Transformação Linear
Definição: Sejam U e V dois espaços
vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação)
é denominada Transformação Linear de
U em V se:
a) T  u 1  u 2   T  u 1   T  u 2  ,  u 1 , u 2  U
b) T   u 1    T  u 1  ,    R ,  u 1  U
Obs: Se U  V então a transformação
linear é chamada de Operador Linear.
Exemplos
1) Transformação Linear Nula
2) Operador Linear Identidade
3) T : U  V tal que
T  u    u ,   R fixo ,  u  U
4) T : R 2  R 3 dada por
T  x , y    2 x , 0, x  y 
5) T : P n  R   P n  R 
T
 f  x    f ´ x  
definida por
f
x
Contra - Exemplo
T :R  R
definida por
T  x   x , x  R
2
pois temos que:
T  u 1  u 2    u 1  u 2   u 1  2 u 1u 2  u 2
2
T  u1   T  u 2   u1  u 2
2
2
2

2
Propriedades
Sejam dois espaços vetoriais reais e
uma transformação linear entre eles.
Então:
P1) T  0   0
P2) T   u    T  u  ,  u  U
P3) T  u  v   T  u   T  v  ,  u , v  U
Propriedades
P4) Se W é um subespaço de U , então
a imagem de W pela transformação
linear é um subespaço vetorial de U ,
isto é, T  W  é subespaço vetorial real.
 n

P5) T    i u i  
 i 1

n
  T u 
i
i 1
i
Propriedades
P6) Sejam U e V espaços vetoriais reais
e B   u1 , u 2 ,..., u n  uma base de U .
Dados v1 , v 2 ,..., v n vetores arbitrários de V ,
existe uma transformação linear tal que:
T :U  V
e
T  u 1   v1 , T  u 2   v 2 ,..., T  u n   v n
Núcleo e Imagem
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais
e uma transformação linear entre eles,
denomina-se Núcleo da Transformação o
subconjunto do domínio da função dado
por:
ker(T )  N (T )   u  U T ( u )  0 
Núcleo e Imagem
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais
e uma transformação linear entre eles,
denomina-se Imagem da Transformação
o subconjunto do contra-domínio da função
dado por:
Im (T )   v  V
 u  U onde T ( u )  v 
Exercícios
Exercício 01: Verificar se as funções
abaixo são transformações lineares e
determinar seus núcleos e imagens:
a) T : R 2  R d ad a p o r T  x , y   2 x  3 y
b)
T : P2  R   R definida por
3
T  a 2 x  a1 x  a 0    2 a 1  a 0 , a 2  a 1 , 3  a 0 
2
 2x
c) T : R  M 2  R  tal que T  x , y   
y
2
x y

x 
Núcleo e Imagem
Proposição: Dada uma transformação
linear, temos que:
1. O núcleo da transformação é um
subespaço vetorial do domínio da
função.
2. A imagem da transformação é um
subespaço vetorial do contra-domínio
da função.
Recordando
Definição: Uma função do conjunto A no
conjunto B é dita:
1. Injetora se:
 a1 , a 2  A , a1  a 2 então
F ( a1 )  F ( a 2 )
ou seja,  a1 , a 2  A , F  a1   F  a 2   a1  a 2
2.
Sobrejetora se:
 b  B ,  a  A tal que F  a   b
o u seja, Im  F   B .
Recordando
Definição: Uma função do conjunto A no
conjunto B é dita bijetora se é injetora
e sobrejetora simultâneamente.
Teoremas
Proposição: Uma transformação linear é
injetora se e somente se N  T    0  .
Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados
dois espaços vetoriais reais de dimensão
finita. Dada uma transformação linear
entre eles, então:
dim  U   dim  N  T
   dim  Im  T  
Resultados Importantes
Proposição: Dada uma transformação
linear, temos que se
U   u 1 , u 2 ,..., u n 
então
Im  T    T  u 1  , T  u 2  ,..., T  u n  
Resultados Importantes
Corolário: Dada uma transformação
linear de espaços vetoriais de dimensão
iguais. Então as afirmações abaixo são
equivalentes:
(1) É sobrejetora
(2) É bijetora
(3) É injetora
(4) Transforma base do domínio em
base do contradomínio.
Isomorfismo
Definição: Dados dois espaços vetoriais
reais e uma transformação linear de
entre eles. Dizemos que a transformação
linear é um isomorfismo entre eles se é
uma transformação bijetora (isto é,
injetora e sobrejetora).
Notação:
U  V~
Automorfismo
Definição: Dizemos que um isomorfismo
entre espaços vetoriais reais é um
automorfismo se os espaços são
iguais, ou seja, T é um isomorfismo de
um espaço nele mesmo.
Proposição: Dado um isomorfismo sua
transformação inversa é também um
isomorfismo.
Resultados Importantes
Proposição: Dados dois espaços
vetoriais reais de mesma dimensão,
então a transformação linear dada a
seguir é um isomorfismo entre eles.


T    iu i  
 i 1

n
n
 v
i
i
,
i 1
onde u i pertence a base de U e
v i pertence a base de V
Resultados Importantes
Teorema: Dois espaços vetoriais de
dimensão finita são isomorfos se e
somente se
dim  U   dim  V 
Exercícios: Transformações Lineares