Trabalho - Energia
Neste capítulo veremos:
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Trabalho e Energia;
Determinação do Trabalho a força constante
e variável;
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Teorema Trabalho - Energia;
●
Potência.
Força Constante
Imagine um bloco sobre uma superfície plana,
inicialmente em repouso, o qual se deseja mover para
direita por uma distância d:
F
d
Definimos o Trabalho realizado pela força F como:
W F =F⋅d
Unidade para Trabalho:
[W F ]=[ F ]⋅[d ]=N⋅m=J (Joules)
Força Constante
Tanto a força como o deslocamento são grandezas
vetoriais, de uma forma mais geral:
F⊥
F
θ
F∥=F cos θ
d
F ⊥ =F sen θ
F∥
Observe que apenas a força paralela ao deslocamento
pode realizar o trabalho requerido.
W F =F∥ d=(F cos θ)d
W F =F d cos θ
ou via produto escalar:
W F =F  d
Nota: Produto escalar entre dois vetores, A e B, é igual ao
módulo de A x módulo de B x coseno do ângulo entre eles.
A  B= A B cos θ
Exemplo 1
Sobre um corpo num plano inclinado aguem as forças
forças como indicado na figura abaixo:
N
F =80N
f =5,0 N
d=5,0 m
30 ˚
P=100N
(a) Determinar o trabalho
realizado por cada uma das
forças atuando sobre o corpo,
enquanto este se desloca
5,0m acima na rampa.
1 – Trabalho da força F:
W F =F  d
W F =F d cos 0 °=80⋅5⋅1
W F =400J
F
d
30 ˚
Exemplo 1
2 – Trabalho da força N:
N
W N =N  d
W N =N d cos 90°
W N =0
d
30 ˚
3 – Trabalho da força f:
W f =f  d
W f =f d cos 180 °=5⋅5⋅(−1)
W f =−25,0 J
d
f
30 ˚
Exemplo 1
4 – Trabalho da força P:
W P =P  d
W P =P d cos 120 °=100⋅5⋅(−0,5)
W N =−250 J
120 ˚
30 ˚
d
P
4 – Trabalho da força P pelas componentes:
W P =W P +W P
W P =P x d cos(180)+ P y d sen(90)
x
y
W P =50⋅5(−1)+0
W P =−250 J
d
Px
30 ˚
30 ˚
P
Py
Exemplo 1
(b) Determine o trabalho total realizado sobre o corpo.
W Total =W if =∑ W F
i
W if =W F +W N +W f +W P
W if =400+0−25−250
W if =125J
(c) Determine o trabalho da força resultante agindo sobre
o corpo.
o deslocamento é
∑ F=(∑ F x )i +(∑ F y ) j
descrito pelo vetor:
∑ F=(80−5−50)i +0 j
d =5,0 i m
∑ F=25 i N
Exemplo 1
W ∑ F =( ∑ F)  d
W ∑ F =(25 i )⋅(5 i)
W ∑ F =125 J
ou, usando a
definição de
produto escalar:
W ∑ F =∣∑ F∣⋅d⋅cos 0 °
W ∑ F =25⋅5⋅1
W ∑ F =125 J
O trabalho da força resultante é sempre igual ao trabalho
total, independente do problema.
W ∑ F =W Total =W if =125 J
Exemplo 2
No sistema abaixo, o bloco de peso 100N é erguido de
3,0m a velocidade constante.
(a) Determinar o trabalho
realizado pelo peso, tração e
o trabalho total.
T
d
−T
−T
T
P
∑ F y =0,
−P
(v=const.)
T −P=0
T =P=100 N
Trabalho de P:
W P =P  d
W P =P d cos 180 °=100⋅3⋅(−1)
W P =−300 J
Exemplo 2
Trabalho de T:
W T =T  d
W T =T d cos 0 °=100⋅3⋅1
W T =300 J
Trabalho de Total:
W if =∑ W F
W if =W P +W T
W if =0
i
O que era esperado, uma vez que a força resultante é nula,
o trabalho da força resultante também deve ser nulo.
Exemplo 3
Sofisticando um pouco o sistema, ainda com o mesmo
peso e o mesmo deslocamento, determine o trabalho
para a força de tração no fio.
∑ F y =0, (v=const.)
−T
−T
−T
2T−P=0
T =P /2=50N
T
d
T
T
P
P
Trabalho de T:
W T =T  d
W T =T d cos 0 °=50⋅3⋅1
W T =150J
?
Exemplo 3
De fato o trabalho da força de tração é 150J, no entanto
são necessárias duas trações para realizar o trabalho
sobre o bloco. Com uma tração o sistema não funciona.
Trabalho no Bloco:
W bloco =(2 T )d cos 0 °
W bloco =(2⋅50)⋅3⋅1
W bloco =300J
d
T
T
P
Exemplo 3
O operador (quem puxa a corda) faz apenas uma força T,
no entanto puxa 2d de corda:
Trabalho no Operador:
W operador =T (2d)cos 0 °
W operador =50⋅(2⋅3)⋅1
W operador =300J
d
d
d
T
T
P
2d
P
Não importa o sistema que empregue para erger a caixa,
o trabalho jamais será inferior aos 300J!
Força Peso
Para determinar o trabalho realizado pela força peso,
considere o movimento de suspender uma caixa como
ilustrado abaixo:
yf
Δy
W if G= P  Δ⃗y
W if G= P⋅Δ y⋅cos 180 °
W if G=−m g Δ y
ou
yi
P
W if G=−{m g y f −m g y i }
Observe que para um deslocamento negativo (para baixo), o
ângulo entre a força peso e o deslocamento será nulo, fazendo
com que o trabalho seja positivo, como ocorre com a
expressão acima.
Força de Atrito
Suponha que uma caixa é arrastada de uma é arrastada
ao longo de uma trajetória retilínea de comprimento S. O
trabalho da força de atrito durante este movimento será:
W if f =f  S
W if f =f⋅S⋅cos 180 °
f
S
W if f =−f⋅S
Como S é o comprimento do deslocamento, o trabalho da
força de atrito será sempre negativo.