Teorema das cordas MA13 - Unidade 11 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT 26 de agosto de 2014 1 - Duas retas concorrentes são secantes a uma circunferência Nessa situação há dois casos a considerar: o ponto de interseção das retas é interior ou exterior à circunferência. Nesses dois casos existe uma mesma propriedade chamada de Teorema das cordas. Teorema das cordas slide 2/13 Teorema Se uma reta passa pelo ponto P e corta uma circunferência nos pontos A e B o produto PA.PB é constante. 1o caso: P é interior à circunferência Na figura a seguir, a corda AB passa por P. Seja CD uma outra corda também passando por P. C B A P D PA PD Os triângulos PAD e PCB são semelhantes. Logo, = , ou PC PB seja, PA.PB = PC .PD. Assim, o produto PA.PB é constante. Teorema das cordas slide 3/13 2o caso: P é exterior à circunferência Uma reta passa por P e corta a circunferência em A e B. Tracemos uma outra reta passando por P e cortando a circunferência em C e D como na figura a seguir. B A P C D PA PD Os triângulos PAD e PCB são semelhantes. Logo, = , ou PC PB seja, PA.PB = PC .PD. Assim, o produto PA.PB é constante. Teorema das cordas slide 4/13 Caso particular A figura a seguir mostra uma secante e uma tangente passando pelo ponto P. Vale a relação PT 2 = PA.PB. T P A B Os triângulos PAT e PTB são semelhantes. Por quê? Teorema das cordas slide 5/13 Potência de um ponto em relação a uma circunferência Considere uma circunferência de centro O e raio R e um ponto P qualquer. Seja PO = d. A Potência do ponto P em relação a essa circunferência é o número real definido por Pot(P) = d 2 R2 P P d O d O Pot(P) > 0 Teorema das cordas Pot(P) = 0 P d O Pot(P) < 0 slide 6/13 Complete: Na figura ao lado, Pot(P) = . . .. T t P Teorema das cordas slide 7/13 Potência, cordas e secantes a) P é interior à circunferência de centro O e raio R AB é uma corda qualquer passando por P, CD é um diâmetro passando por P e PO = d. B d C P R D O A Pot(P) = d 2 R 2 = (d R)(d + R) = PC ⇥ PD = PA ⇥ PB. Teorema das cordas (R d)(d + R) = slide 8/13 b) P é exterior à circunferência de centro O e raio R PAB é uma secante qualquer, PCD uma secante passando pelo centro e PO = d. B A d P C Pot(P) = d 2 R 2 = (d Teorema das cordas R D O R)(d + R) = PC ⇥ PD = PA ⇥ PB. slide 9/13 Eixo radical Considere as circunferências (A, R) e (B, r ) com R r e P um ponto que possui mesma potência em relação às duas circunferências. Teorema O lugar geométrico de P é uma reta perpendicular à reta que contém os centros das circunferências. Pergunta Dadas duas circunferências você consegue localizar um ponto que tenha mesma potência em relação às duas circunferências? Teorema das cordas slide 10/13 Demonstração Sejam: AB = 2d, M o ponto médio do segmento AB, Q a projeção de P sobre a reta AB, PQ = h e MQ = x. P x A m M Q m B PotA (P) = PotB (P) ) PA2 R 2 = PB 2 r 2 ) PA2 PB 2 = R 2 r 2. A diferença dos quadrados das distâncias de P aos centros A e B das circunferências é constante e igual à diferença dos quadrados dos raios. Teorema das cordas slide 11/13 Continuação da demonstração R2 r 2 = PA2 = PA2 PB 2 h2 = (m + x)2 (PB 2 (m h2 ) x)2 = 4xm R2 r 2 que é constante. 4m Logo o ponto Q, projeção de P sobre a reta AB é fixo. Assim, x = Portanto, o LG do ponto P é a reta perpendicular a AB distando R2 r 2 x= do ponto médio de AB e mais próxima de B do que 4m de A. Teorema das cordas slide 12/13 Eixo radical em quatro situações E E Teorema das cordas E E slide 13/13
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