UNIVERSIDADE FEDERAL
DE PERNABUCO - UFPE
Curso: TURISMO
Disciplina: ESTATÍSTICA
APLICADA AO TURISMO E
HOTELARIA ET-652
Professor: WALDEMAR SANTA
CRUZ OLIVEIRA JR
PROBABILIDADE
CONDICIONAL,
INDEPENDÊNCIA E
TEORMA DE BAYES
PROBABILIDADE CONDICONAL
P ( A | B) 
em que P(B)>0.
Leia a probabilidade de A dado B.
P( A B)
P( B )
,
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
E
Sexo
H
M
Total
F
Total
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
E
F
Total
H
40
60
100
M
70
80
150
110
140
250
Sexo
Total
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
E
F
Total
H
40
60
100
M
70
80
150
110
140
250
Sexo
Total
40
P( H  E )
40
P( H | E ) 
 250 
110
P( E )
110
250
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
E
F
Total
H
40
60
100
M
70
80
150
110
140
250
Sexo
Total
80
P( F  M )
80
P( F | M ) 
 250 
150
P( M )
150
250
Obs1: Da definição temos que
P( A ∩ B) = P(A|B)P(A)=P(B|A)P(B)
Obs2: A probabilidade condicional de fato é uma medida de
probabilidade.
1) 0 ≤ P(A|B) ≤ 1
Dem: A ∩ B está contido em B, logo P(A ∩ B) ≤ P(B), portanto,
0
P( A B)
P( B)
1
2) P(Ω|B)=1
Ω ∩ B = B, logo P(Ω ∩ B)=P(B), portanto,
P( | B) 
3)
P( B)
P( B)
P( B )

1
P( B )
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas vermelhas e duas brancas.
Seleciona-se duas bolas sem reposição. Qual a probabilidade de
aparecer: nenhuma bola branca? Uma bola branca? duas bolas
brancas?
Espaço Amostral Ω={BB, BV, VB, VV}
P( B | B) 
P( B) 
2
5
P (V | B ) 
P( B | V ) 
P(V ) 
3
5
1
4
3
4
2
4
2
P (V | V ) 
4
2 1 1
P ( B B )  P ( B ) P ( B | B )  * 
5 4 10
2 3 3
P( BV )  P( B) P(V | B)  * 
5 4 10
3 2 3
P(V  B)  P(V ) P(V | B)  * 
5 4 10
3 2 3
P(V V )  P(V ) P(V | V )  * 
5 4 10
P(nenhuma Branca)=0,3 P(uma Branca)=0,3+0,3=0,6 P(duas brancas)=0,1
EVENTOS INDEPENDENTES: Dois eventos são independentes se
P( A B)  P( A).P( B)
Exemplo: No lançamento de 3 moedas os eventos: A - a
primeira moeda é cara e B - aparece cara na 2ª e 3ª moedas
são independentes.
Exemplo: No lançamento de um dado considere os seguintes
eventos: A – O dado é par; B – O dado é dois; C – O dado é ímpar;
D – O dado é cinco ou seis. Pede-se:
a) P(A|B)
b) P(A|C)
c) P(A|D)
EVENTOS MUTUAMENTE INDEPENDENTES: Três eventos são
independentes se as condições abaixo são satisfeitas:
1) P ( A B C )  P ( A).P ( B ).P (C )
2) P ( A B )  P ( A).P ( B )
3) P ( A C )  P ( A).P (C )
4) P ( B C )  P ( B ).P (C )
Exemplo: No lançamento de três moedas considere os eventos
A: aparece cara na primeira moeda
B: aparece cara na segunda moeda
C: aparece coroa na terceira moeda
Estes três eventos são mutuamente independentes.
Exemplo: Podemos ter as condições 2), 3) e 4) satisfeitas, mas, a
condição 1) não ser satisfeita. Seja o espaço amostral Ω={a,b,c,d}.
Considere os eventos A{a,d}; B={b,d} e C={c,d}. Então, a condição 1)
não é satisfeita, porem as outras três condições são satisfeita. Logo
esses eventos não são mutuamente independentes.
Partição: Seja Ω = A1 U A2 U ... U An, de forma que P(Ai)>0 para
todo i=1,2,... e Ai ∩ Aj= { }, para todo i diferente de j, então, dizemos
que a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An forma uma partição do
espaço amostral Ω.
OBS: Podemos estender esse conceito para uma coleção infinita A1,
A2, ....
OBS:

n
11
P ( Ai )  1
Teorema da Probabilidade Total: Sejam A1, A2,...,An, uma
partição de Ω, então, para qualquer conjunto B de Ω temos que
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An)
Dem. Observe que B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2) U ... U (B ∩ An)
Portanto, P(B) = P((B ∩ A1) U (B ∩ A2) U ... U (B ∩ An) )=
= P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ An)
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna
contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retirase uma bola, qual a probabilidade da bola retirada ser branca?
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna
contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retirase uma bola, qual a probabilidade da bola retirada ser branca?
3 1 19
 
10 3 30
Teorema de Bayes: Sejam A1, A2 , . . . , An uma partição de Ω e B um
evento qualquer de Ω, então, para qualquer i = 1, . . . , n, temos que
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai | B ) 
P( B)
Ou seja,
P( Ai ) P( B | Ai )
P( Ai | B) 
P( A1 ) P( B | A1 )  P( A2 ) P( B | A2 )  ...  P( An ) P( B | An )
Dem.
P ( Ai | B ) 
P ( Ai  B )
P( B)

P ( Ai ) P ( B | Ai )

n
i 1
P ( Ai ) P ( B | Ai )
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna
contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retirase uma bola, sabendo-se que a bola retirada foi branca, qual a
probabilidade de ter vindo da urna I?
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna
contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retirase uma bola, sabendo-se que a bola retirada foi branca, qual a
probabilidade de ter vindo da urna I?
P( B) P( B | I )
P( I | B) 
P( B) P( B | I )  P( B) P( B | II )
1 3
*
9
2 5
P( I | B) 

1 3 1 2 19
*  *
2 5 2 3
Exemplo: Três máquinas M1, M2 e M3 fabricam o mesmo tipo de
parafusos. A probabilidade da máquina M1 fabricar um parafuso com
defeito é 0,2, já M2 é 0,1 e M3 é 0,15. Sabendo-se que de um lote de
50 parafusos 20 vieram de M1, 25 de M2 e o restante de M3.
Seleciona-se um parafuso.
a) Qual a probabilidade do parafuso ser defeituoso?
b) Sabendo-se que o parafuso é defeituoso qual a probabilidade dele
ter sido fabricado pela máquina M1? E pela máquina M2? E pela
máquina M3?