Vetores
Grandeza escalar: grandeza física descrita por um número e
obedecem as leis da aritmética e da álgebra elementar. Ex:
temperatura, 25º.
Grandeza vetorial: grandeza física descrita por um módulo
(quantidade ou tamanho), juntamente com uma direção e
sentido no espaço. Ex: deslocamento de um avião.
Esses quatro vetores são iguais?
Representação vetorial

D
=D
ou a representação gráfica

Magnitude de D=

D  30 m
30 m
Somando Vetores Geometricamente
Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente
desenhando-os em uma mesma escala e dispondo-os em
seqüência com a ponta de um tocando a cauda o do outro. O
vetor que une a cauda do primeiro vetor até a ponta do segundo
é a soma vetorial s. Para subtrair b de a, inverta o sentido de b
para obter –b; depois some –b com a. A soma vetorial é
comutativa e obedece à lei associativa.
Soma Vetorial
Propriedades comutativa e associativa
Subtração Vetorial
Componentes de um vetor
As componentes (escalares) Ax e Ay de qualquer vetor
bidimensional A ao longo dos eixos coordenados são
determinadas baixando-se retas perpendiculares das extremidades
de A sobre os eixos coordenados. As componentes são dadas por:
Onde  é o ângulo entre o sentido positivo do eixo e a direção
de A. O sinal algébrico de uma componente indica o seu sentido
ao longo do eixo correspondente. Dadas as suas componente,
podemos achar o módulo e a orientação do vetor A com
Vetores unitários
Os vetores unitários î , ˆj e k̂ possuem módulos unitários e estão
dirigidos nos sentidos positivos dos eixos, x, y e z. Podemos
escrever um vetor A em termos dos vetores unitários como:
onde, Ax e Ay são suas
componentes escalares
Um ponto qualquer de coordenada cartesiana (x,y) pode ser
representado pelo vetor posição r:
Somando Vetores componente a componente
Para somarmos vetores componente a componente, usamos as
regras:
Dadas suas componentes o módulo e a direção do vetor R é:
Generalizando:
Produto de um Escalar por um Vetor
O produto de um escalar s por um vetor v é um novo vetor cuja
direção é a mesma de v, cujo módulo é sv e cujo sentido é o
mesmo de v se s for positivo e contrário se s for negativo. Para
dividir v por s, multiplique v por 1/s.
O Produto Escalar
O produto escalar de dois vetores A e B é a grandeza escalar
dada pela equação:
onde  é o ângulo entre A e B.
onde
O Produto Vetorial
O produto vetorial de dois vetores A e B é a um vetor, cujo
módulo é dado pela equação:
é perpendicular
aAeB
Exercício 1. Um carro viaja 20 km no sentido norte, mais 35 km no
sentido 60º de norte para leste, como mostra a figura. Calcule o
módulo e o sentido do deslocamento resultante do carro?
Exercício 2. Um urso caminha rumo NE percorrendo 12 m e depois a
leste percorrendo 12 m. Mostrar num gráfico cada deslocamento e depois
calcular o deslocamento resultante.
Exercício 3. Uma partícularealiza três deslocamentos
consecutivos:

 cm, d 2  23 î  14 ĵ  5k̂  cm, d 3  13 î  15 ĵ  cm.

Encontre o vetor deslocamento total e sua magnitude.

d 1  15 î  30 ĵ  12 k̂


A  3 î  2 ĵ e B   î  4 ĵ
Exercício
4. Considere
dois vetores
 
 
 
 
 
(a) A  B , (b) A  B, (c) A  B , (d) A  B , e as direções de A  B
. Calcule:
 
e A B .
Exercício 5. Um aviáo estabelece uma rota ilustrada na figura abaixo.
Primeiro, ele voa da origem do sistema de coordenadas até a cidade A,
localizada a 175 km em uma direção fazendo 30º de leste para o norte.
Seguindo, ele voa 153 km fazendo 20 º de norte para oeste em direção a
cidade B. Finalmente ele voa 195 km para o oeste em direção a cidade C.
Encontre a localização da cidade C relativo a origem.
Produto Escalar
Exercício 6. Qual é o ângulo entre os vetores

a  3 î  4 ĵ
e

b   2 î  3 k̂
Produto Vetorial
Exercício 7. Se

a  3 î  4 ĵ
e

b   2 î  3 k̂ ,
qual é
  
c  ab
?
?