  b 2 sen(20 t )  ...
2

1
 a 0   (a n cosno t   b n sen(no t ))
2
n 1
Com 0 = 2/T

Que pode ser reescrita da forma:

f ( t )  C0   C n cos(n0 t  n )
n 1
Ortogonalidade das funções seno
e cosseno

Definição de ortogonalidade:
Um conjunto de funções {k(t)} é dita
ortogonal em um intervalo a < t < b se, para
quaisquer duas funções m(t) e n(t) no
conjunto {k(t)} é válida a relação
b

m
( t ). n ( t ).dt  0 para m  n
a
 rn para m  n
Relação de ortogonalidade de
funções seno e cosseno
T
2
 cos(m t ) cos(n t )dt  0
0

0
T
2

T
2
T
2
 sin (m t )sin (n t )dt  0
0

mn
0
mn0
mn
T
2

T
2
mn0
T
2
 sin (m t ) cos(n t )dt  0
0

T
2
Com 0 = 2/T
0
para todo m e n
Série de Fourier
T
2 2
an 
f ( t ).cos(n0 t )dt n  0,1,2,...

T T
2
T
2 2
bn 
f ( t ).sin ( n0 t )dt n  1,2,...

T T
2
T
2 2
a0 
f ( t )dt

T T
2
Exemplo 1

Determinar a série de Fourier do sinal
 1
f (t )  
1,

- T /2  t  0
0  t  T /2
Cujo gráfico em função do tempo é dado
por:
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1

Como o sinal é periódico, é possível o
cálculo da série de Fourier.

A tarefa é portanto o cálculo dos
coeficientes da série de Fourier, lembrando
que:
2
T
an 
2
 f (t ).cos(n t )dt
T T
0
n  0,1,2,...
2
T
2 2
bn 
f ( t ).sin ( n0 t )dt n  1,2,...

T T
2
T
2 2
a0 
f ( t )dt
T T
2
Exemplo 1

Cálculo do a0 e an
T
0

2


2
2
a 0   f ( t ).dt     1.dt   1.dt   0
T T
T T

0


2
2


T
2
T
0

2


2
2
a n   f ( t ).cos(n0 t ).dt     1. cos(n0 t ).dt   1. cos(n0 t ).dt  
T T
T T

0

2
2

T
2
0

T
2


2
1
2 1
 
sin (n.0 .t )   
sin (n.0 .t ) 
T  n.0
 T T  n.0
0
2
Lembrandoque 0 
an  0  n  N
2
, a integralacima é nula. P ortanto:
T
Exemplo 1

Cálculo de bn
T
0

2


2
2
b n   f ( t ).sin (n0 t )dt     1.sin (n0 t ).dt   sin (n0 t ).dt  
T T
T T

0

2
2

T
2
T
2
0


2 1
2 1

cos(n0 t )    
cos(n0 t )  
T  n0
  T T  n0
0
2
0, se n par
2

(1  cos(n))   4
n
 n , se n ímpar
Exemplo 1

A série de Fourier fica então assim:
sin (30 t ) sin (50 t )
4  1
4

f (t ) 
sin
(
n

t
)

sin
(

t
)



...



0
0
 n ímpar n

3
5


A seguir façamos uma análise da série de
Fourier tomando-se um número de termos
cada vez maior
Exemplo 1

Supondo uma onda quadrada de freqüência
angular=2 rad/s e tomando-se somente o
primeiro termo da série de Fourier
,
4
f
(
t
)

sin (2t )
tem-se a seguinte forma de onda:

1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1

Tomando-se os dois primeiros termos:
4
sin (6t )
f ( t )  (sin (2t ) 
)

3

Cuja forma de onda é:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1


Tomando-se os três primeiros termos
4
sin (6t ) sin (10 t )
f ( t )  (sin (2t ) 

)

3
5
Cuja forma de onda é:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1

Tomando-se os 5 primeiros termos
4
sin (6t ) sin (10 t ) sin (14 t ) sin (18t )
f ( t )  (sin (2t ) 



)

3
5
7
9
 Cuja forma de onda é dada por:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 2

Determinar a série de Fourier da função f(t)
definida por:
-  t  0
0,

f (t)   1
t,



0t
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Determinação dos coeficientes an e bn
2
T
 4
2 T
2  0 
 f (t ).dt    t.dt  

 1
1  1
a0 1 2

T
T
2


2
2  1
  t. cos(n0 t ).dt  
a n   f ( t ).cos(n0 t ).dt 

T T
2  0 


2
1
 2



 t

 1 
 
sin
(
n
.
t
)

sin
(
n
.
t
)
dt
)





0 n  0

 n
1
1



cos(
n
.
t
)

(cos(n)  1)
0
2 n 2
2 n 2
0, se n par

an   2
-  2 n 2 , se n ímpar
Determinação dos coeficientes an e bn
T
2


2
2  1
  t.sin (n0 t ).dt  
b n   f ( t ).sin (n0 t ).dt 

T T
2  0 


2


 t

 1 
  cos(n.t )     cos(n.t )dt )  
0 n  0
 n

1
1

cos(n)   (1) n
n
n
1
 2


Tomando-se os seis primeiros termos em
senos e cossenos, tem-se que:
f (t ) 


1 2 
cos(3t ) cos(5t ) cos(7t ) cos(9t ) cos(11t ) 
 2  cos(t ) 





4  
9
25
49
81
121 
1
sin(2t ) sin(3t ) sin(4t ) sin(5t ) sin(6t ) 




  sin(t ) 


2
3
4
5
6 
Cuja forma de onda é dada por:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8

Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico
abaixo, onde se pode observar o efeito de
Gibbs nas transições da função.