Lista 05
Questão 1: Em uma turma escolar 60% dos alunos são homens e 40% são mulheres.
Dentre os homens, 25% são loiros, enquanto que 45% das mulheres são loiras. Um
aluno desta turma foi sorteado de maneira aleatória e não se revelou sua identidade.
Entretanto, descobriu-se que quem foi sorteado é loiro, qual a probabilidade deste
estudante ser homem?
Devemos calcular a probabilidade de ser homem dado que é loiro, sendo:
A = ser homem
B = ser loiro
esta probabilidade é dada por:
P(A|B) = P(B|A).P(A)/ [P(B|A).P(A) + P(B|Ac).P(Ac)] (Teorema de Bayes)
Dos dados do problema concluímos que:
P(A)=0,6, logo P(Ac) = 1 - 0,6 = 0,4
P(B|A) = 0,25
P(B|Ac) = 0,45
Agora é só substituir os valores...
Questão 2: Em três urnas, que chamaremos de I, II e III há bolas pretas e brancas nas
seguintes proporções: na urna I há 1 branca e 2 pretas, na urna II há 2 brancas e 1
preta e na urna III há 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida jogando-se um dado:
se sair 1 escolhe-se a urna I, se sair 2 ou 3 escolhe-se a urna II, caso contrário escolhese a urna III.
Após sorteada a urna e retirada uma bola descobriu-se que a bola retirada é branca.
(a) Qual é a probabilidade de que a urna sorteada tenha sido a II?
(b) Qual é a probabilidade de sortearmos uma bola preta?
(a): Devemos calcular a probabilidade de ser da urna II dado que é branca, sendo:
I = ser da urna I
II = ser da urna II
III = ser da urna III
B = ser branca
Queremos saber o valor de P( I | B ).
Do enunciado retiramos os dados: P(B | I ) = 1/3, P(B | II ) = 2/3, P(B | III ) = 3/5, como
as urnas podem ser supostas idênticas, consideramos P( I ) = P( II ) = P( III ) = 1/3.
Ora, agora basta usar o Teorema de Bayes:
P( I | B) = P(B| I ).P( I ) / [ P(B| I ).P( I ) + P(B| II ).P( II ) + P(B| III ).P(III ) ].
Observe que todos os termos do lado direito são conhecidos, basta calcular...
(b): O conjunto das bolas pretas Bc, é igual ao conjunto das bolas pretas que estão na
urna I, mais as bolas pretas que estão na urna II e também as bolas pretas que estão
em III. Assim, podemos escrever: Bc = (Bc n I ) U (Bc n II ) U (Bc n III ) , portanto,
P(Bc ) = P(Bc n I ) + P(Bc n II ) + P(Bc n III ) = P(Bc | I )P( I ) + P(Bc | II )P( II )+ P(Bc | III )P( III )
Agora basta substituir as probabilidades condicionais do enunciado. P(Bc | I ) = 2/3,
P(Bc |II ) = 1/3 e P( Bc | III) = 2/5. Resta fazer as contas. Este é o Teorema da
Probabilidade Total.
Questão 3: Suponhamos que de N objetos escolhemos r ao acaso com reposição (isto
é, retiramos olhamos e recolocamos no lugar). Qual é a probabilidade de que nenhum
objeto seja escolhido mais de uma vez?
O = {o1 , . . . , oN } representa o conjunto dos N objetos.
Assim o espaço amostral pode ser escrito como S = {s = (s1 , . . . , sr ); si O, i = 1, . . . , n}.
e observe que o número de elementos de S é |S| = Nr .
Agora considere o evento A = { (s1,s2,...,sr) em S tal que amostra não contém objetos
repetidos}, isto é, si é diferente de sj, sempre que i for diferente de j.
Agora observe que |A| = N (N - 1)(N - 2) . . . [N - (r - 1)].
Assim P (A) = |A|/|S| = 1.(1 – 1/N).(1-2/N)....[1 – (r-1)/N].
Questão 4: Numa turma há 7 mulheres e 5 rapazes. São sorteadas 4 pessoas para
formarem a comissão de formatura. Qual é a probabilidade de que uma comissão
formada desse jeito tenha exatamente 2 mulheres?
Podemos utilizar o modelo hipergeométrico para resolver este problema, observe que
o modelo binomial não contempla a retirada de elementos, ou seja, neste modelo
sempre há reposição, logo não podemos calcular a probabilidade de duas mulheres de
cara, pois após sortearmos uma mulher para a comissão a probabilidade de termos
outra mulher se altera, já o modelo hipergeométrico contempla a retirada de
elementos.
Assim sendo a probabilidade de termos duas mulheres é dada por:
x = número de mulheres na comissão
n = total de pessoas = 12
m = número de mulheres = 7
r = tamanho da amostra = 4
k = número de mulheres desejado na amostra = 2
sendo c(x/y) combinação de x, y a y:
P(x = k) = c(m/k) * c(n-m/r-k) / c(n/r)
Questão 5: No Brasil, 0.6% da população entre 15 e 49 anos está contaminada com o
vírus HIV. Um indivíduo faz o teste ELISA e o resultado obtido é positivo para o HIV.
Suponha que este teste apresente resultados corretamente em 97% dos casos. O que
se pode dizer sobre as chances desta pessoa estar de fato contaminada?
Devemos calcular a probabilidade de a pessoa estar de fato contaminada dado que o
teste disse que ela está contaminada, sendo:
A = estar contaminado
B = teste dar positivo
esta probabilidade é dada por:
P(A|B) = (0.6/100*97/100) / (0.6/100*97/100) + (99.4/100*3/100)
Que é o mesmo que probabilidade da pessoa ter a doença e o teste ter dado certo
sobre probabilidade de o teste dar positivo, sendo que dar positivo é o mesmo que a
pessoa ter a doença e o teste estar certo mais a pessoa não ter a doença e o teste
estar errado.
Questão 6: As pacientes diagnosticadas com câncer de mama precocemente têm 80%
de probabilidade de serem completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes
nessas condições, calcule a probabilidade de:
(a) Oito ficarem completamente curadas.
(b) Entre 3 e 5 (inclusive) não serem curadas.
(c) Não mais de 2 permanecerem com a doença.
A:
Neste caso podemos aplicar o modelo binomial pois os eventos são independentes,
em outras palavras, a cura de uma mulher não afeta a probabilidade de uma outra
mulher também ser curada, assim sendo a probabilidade de 8 mulheres serem
totalmente curadas é dada por:
x = número de mulheres curadas
n = número de pacientes
k = número de mulheres que desejamos que sejam curadas
p = probabilidade de uma mulher ser curada
(1-p) = probabilidade de uma mulher não ser curada
x ~ bin (k,n,p), neste caso: x ~ bin(8,12,8/10)
P(x = k) = c(n/k) * (p)^k * (1-p)^n-k
P(x = k) = c(12/8) * (8/10)^8 * (2/10)^4
B:
Esta probabilidade é dada pela probabilidade de três mulheres permanecerem com a
doença somada a probabilidade de quatro mulheres permanecerem com a doença
somada a probabilidade de cinco mulheres permanecerem com a doença, logo é dada
pelo somatório com k variando de 3 até 5 de:
x ~ bin(k,12,8/10)
P(x = k) = c(12/k) * (8/10)^12-k * (2/10)^k
C:
Esta probabilidade é dada pela probabilidade de nenhuma mulher permanecer com a
doença somada a probabilidade de uma mulher permanecer com a doença somada a
probabilidade de duas mulheres permanecerem com a doença, logo é dada pelo
somatório com k variando de 0 até 2 de:
x ~ bin(k,12,8/10)
P(x = k) = c(12/k) * (8/10)^12-k * (2/10)^k
Questão 7: Cada uma das 4 urnas: Urna 1, Urna 2, Urna 3 e Urna 4, contém α bolas
brancas e β bolas pretas. Uma bola é retirada da Urna 1 e posta na Urna 2; em seguida
uma bola é retirada da Urna 2 e posta na Urna 3; em seguida é retirada uma bola da
Urna 3 e posta na Urna 4. Finalmente, uma bola é retirada da Urna 4. Se a primeira
bola transferida for branca, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida
seja branca? (Você conseguiria resolver o problema com n urnas?)
Ao retirarmos a primeira bola branca e depositarmos na segunda urna a
probabilidade de retirarmos uma bola branca da mesma se altera de α / α+β
para α+1 / α+β+1 e dela ser preta é de β / α+β+1, isso ocorrerá em todas as
urnas, inclusive na Urna 4, assim sendo devemos calcular todas as
possibilidades de tirarmos uma bola branca na Urna 4 e somá-las, sendo elas
dadas por:
(B, B, B, B) = 1 * (α+1 / α+β+1) * (α+1 / α+β+1) * (α+1 / α+β+1)
(B, P, B, B) = 1 * (β / α+β+1) * (α / α+β+1) * (α+1 / α+β+1)
(B, B, P, B) = 1 * (α+1 / α+β+1)* (β / α+β+1) * (α / α+β+1)
(B, P, P, B) = 1 * (β / α+β+1) * (β+1 / α+β+1) * (α / α+β+1)
Questão 8: De um lote que contém 25 peças, das quais 5 são defeituosas, são
escolhidas 4 ao acaso. Seja X o número de defeituosas encontradas. Estabeleça a
distribuição de probabilidade (isto é, uma função que dê a probabilidade P([X = k])
para qualquer k possível) de X, quando:
(a) As peças forem escolhidas com reposição.
(b) As peças forem escolhidas sem reposição.
A:
x ~hip(k, n, m, r)
x = número de peças defeituosas
n = total de peças
m = número de peças defeituosas no lote
r = tamanho da amostra
k = número de peças defeituosas desejado na amostra
sendo c(x/y) combinação de x, y a y:
P(x = k) = c(m/k) * c(n-m/r-k) / c(n/r)
B:
x ~bin (k, n, p)
x = número de peças defeituosas
n = número de peças no lote
k = número de peças que desejamos que sejam defeituosas
p = probabilidade de uma peça ser defeituosa
(1-p) = probabilidade de uma peça não ser defeituosa
P(x = k) = c(n/k) * (p)^k * (1-p)^n-k