EE –05
Princípios de Telecomunicações
AULA 3
Análise de Fourier
Série de Fourier Complexa

Seja uma função periódica com período T.
Então a série de Fourier é tal que:

1
f ( t )  a 0   (a n cos(n0 t )  b n sen(n0 t )
2
n 1
Porém
1 jn0 t
cos(n0 t )  (e
 e  jn0 t )
2
1 jn0 t
sen(n0 t )  (e
 e  jn0 t )
2j
Série de Fourier Complexa

Seja uma função periódica com período T.
Então a série de Fourier é tal que:

1
1
1
jn 0t
f (t )  a0   ( (an  jbn )e
 (an  jbn )e  jn0t )
2
2
n 1 2
Chamando
1
1
1
C0  a 0 ; C n  (a n  jb n ) ; C-n  (a n  jb n )
2
2
2
Série de Fourier Complexa

Tem-se que:

f ( t )  C 0   (C n e
jno t
n 1

Cn e
 jn0 t
)
Onde
1
1
1
C0  a 0 ; C n  (a n  jb n ) ; C-n  (a n  jb n )
2
2
2
Série de Fourier Complexa

Então a série de Fourier complexa é tal que:

f ( t )  C0   (Cn e jn0 t Cn e  jn0 t )
n 1

Cuja representação é dada por:
f (t ) 

jn 0t
c
e
n
n  
Determinação dos coeficientes da
série de Fourier complexa

Os coeficientes Cn podem ser determinados por:
1
1 2
Cn  (an  jbn )  (
2
2 T
1
Cn 
T
Cn 
1
T
T
2
2
T f (t ) cos(n 0t )dt  j T

2
T
2
 f (t )[cos(n t )  jsin(n t )] 
0

T
2
T
2


0
T
2
f (t ).e  jn 0t dt, para n  0,1,2,3,...
T
2
 f (t )sin(n t )dt) 
0

T
2
Espectro de freqüência complexo
Sendo os coeficientes da série de Fourier
complexa, números complexos, eles apresentam
módulo e fase, tal que.
c n  (a n  jb n ) | c n | a n  b n
2
 bn 
  tan   
 an 
1
2
Exemplo 1

Determinar as linhas espectrais para a função
periódica f(t), dada por um trem de pulsos
retangulares de amplitude 1 e de duração d=
0.05 s, cujo período é de T=0,25 s
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Exemplo 1

Esta função pode ser modelada
matematicamente por:
1 se - d/2  t  d/2
f (t )  
0 se - T /2  t  -d/2,d/2  t  T /2
Exemplo 1

Aplicando-se a definição dos coeficientes
complexos da série de Fourier, tem-se que:
cn 
1
T
T
2


f (t ).e  jn 0t dt 
T
2
sin(n 0
cn 
n 0
d
T
d
2
d
 jn 0
2
d
)
2
e
 jn 0t
1
1 e
 jn 0t
1
.
e
dt

T d
T  jn 0

1 1 
e
 .
T jn 0 
d
T
d
2
2
d
 jn 0 (  )
2
mas  0 
d
2


d
2
d
 jn 0 d
 jn 0

2
2
 d e
e
 
 T
d

 2 j.n 0 .
2







2
, Assim :
T
n. .d
)
d
n.d
sin(x)
T
 .sinc( ), onde sinc(x)
n. .d
T
T
x
T
sin(
Exemplo 1

Aplicando as condições do problema, onde
T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que
0,2sin (n.0,2)
cn 
n.0,2.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Teorema de Parseval

A potência em um sinal periódico, supondo
que a sua função do tempo seja a voltagem
e em um resistor de 1  é dada por:
T
2
Potência  [f (t )]2 dt


T
2
O teorema de Parseval nos permite calcular
a potência do sinal através dos seus
coeficientes complexos, através de:
T
2
 [f (t)] dt 
2

T
2

2
|
c
|
 n
n  
Função delta de Dirac

Algumas funções são de extrema utilidade
na análise de sinais. Uma delas é o Delta de
Dirac, definida como:
0, se t  0
( t )  
, se t  0

Uma característica importante é que a
integral da função desde - a + , ou seja:

 (t)dt  1

Função Delta de Dirac

Propriedades:

 (t).(t).dt  (0)


 ( t  t
0
).( t ).dt  ( t 0 )

(  t )  ( t )
1
( t )
|a|
f ( t ).( t )  f (0).( t )
(at) 
A função degrau

A função degrau é definida como:
1, se t  0
u(t )  
0, se t  0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
A transformada de Fourier
Usada para sinais aperiódicos, é a
generalização da série de Fourier. O
espectro do sinal é contínuo, pois é
aperiódico


F()   f ( t ).e  jt dt


1
j t
f (t) 
F
(

)
e
d

2  
A transformada de Fourier

Como se pode observar, a transformada de
Fourier tem parte real e complexa, ou seja:
F()  R()  jX() | F() | .e j()
Propriedades da Transformada de Fourier:
a) Linearidade

se f1 (t )  F1 () e f 2 (t )  F2 ()
entãoa1.f1 (t )  a 2f 2 (t )  a1.F1 ()  a 2 .F2 ()
Propriedades da Transformada de
Fourier

Deslocamento no tempo
f (t  t 0 )  F()e

Deslocamento em freqüência
1  
f (at) 
F 
|a|  a 
 jt 0
Propriedades da Transformada de
Fourier

Diferenciação
f ' ( t )  jF()
( jt )f ( t )  F' ()

Integração
t
 f (x).dx 

1
F()
j
Exemplo 1

Calcular a transformada da função pulso
retangular rect(t), definida como:
0, se t  -1/2ou t  1/2
rect(t )  
1, se -1/2  t  1/2

A Transformada de fourier é dada por:

1/ 2

1/ 2
 j0 t
f
(
t
)
e
dt 


e  j0 t dt 
d
)
2
d
2
sin (
Exemplo 1

O comportamento é dado pela figura
abaixo:
Propriedades da Transformada de
Fourier

Deslocamento em freqüência
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100