Vinte um divisores naturais
Série Problemas e soluções
Objetivo
1. Entender e resolver um problema que
envolve números primos e a fatoração de
números naturais.
Vinte e um
divisores naturais
Série
Problemas e Soluções
Conteúdos
Teorema fundamental da
aritmética, números primos.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivo
1. Entender e resolver um
problema que envolve
números primos e a fatoração
de números naturais
Sinopse
Um problema de matemática
básica é apresentado e resolvido
passo a passo na conversa de
dois amigos. O programa exige
concentração e estimula a
abstração ao resolver um
problema elaborado de
aritmética.
Material relacionado
Áudios: Triângulo ímpar;
Experimentos: Morto ou vivo;
Introdução
Sobre a série
A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática
do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa
um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco
minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No
contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de
discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O
segundo bloco do programa apresenta as soluções e alguns
comentários ou informações adicionais.
Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois
estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é
sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor
aproveitar o conteúdo.
Sobre o programa
O programa apresenta, interpreta e resolve o seguinte problema:
Encontre o menor número natural que tem exatamente 21
divisores naturais.
O uso de divisores, de números primos e suas combinações são os
fundamentos da álgebra e é usado automaticamente em todas as
transações criptografadas de cartões de créditos, números de CPF etc.
Este é um assunto de primeiro semestre do ensino médio quando trata
de conjuntos numéricos e o teorema fundamental da aritmética dos
números naturais.
O resultado do problema é o número 576, mas o procedimento para a
sua solução é a parte mais relevante.
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Sugestões de atividades
Antes da execução
A habilidade de fatorar números é útil para dividir coisas em várias
maneiras (divisores). Por exemplo, para carregar seis pacotes, você
pode carregar os seis de uma vez, carregar dois pacotes em três
viagens, três pacotes em duas viagens ou um pacote por viagem. Isto
é, há quatro maneiras de fazer o carregamento. Estas maneiras estão
relacionadas com os divisores do número 6. Os divisores de 6 são: 6,
3, 2 e 1.
Desta forma sugerimos uma atividade prática que envolve seis
pequenos objetos que os alunos devem carregar de um local para o
outro. Isto pode ser feito por um grupo que apresenta para toda a
classe ou por vários grupos da turma.
Durante a execução
Incentivar os alunos a anotarem as informações à medida que são
faladas no primeiro bloco.
Durante o intervalo, desafiar os alunos para resolverem o problema.
Assim que resolverem o problema ou se um tempo estabelecido se
esgotar, pode-se apresentar o segundo bloco do programa, que
contém a solução e algumas informações e curiosidades.
Depois da execução
O programa trata de algumas curiosidades dos números naturais.
Sugerimos uma pesquisa em termos dos termos e nomes mencionados
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no programa, como por exemplo, o que são números primos irmãos,
primos sensuais etc.
Vejamos como a fatoração de um número natural em primos e o
Princípio Fundamental da Contagem fornecem um método para
determinar o número de divisores positivos de um número natural.
Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo
Se uma decisão D1 pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja
esta escolha, a decisão D2 pode ser tomada de q modos, então o
número de maneiras de se tomar consecutivamente as decisões D1 e
D2 é igual a pq.
Se a fatoração em primos do número n é
, que é única
pelo Teorema Fundamental da Aritmética, então qualquer número da
, com
,
, ... ,
, é um
forma
divisor do número n. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos
números deste tipo.
Por outro lado, se um número m divide o número n, então n=km,
sendo k natural. Agora, considerando um número primo p que divide o
número m, como n=km, então p também divide n. Assim
para
algum i, com
. Além disso, se
divide m, também
divide n.
Assim,
. Portanto, os divisores primos do número m
pertencem ao conjunto
e, na sua fatoração, que existe e é
única pelo Teorema Fundamental da Aritmética, só aparecem primos
deste conjunto. Logo, m é um dos números do tipo
,
, ... ,
.
, com
Assim, podemos concluir que o número de divisores de n é
exatamente
.
Número de divisores positivos de um número natural
O número de divisores positivos de um número natural é igual ao
produto dos expoentes dos números que aparecem em sua fatoração,
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adicionando a cada um deles uma unidade, ou seja, se a fatoração do
número é dada por
igual a
, o número de divisores do número é
.
Com estes resultados formalizados, podes provar que 576 é o menor
número que tem exatamente 21 divisores.
O
problema
dá
como
informação
que
o
produto
deve ser 21. Mas 21 por sua vez só pode ser
fatorado da sequinte forma: 21=3 x 7. Assim temos duas informações
que são traduzidas nas seguintes equações:
k1+1=3 e k2+1=7 de onde concluímos que as duas potências para a
fatoração do número proposto são k1=2 e k2=6. Não sabemos ainda
quais seriam os primos que seriam as bases para estas potências.
Mas o problema pede o menor número possível que tenha 21
divisores. Desta forma vamos usar os dois menores números primos
possíveis, a saber, 2 e 3. Devemos então testar os dois casos:
22x36 = 2916 e 26x32= 576. Portanto 576 é o número procurado, pois é
o menor entre os dois casos.
É interessante observar que 576 é um quadrado perfeito: 576=242.
Ficha técnica
Autor Samuel Oliveira, Claudina Rodrigues, Maria Lucia de Queiroz,
Eliane Rezende
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
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