Capítulo 17 – Oscilações
17.1 – Sistemas oscilantes
Sistemas oscilantes estão entre os mais recorrentes e importantes de
toda a Física
http://www.youtube.com/watch?v=NisWbAXfyWI
Vibrações
moleculares
Circuitos
elétricos
http://www.youtube.com/watch?v=zeep0q97WHo
Construções
17.2 – Oscilador harmônico simples
Sistema massa-mola: Lei de Hooke
Robert Hooke (1635-1703)
Força restauradora:
F   kx
Constante elástica
Unidades S.I.: N/m
Kit LADIF: massa e mola
2
2a. Lei:
d x
F  kx  m a  m 2
dt
d 2x
k
 x
2
dt
m
Equação diferencial ordinária linear
homogênea de 2a. ordem
Propriedades (verifique!):
(A) Solução geral depende de duas constantes arbitrárias, determinadas
pelas condições iniciais (exemplo: posição inicial e velocidade inicial)
(B) Se x1(t) é solução, então ax1(t) também é solução, com a constante.
(C) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então qualquer combinação linear ax1(t)+
bx2(t) também é solução.
(D) Se x1(t) e x2(t) são soluções linearmente independentes, então x(t) =
ax1(t)+ bx2(t) é a solução geral.
Mas como encontrar x1(t) e x2(t) ?
MIT 8.01 Lec 10, 11min20s: http://www.youtube.com/watch?v=__2YND93ofE
d 2x
k


x
2
dt
m
Qual função que, ao ser derivada duas vezes, é igual a ela mesma vezes uma
constante?
2
dx1
d
x
Vamos tentar: x1 (t )  cost  
  sen t   21   2cost 
dt
dt
2
k
d
x
k
2
É solução de
com
 x
 
2
dt
m
m
2
dx 2
d
x
Vamos tentar: x2 (t )  sent  
 cos t   22   2sent 
dt
dt
2
k
d
x
k
2
Também é solução de
com
 x
 
2
dt
m
m
Solução geral:
x(t )  ax1 (t )  bx2 (t )
x(t )  a cost   bsent 
Vamos mostrar que a solução geral
x(t )  a cost   bsent 
x(t )  xm cost    , com relações exatas entre as
a, b  e xm ,  (demonstração no quadro-negro)
é equivalente a
constantes
a  xm cos

b   xmsen
17.3 – Movimento harmônico simples
x(t )  xm cost   
: descreve o movimento harmônico simples
x(t)
t
xm : Amplitude, quantidade positiva, massa oscila entre as
posições xm e - xm
Período (T ): intervalo de tempo depois do qual o movimento se
repete
Cálculo do período :
x(t )  xm cost   
x(t  T )  xt 
xm cost  T      xm cost   
xm cost    T   xm cost   
T  2  T 
2
m
 2

k
Note que:
• O período não depende da amplitude do movimento!
• Quanto maior a massa, maior o período (mais inércia)
• Quanto maior constante elástica, menor o período (mais “força”)
Freqüência:
1
1
f  
T 2
Freqüência angular:
k
(em1/s  Hz)
m
2
k
  2f 

(em rad/s)
T
m
(depende apenas das constantes
físicas do oscilador)
Fase:
t    (em rad)
Ângulo de fase:
0


4
 (em rad)
Velocidade no MHS:
x(t )  xm cost   
dx
v(t ) 
 xmsent   
dt
xm
xt 
 xm
xm
v t 
 xm
 2 xm
at 
  2 xm
Aceleração no MHS:
dv
a(t ) 
dt
  2 xmcost      2 xt 
• Magnitude de v é máxima quando
x=0 e vice-versa
• Diz-se que a fase da velocidade
está deslocada por π/2 em relação à
posição
• Curva v(t) está deslocada por T/4
em relação à curva x(t)
• a é máxima quando x é mínima e
vice-versa
• Fase da aceleração está deslocada
por π em relação à posição
• Curva a(t) está deslocada por T/2
em relação à curva x(t)
Para pensar: