Fundamentos de Telecomunicações
Aula 4: Análise de
Sinais
Sumário



Sinais Periódicos: Espectros de Linhas
Sinais não Periódicos: Espectros Contínuos
Modulação
Sinais Peródicos: Espectros de
Linha
Forma de onda sinusoidal
v(t )  A cos(0t   )
A  valorde pico ou amplitude
0  frequênciaangular
  Representao fact odo valormáximo

desviado da origem dum valor0
T0 é o períodode repetição
f0 
1 0

a frequênciacíclica f o é o inversodo período
T0 
Forma de onda sinusoidal
Representação da sinusoide por um
fasor

Tal como na análise de correnta alterna
estacionária, a sinusóide pode ser
representada por um fasor
Baseada no teoremade Euler
 j
 cos  j sin  com j   1
  0 t  
e
Representação
do fasor
Pode- se representar a sinusoide comoa
partereal duma exponencial complexa

 
A cos(0t   )  A e j (0t  )   Ae j (0t  )

Representação da Sinusoide por um
fasor
O fasor tem comprimento A
Roda no sentido retrógrado a fo rotações por segundo
Faz um angulo de  radianos com o eixo real
Para descrever o fasor no domínio da frequência precisamos de associar
A amplitude à fase
Convenções na representação
espectral




Variável independente é a frequência f em Hz
(ciclos/seg)
W em rad/seg é uma notação sintética para 2*pi*f
Os ângulos de fase são medidos relativamente a
função coseno : sin wt= cos (wt-90)
A amplitude é sempre positiva. Uma amplitude
negativa é absorvida na fase
–

–A cos(wt)= A cos (wt+-180)
Os ângulos são expressos em graus embora
angulos wt sejam em radianos.
Representação no tempo dum sinal
v(t )  7  10 cos(40t  60º )  4 sin((120t ) 
v(t )  7 cos(2 .0.t )  10 cos(40t  120º )  4 cos((120t  90)
Espectro unilateral do mesmo sinal
v(t )  7  cos(40t  60º )  4 sin((120t ) 
v(t )  7 cos(2 .0.t )  60º )  4 cos((120t  90)
Fasores Conjugados
Espectro de linhas bilateral
Simetria par
Simetria ímpar
1
z   ( z  z * )
2
z  Ae j 2f ot .e z *  Ae j 2f ot .e 
A j 2f ot  A  j 2f ot 
A cos(2f ot )  e
.e  e
.e
2
2
Versão bilateral do espectro
Espectros de Linha





Constituem representações pictóricas de sinsuoides ou fasores
em função do tempo
Uma linha no espectro unilateral representa um cosseno real
Uma linha no espectro bilateral representa uma exponencial
complexa donde para obter o cosseno real se deve adicionar o
fasor conjugado
Qando se faz referência ao intervalo [f1,f2] num espectro
bilateral tesá implícita a referência aos intervalos negativos
correspondentes.
O espectro de amplitude fornece bastante mais informação que
o de fase
Sinais Periódicos

Sinusóides e fasores são sinais periódicos
Sinal invarianteperanteqq translação temporal
de To segundos
v(t  m To )  v(t )
-  t  
To  períododo sinal
Sinal fica complementamentedefinido pelos
valoresque tomaem qq intervalode tamanhoTo
Sinais periódicos e potência média
O valormédio de v(t)
1
v(t)  lim
T  T
T
2
 v(t )dt

T
2
Sinal periódicoo valormédio é igual ao de um período
1
T  T
v(t)  lim
T
2
 v(t )dt 

T
2
1
T0
T0
2
 v(t )dt 

T0
2
1
v(t )dt

T0 T0
Sinais periódicos e potência média





vt) é voltagem aos terminais duma resistência
v(t) dá lugar a uma corrente i(t)= v(t)/R
Potência instantânea dissipada na resistência
sv(t)=v(t).i(t)= v2(t)/R
Potência normalizada (R=1)
Potência média dum sinal periódico
S  v(t )
2
1
  v(t ) 2 dt
T0 T0
Série de Fourier


Há pouco obtemos um sinal a partir da soma
duma constante e várias sinusoides
Vamos agora decompor um sinal periódico
em somas sinusoidas
–
Série de Fourier
Série de Fourier

v(t ) 
j 2f o t
C
e
n  0  1  2,....
 n
n  
Cn   v(t )e  j 2f ot dt
T0
Cn  valor médio do produtov(t)e j 2f ot
Cn  Cn e j 2f ot e jargCn
v(t )  uma soma de fasorescom amplitude Cn e fase argCn
com frequências nf0  0, f 0 ,2f 0 ,....
Representação espectralno domínioda frequência
consistenum espectrode linhasbilateraldefinido
peloscoeficientes da série
Representação espectal da Série de
Fourier
C (nf0 )  Cn
C (nf0 )  espectrode amplitudecomofunção def
arg C (nf0 )  espectrode amplitude
(i) T odasfrequências são múltiplasinteiras,harmónicas
1
da frequênciafundamental f 0 
T0
(ii) A componentecostanteé igual ao válormédio do sinal
1
C0   v(t )dt  v(t )
T0 T0
(iii)Se o sinal v(t)for real
C n  C*n  C n e  j arg C n
Série trignométrica de Fourier
v(t )  valorreal

v(t)  C0   2Cn cos(2nft  argCn )
n 1
Espectro de amplitude simetria par
Espectro de fase simetria ímpar
É usual usar a série exponencial e o espectro bilateral
sinc( )

Cálculo de Cn envolve
frequentemente o
cálculo do valor médio
dum fasor
T
1 2 j 2ft
1
1
jfT
 jfT
e
dt

(
e

e
)

sin(f )
T T
j 2ft
ft
2
sinc( ) 
sin( )

Sequência de pulsos rectangulares
1
Cn 
T0
Cn 
T
2

 v(t )e

T
2
 j 2f 0t
1
dt 
T0
2
 j 2f 0t
v
(
t
)
e
dt



2
1
(e  j 2f 0  e  j 2f 0 )
 j 2nf 0T0
Cn  Af0
sin(nf0 )
 Af0 sinc(nf0 )
nf0
Espectro da sequência de pulsos
rectangulares
Reconstrução por série de fourier
duma sequência de pulsos
se

T0
C0 

A
4
1
4
2Cn 
2A
n
sinc( )
n
4
A A 2
A
A 2
v(t )  
cos(2f ot )  cos(4f ot ) 
cos(6f ot )  ..
4


3
Reconstrução por série de fourier
duma sequência de pulsos
Exemplo 2.1

Esquematizar o espectro de amplitude de uma
sequência de pulsos rectangulares para cada um
dos seguintes casos.
T0
T0
  ;  :   T0
5
2

No último caso a sequência de pulsos degenera
numa constante ao longo do tempo. Como é que
esse facto tarnsparece no espectro?
Solução 2.1
Definição
1
Cn   v(t ).e  j 2nf 0t
T0 T0

Cn 
1
T0
T0 

4 2
 j 2nf t
 Ae 0 

T0 

4 2
1
T0
T0 

4 2
  Ae
 j 2nf 0t
T0

4 2
T
T


j 2nf 0 0
j 2nf 0 
A  j 2nf 0 40  j 2nf 0 2
4
2
Cn 
.e
e
.e
e

 j 2n 

T
T


 j 2nf 0 0
j 2nf 0 
A   j 2nf 0 40  j 2nf 0 2
4
2
.e
e
.e
 e

 j 2n 

Solução 2.1
T
T

j 2nf 0 0
j 2nf 0 
A  j 2nf 0 40  j 2nf 0 2
4
2
Cn 
.e
e
.e
e

 j 2n 

T
T


 j 2nf 0 0
j 2nf 0 
A   j 2nf 0 40  j 2nf 0 2
4
2
.e
e
.e
 e

 j 2n 

T0  


j 2nf 0
j 2nf 0 
A  j 2nf 0 4  j 2nf 0 2
4
2
Cn 
.e
e
.e
e

 j 2n 





 j 2nf 0
j 2nf 0 
A   j 2nf 0 4  j 2nf 0 2
4
2
.e
e
.e
 e

 j 2n 





jnf 0
 jnf 0
jnf 0 
A   jnf 0 2
j 2nf 0
 j 2nf 0
2
2
2
Cn 
e
.e
e
.e
e
e

 j 2n 

Teorema da Potência

Relaciona a potência média S de um sinal
periódico com os seus coeficientes de Fourier
Se v(t)for complexo
v(t ) 2  vn(t ).v* (t )
S
1
1
2
*
v
(
t
)
dt

v
(
t
).
v
(t )dt


T0 T0
T0 T0
Susbstituindo v* (t) pela sua série exponensial
 
 *
1
1
   *  j 2f ot 
 j 2f o t
S   v(t ).  Cn e
dt     v(t )e
dtCn

T0 T0
n   
n  


 T0 T0
S  n   CnCn*  n   Cn  T eoremade Parseval


2
Sinais não periódicos: espectros
continuos
Sinais não periódicos


Só existem durante um período do tempo
Se o sinal não periódico possui energia total
finita não nula
–
É representado no domínio da frequência por um
espectro contínuo que é a sua Transformada de
Fourier
Sinal não periódico típico
Sinal estritamente limitado no tempo v(t) =0 fora do intervalo
Designado por pulso
<v(t)>=<v(t)2> =0
Energia normalizada
Considera-se Energia total

  
 2 , 2 


E   v(t ) 2 dt

E  A2 (energiado pulso)
Transformada de Fourier

Sinal não periódico é um sinal periódico com
período infinito
Espect rode sinal periódico
Função discret a Cn definida no domínio
...,2 f 0 , f 0 ,0, f ,2 f ,....
Cn 
1
T0
T0
2
 j 2f 0t
v
(
t
).
e
dt


T0
2
Espect rode sinal não periódicodefine - se comoT0Cn
(T0  )
T ransforma
da de Fourier :
V(f)  (v(t )  lim
T0  
T0
2
 j 2f 0t
v
(
t
).
e
dt


T0
2
Transformada de Fourier
Obtençãodo sinal não periódico

v(t)  V(f).ej2ft df  1 (V ( f )
-
1  T ransforma
da inversade Fourier
V(f) representao mesmopapelque Cn para sinais periódicos
(i) V(f) é uma função complexade variávelreal.
V(f) é o espectrode amplitudee arg V(f ) é o espectrode fase
(ii) O valorde V( 0) é a área de v(t)
(iii) Se o sinal v(t) for realV ( f )  V * ( f ) e V(f)  V(  f)
argV(-f)  - argV(f);
Simetria par para o espectro de amplitude
Simetria ímpar para o espectro de fase
Pulso Rectangular não periódico
t



1
 

 0

t
t 

2

t
v(t)  A  
 
2

V( f ) 
2
 j 2ft
 Ae dt 


2
V (0)  A
A
sin(f  )  A sinc(f )
f
Espectro do pulso rectangular
Teorema da Energia
Teorema de Rayleigh

Relação idêntica ao teorema da potência de
Parseval

E   V ( f ).V ( f )df 
*

Gv( f )  V ( f )

 V( f )
2
df

2
densidade espectralenergia (Joules/Hz)
Largura de banda
1
1


E 1   V ( f )   ( A ) 2 sinc(f ) df


1

E 1  0.92A2


1

Calculado numericamente
Largura de banda dum sinal

Definição
–
Amplitude do menor intervalo espectral positivo
que contém 90% de energia total do sinal (ou da
sua potência média se se tratar dum sinal
periódico).
Modulação
Modulação de frequência

A multiplicação de um sinal v(t) por uma
onda sinusoidal dá origem a um sinal vm(t)
–
–
Espectro de vm(t) é o espectro de v(t) transladado
na frequência dum valor igual à frequência do
sinal sinusoidal
Resultado da Transformada de Fourier conhecido
por Teorema da modulação
Teorema da modulação
v(t )  V ( f )  (v(t ))
vm ( f )  v(t ) cos(2f p t )




Vm ( f )   vm (t )e  j 2ft dt   v(t ) cos(2f p t )e  j 2ft dt
j 2f p t
 j 2f t
p
e
cos(2f p t ) 
2

e j 2ft  e  j 2ft  j 2ft
Vm ( f )   v(t ).
e
dt
2

e




1
1
 j 2 ( f  f p ) t
 j 2 ( f  f p ) t
Vm ( f )   v(t )e
dt   v(t )e
dt
2 
2 
Vm ( f ) 
1
V ( f  f p ) V ( f  f p )
2
Exemplo modulado em amplitude e
respectivo espectro
t
z (t )  A  . cos(2f p t )
 
A
A
Z( f ) 
sinc (f  f p ) 
sinc (f  f p )
2
2




Sinal modulado em frequência e
espectro
t
t
v(t )  A cos(2f p t )  A   cos(2f p t )  A   cos(4f p t )
 
 
A
V ( f )  [ A cos(2f p t )] 
sinc(f  f p )  sinc(f  f p ) 
2
A
sinc(f  2 f p )  sinc(f  2 f p )
2



