Fundamentos de Álgebra Moderna
Profª Ana Paula
NÚMERO PRIMO
Um número inteiro a 0, 1 tem pelo menos quatro divisores: 1 e a. Esses são os
divisores triviais de a.
Alguns números diferentes de 0 e 1 só têm os divisores triviais. - são os chamados
números primos.
Um número inteiro diferente de 0 e 1 e que tem divisores não triviais é chamado de
número composto.
Definição 1: Um número inteiro p é chamado número primo se as seguintes
condições se verificam:
i) p 0.
ii) p
1.
iii) Os únicos divisores de p são 1, p.
Um número inteiro a 0, 1 é chamado número composto se tem outros divisores,
além dos triviais.
Definição 2: Dois inteiros a e b dizem-se primos entre si se mdc a, b
1.
Proposição 1: Para que os inteiros a e b sejam primos entre si, é necessário e
tais que ax 0 by 0 1.
suficiente que se possam encontrar x 0 , y 0
Exemplo: Mostre que dois números inteiros consecutivos são primos entre si.
1
Corolário 1: Se a e b são inteiros não simultaneamente nulos e se d
então mdc a/b, b/d
1.
Proposição 2: Se a e b são inteiros primos entre si e a
bc, então a
Proposição 3: Sejam a e b inteiros primos entre si. Se a
Lema 1 (Lema de Euclides): Sejam a, b, p
ou p b.
ceb
. Se p é primo e p
Lema 2: Seja a 0, 1 um inteiro. Então, o conjunto L
a} possuium mínimo e esse mínimo é um número primo.
x
/x
mdc a, b ,
c.
c, então ab
ab, então p
c.
a
1 e x é divisor de
Proposição 4 (Teorema Fundamental da aritmética): Seja a 1 um número
inteiro. Então, é possível expressar a como um produto a p 1 p 2 p 3 p r em que r 1 e
os inteiros p 1 , p 2 , p 3 , p r são números primos positivos. Além disso, se a q 1 q 2 q 3 q s ,
em que q 1 , q 2 , q 3 , q s são também números primos positivos, então s r e cada p i é
igual a um dos q j.
OBS:
1) Na decomposição de um inteiro estritamente positivo a em fatores primos
positivos, conforme o teorema, pode ocorrer de um fator se repetir algumas vezes.
Nesse caso podem-se reunir esses fatores repetidos numa só potência, mediante a
notação exponencial. Supondo que os fatores primos distintos sejam
p1 p2 p3
p m m 1 e que eles apareçam respectivamente 1 , 2 , 3 ,
m
vezes i 1, i 1, 2, , m , a decomposição poderá ser escrita assim:
a p1 1 p2 2 p3 3 pr m
2) Esta decomposição, com os fatores primos em ordem crescente, será tratada
como decomposição canônica de a em fatores primos.
Podemos construir o máximo divisor comum de dois elementos estritamente
positivos (e, por conseqüência, de qualquer par de inteiros 0, 1) da seguinte maneira:
i) Fazer a decomposição canônica dos dois inteiros a e b, de maneira que todas
figurem os mesmos fatores primos. Isto é, sempre possível recorrendo-se ao uso do
expoente nulo.
ii) Assim, se um fator primo aparece na primeira decomposição com expoente não
nulo e não aparece explicitamente na segunda, nós o inserimos com expoente igual a
zero.
e
b p1 1 p2 2 p3 3 pr m i, i 0
a p1 1 p2 2 p3 3 pr m
2
iii) Então o elemento d
comum de a e b.
OBS:
1) d é positivo;
2) Como i
i e
3) Se d’
e d
Portanto, i min i ,
i
i
p11 p22 p33
i,
p r m em que
então d a e d
a e d
b, então d
. De onde d
d.
i
min
b.
p11 p22 p33
i,
i
, é o máximo divisor
p r m com
i
i
e
i
i.
Através da decomposição canônica pode-se obter uma fórmula para o número de
divisores de a.
Um número positivo é divisor de a se, e somente se, b p 1 1 p 2 2 p 3 3 p r m em que
0
0, 1, 2, , m . Como para cada expoente na decomposição de b há i 1
i
i i
possibilidades a fim de que b divida a, então o número de divisores positivos de a é
1 2 1
1
i
m
Exemplo: O número de divisores positivos de 300
3
2 2 . 3. 5 2 é 3. 2. 3
18.
Exercícios
1) Prove que mdc n, 2n
1, qualquer que seja o inteiro n.
1
2) Sejam a e b números inteiros tais que mdc a, a b
1. Prove que mdc a, b
1.
O recíproco desse resultado também é verdadeiro. Enuncie-o e demonstre-o. Sugestão:
Para a primeira parte, tome um divisor de c de a e b e mostre que ele também é divisor
de a e a b.
3) Demonstre que, se a
c, b
c e mdc a, b
d, então ab
cd.
4) Se a e b são inteiros primos entre si, demonstre que mdc 2a
4
b, a
2d
1 ou 3.