FCM0102 - Fı́sica II
Grupo 18 :
Felipe Moreira Assaf, no USP 4641980
Felipe Moreira Moura , no USP 8066461
Vitor Vidal de Souza , no USP 8549299
Exercı́cio 14.15. A posição de uma partı́cula é dada por x = 2, 5cos(πt)
, com x em metros e t em segundos.
(a). Calcular a velocidade máxima e a aceleração máxima da partı́cula.
(b). Achar a velocidade e a aceleração da partı́cula quando x = 1, 5m.
Conceitos envolvidos no problema:
No exercı́cio usamos o conceito de movimento harmônico simples, que é visto
como um movimento oscilatório que ocorre quando um sistema em equilı́brio
estável é perturbado na sua posição.
Uma condição do movimento harmônico simples é quando a aceleração de
um corpo for proporcional ao seu deslocamento e tiver direção oposta à do
deslocamento. Pela equação da posição (I) do movimento harmônico simples podemos chegar a equação da velocidade (II), pela derivada primeira da
equação (I), e da aceleração (III), pela derivada segunda da equação (I).
(I)
x(t) = Acos(ωt + ϕ)
(m).
Onde , A é a amplitude, ω é a frequência, t é o tempo e ϕ é a constante de fase.
(II)
v(t) =
dx
dt
= −Aω sin(ωt + ϕ)
(III)
a(t) =
dv
dt
=
d2 x
dt2
= −ω 2 A cos(ωt + ϕ)
( ms ).
( sm2 ).
Lembrando que ao derivar a equação vai existir uma diferença de fase caso
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continue no mesmo ponto que tomou como referência. Tendo a seguinte
equação:
(IV )
cos(ωt + ϕ) = sin(ωt + ϕ + π2 )
Resolução:
(a). Comparando as equações :
x = A cos(ωt + ϕ) e x = 2, 5 cos(πt + ϕ)
(dadas no exercı́cio)
Deduzimos que A (Amplitude)= 2, 5 m e ω (Frequência Angular) = π( rad
)
s
e ϕ (Constante de fase) = 0.
Através da equação dada no exercı́cio podemos derivar ela, de modo a chegar
a equação de velocidade v(t) = −2, 5π sin(πt + ϕ) , e derivando novamente
podemos chegar a equação de aceleração, a(t) = −2, 5 π 2 cos(πt + ϕ).
Na equação da velocidade consideramos sen(πt + ϕ) igual a 1 e a fase
igual a 0, para chegarmos a velocidade máxima, então, |V (t)max | = Aω =
) = 7.85( ms ).
2, 5(m) π( rad
s
Na equação da aceleração consideramos cos(πt+ϕ) igual a 1 e a fase igual a 0,
para chegarmos a aceleração máxima, então, |A(t)max | = Aω 2 = 2, 5(m) π 2 ( rad
)=
s
m
24.7( s2 )
(b). Considerando x = 1, 5 m e a fase como zero, substituı́mos na equação
dada no exercı́cio para acharmos o valor de t , então,
x = 2, 5 cos(πt + ϕ)
1, 5 (m) = 2, 5 (m) cos(πt)
cos(πt) = 0.6
cos−1 (πt) = 53.1o
2
Para acharmos a velocidade usamos v(t) = −2.5π sin(πt)
|v(t)| = 2, 5 (m) π( rad
) sin(53.1o ) , |v(t)| = 6.28m/s
s
Para acharmos a aceleração usamos a(t) = −2.5π 2 cos(πt)
|a(t)| = 2.5(m) π 2 ( rad
) cos(53.1o ) , |a(t)| = 14.8( sm2 )
s2
Bibliografia:
FÍSICA, Vol 1 - Paul TIPLER - Guanabara Dois, 4 a. ed. – 2000 (ou
Vol 2. 2a.ed da LTC. Editora, 1999).
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