Metodologia do Ensino
da Matemática – Aula 10
IMES – Fafica
Curso de Pedagogia – 3º Ano
Prof. MSc. Fabricio Eduardo Ferreira
[email protected]
Decomposição em fatores primos (Árvore de fatores)
Decomponha o número 36 em fatores primos:
36
36
9
4
2
2
3
36
6
6
3
2
3
2
3
36 = 2 × 3 × 2 × 3 = 22 × 32
2
2
2
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
18
2
2
9
3
3
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
Decomposição em fatores primos (Dispositivo prático)
Decomponha o número 36 em fatores primos:
P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ⋯
36
2
18
2
9
3
3
3
220
2
1
36 = 22 × 32
110
2
55
5
11
1
11
Decomponha o número 105 em fatores primos:
105
3
35
5
7
7
1
105 = 3 × 5 × 7
Decomponha o número 220 em fatores primos:
220 = 22 × 5 × 11
Divisores
Luciano tem 12 figurinhas repetidas. Ele quer dividí-las com um grupo de amigos, de forma que todos
recebam a mesma quantidade de figurinhas. Quantos amigos poderá ter este grupo?
1
12 para cada
2
6 para cada
3
4 para cada
4
6
12
3 para cada
2 para cada
1 para cada
Reunindo os divisores de um número formamos o
conjunto dos divisores deste número.
D 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Obtenção dos divisores
Obtenha todos os divisores do número 12:
1
12
2
2
6
2
4
3
3
3, 6, 12
1
D 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Obtenha todos os divisores do número 36:
1
36
2
2
18
2
4
9
3
3
1
3
3, 6, 12
9, 18, 36
D 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 36
Para determinar os divisores de um número basta fatorarmos o mesmo, escrevermos o número 1 acima de seus
fatores e multiplicarmos cada fator pelos números acima deles.
Maior Divisor Comum (M.D.C.)
Pedro possui 20 selos e 36 figurinhas todos repetidos. Ele quer dividir os selos e as figurinhas com um
grupo de amigos, de modo que todos recebam a mesma quantidade, sem sobrar nenhum.
Qual é o maior número de amigos que Pedro pode ter em seu grupo?
D 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
D 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 36
D.C. 20, 36 = 1, 2, 4
M.D.C. 20, 36 = 4
Maior dos divisores comuns
Resposta: O maior número de amigos que Pedro poderá ter em seu grupo é 4 amigos.
Processo prático para obtenção do M.D.C.
Determine o M.D.C. (18, 45):
Determine o M.D.C. (120, 90):
Determine o M.D.C. (15, 28):
18
2
45
3
120
2
90
2
15
3
28
2
9
3
15
3
60
2
45
3
5
5
14
2
3
3
5
5
30
2
15
3
1
7
7
15
3
5
5
5
5
1
1
1
M.D.C. 18,45 = 3 × 3 = 9
1
1
M.D.C. 15,28 = 1
M.D.C. 120,90 = 2 × 3 × 5 = 30
Para determinar o M.D.C. entre dois ou mais números primeiramente os fatoramos e depois procuramos seus
fatores em comum. O M.D.C. é dado pelo produto dos fatores comuns.
Números Primos entre Si
Determine o M.D.C. (15, 28):
15
3
28
2
5
5
14
2
7
7
1
1
M.D.C. 15,28 = 1
Quando dois ou mais números não possuem divisores em comum (exceto o 1 que é divisor universal),
eles são chamados números primos entre si e o M.D.C. entre eles vale 1.
Menor Múltiplo Comum (M.M.C.)
Mariana está muito doente. Seu médico receitou que tomasse um comprimido de 6 em 6 horas e uma
colher de xarope de 4 em 4 hora. Sabendo que Mariana tomou um comprimido e uma colher de xarope à
meia-noite (zero hora) qual será o próximo horário que ela tomará os dois remédios juntos?
M 6 = 0, 6, 12, 18, 24, 32, 40, ⋯
M 4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ⋯
M.C. 6, 4 = 0, 12, 24, ⋯
M.M.C. 6, 4 = 12
Menor dos múltiplos comuns
Resposta: Mariana deverá tomar os dois remédios juntos depois de 12 horas, ou seja, ao meio dia.
Processo prático para obtenção do M.M.C.
Determine o M.M.C. (5, 6):
5,
Determine o M.M.C. (9, 55):
Determine o M.M.C. (14, 20):
6
2
9, 55
3
14, 20
2
5, 3
3
3, 55
3
7, 10
2
1
5
1, 55
5
7,
5
5
2 × 3 × 5 = 30
1, 11
11
7, 1
7
1,
3 × 3 × 5 × 11 = 495
1,
5,
1, 1
M.M.C. 5,6 = 30
1
M.M.C. 9,55 = 495
1
2 × 2 × 5 × 7 = 140
M.M.C. 14,20 = 140
Para determinar o M.M.C. entre dois ou mais números fazemos a decomposição simultânea dos números.
O M.M.C. é dado pelo produto de fatores primos obtidos.