LOGARITMOS
QUAL É O TEMPO?
Giovanna ganhou 1 000 reais de seu pai pra fazer
sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no
entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela
queria comprar um computador.
Mas havia um problema: o computador que ela
queria custava 1 500 reais. O jeito era aplicar o
dinheiro
que
necessário.
tinha,
até
conseguir
o
valor
QUAL É O TEMPO?
Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5
%
ao
mês,
capitalizados
mensalmente.
Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto
tempo os 1000 reais aplicados se transformariam nos 1500 reais de que precisava?
Ela havia acabado de aprender a calcular juros
compostos. Fez, então, as suas contas.
VEJA OS CÁLCULOS
Capital aplicado: C = 1 000
Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês
Montante pretendido: M = 1 500,00
M = C.(1 + i)t
⇒
1,05t
= 1,5
⇒
1 500 = 1 000 . (1,05)t
1,057 ≈ 1,407
1,058 ≈ 1,477
1,059 ≈ 1,551
Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria
atingido no final do 9º mês de aplicação.
QUAL É O EXPOENTE?
Como poderia ser obtido, com uma aproximação
razoável e sem utilizar o método das tentativas,
o valor de t na equação 1,05t = 1,6?
A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas
como esse, que envolve a determinação de um
expoente.
HISTÓRIA
A invenção dos logaritmos ocorreu no início do
século XVII e é creditada ao escocês John
Napier e ao suiço Jobst Burgi.
Inicialmente
cálculos
seu
objetivo
numéricos,
era
simplificar
principalmente
os
em
problemas ligados à Astronomia e à Navegação.
A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se
mais
simples
expressões como
e
mais
ágeis
cálculos
de
HISTÓRIA
A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se
mais
simples
e
mais
ágeis
cálculos
expressões como
2,382,5
5,13,8
3
. √12,4
O valor dessa expressão equivale ao valor de
102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 – 3,8.log 5,1
de
HISTÓRIA
Foi o matemático inglês Henry Briggs (1561 –
1631) quem propôs, inicialmente, a utilização do
sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso
sistema de numeração utiliza justamente a base
10.
HISTÓRIA
Atualmente,
são
inúmeras
as
aplicações
tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por
exemplo,
na
envolvem
resolução
de
desintegração
problemas
que
radiotiva,
o
crescimento de uma população de animais ou
bactérias, etc.
TRABALHANDO COM
POTÊNCIAS DE BASE 10
A BASE 10
Todo número positivo pode ser escrito como uma
potência de base 10, ou como uma aproximação
dessa potência. Veja os exemplos:
1 = 100
0,1 = 10–1
10 = 101
0,01 = 10–2
100 = 102
0,001 = 10–3
1 000 = 103
0,0001 = 10–4
10 000 = 104
0,00001 = 10–5
A BASE 10
Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um
número como potência de base 10. Em valores
aproximados apresentamos os exemplos:
2 = 100,301
3 = 100,477
7 = 100,845
11 = 101,041
13 = 101,114
EXEMPLOS
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
escreva os números 4, 5 e 6 como potência de
base 10.
 4 = 22
5=
10
2
= (100,301)2 = 100,602
=
10
100,301
= 101 – 0,301 = 100,699
 6 = 2.3 = 100,301 . 100,477 = 100,301 + 0,477
= 100,778
EXEMPLOS
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
escreva o número 60 como potência de base 10.
 60 = 2.3.10
= 100,301 . 100,477 . 10
⇒ 60 = 100,301 + 0,477 + 1
⇒ 60 = 101,778
EXEMPLOS
Usando as igualdades 2 = 100,301 e 3 = 100,477,
resolva a equação exponencial 2x = 12.
2x = 12
⇒ 2x = 22.3
⇒ (100,301)x = (100,301)2 . 100,477
⇒ 100,301.x = 100,602 . 100,477
⇒ 100,301.x = 101,079
⇒ x=
1,079
0,301
⇒
0,301.x = 1,079
⇒ x ≈ 3,585
LOGARITMO
COMO EXPOENTE
LOGARITMO COMO EXPOENTE
O conceito de logaritmo está associado à operação
potenciação: mais precisamente à determinação
do expoente. Veja:
2x = 8 ⇒ x = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2 ,
é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 = 3
LOGARITMO COMO EXPOENTE
Observe: calcular o log2 8 é descobrir o expoente
ao qual se deve elevar a base 2, para obter,
como resultado, a potência 8.
Vale, portanto a equivalência:
log2 8 = 3 ⇔
23 = 8
Calcular um logaritmo é obter um expoente.
Logaritmo é o mesmo que expoente.
DEFINIÇÃO
Suponhamos dois reais positivos a e b (a ≠ 1). Se
ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base
a (simbolicamente loga b = x).
loga b = x
⇔
ax = b
 a é a base;
 b é o logaritmando ou antilogaritmo;
 x é o logaritmo;
EXEMPLOS
 log2 32 = 5, porque 25 = 32
 log3 (1/81) = –4, porque 3–4 = 81
 log10 0,001 = –3, porque 10–3 = 0,001
3
3
 log5 √25 = 2/3, porque 52/3 = √252
De acordo com a definição, calcular um logaritmo
é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma
equação exponencial.
EXEMPLOS
 Calcular log4 8.
log4 8 = x
⇒
4x = 8
⇒
⇒
22x = 23 ⇒
(22)x = 23
x=3
EXEMPLOS
5
 Calcular log1/3 √9.
5
log1/3 √9 = x
⇒
1
3
x
5
= √9
⇒
(3–1)x = 32/5
⇒
–x = 2/5
⇒
x = –2/5
⇒
3–x = 32/5
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO
LOGARITMO
Da definição, concluímos que o logaritmo só existe
sob certas condições:
b>0
loga b = x
⇔
a>0
a≠ 1
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
 Analise quais seriam os significados de log2 (–4),
log(–2) 8, log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem
definidos.
log2 (–4) = x
⇒
2x = –4
log–2 8 = x
⇒
(–2)x = 8 impossível
log7 0 = x
⇒
7x = 0
impossível
log1 6 = x
⇒
1x = 6
impossível
log0 2 = x
⇒
0x = 2
impossível
impossível
OBSERVAÇÃO
Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis.
Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas
variáveis. Para isso, usamos as condições de
existência do logaritmo.
EXEMPLOS
 Resolver a equação logx (2x + 8) = 2.
1o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo.
x > –4
2x + 8 > 0
x>0
⇒
x≠1
⇒
x>0
x≠1
x>0
x≠1
2o. Usando a definição de logaritmo.
logx (2x + 8) = 2 ⇒
⇒
x = –2 ou x = 4.
x2 = 2x + 8 ⇒
⇒
x2 – 2x – 8 = 0
S = {4}
CONSEQÜÊNCIAS
DA DEFINIÇÃO
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Admitindo-se válidas as condições de existência
dos
logaritmos,
temos
os
seguintes
casos
especiais, que são conseqüências da definição.
loga 1 = 0
porque a0 = 1
loga a = 1
porque a1 = a
loga ak = k
porque ak = ak
EXEMPLOS
 log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
 log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
 log3 39 = 9
 log10 10–3 = –3
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve
elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a
seguinte igualdade:
loga k
a
=k
EXEMPLOS
log5 3
 5
=3
1 + log2 6
 2
 9
log3 5
=
=
log3 5
(32)
1 – log15 3
 15
log2 6
21.2
=
= 2.6 = 12
log3 5
= 3
151
15
log15 3
=
2
= 52 = 25
15
3
=5
SISTEMA DE
LOGARITMOS
SISTEMA DE LOGARITMOS
Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os
logaritmos
numa
determinada
base.
Entre
os
infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois:
O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10.
No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se
não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que
log10 x.
log x → logaritmo decimal de x (base 10)
EXEMPLOS
 log 1000 = log10 1000 = 3
 log 0,01 = log10 10–2 = –2
 log 1 = log10 1 = 0
 log 100 = log10 100 = 2
SISTEMA DE LOGARITMOS
O sistema de logaritmos naturais ou neperianos,
utiliza, como base, o número irracional e.
Esse número foi introduzido por Euler, em meados do
século XVIII. Seu valor aproximado é
e=
2,71828.
O logaritmo natural de um número x pode ser
indicado por Ln x.
Ln x → logaritmo natural de x (base e)
EXEMPLOS
 Ln e = loge e = 1
 Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3
 Ln e3 = loge e3 = 3
OBSERVAÇÃO
Chama-se
co-logaritmo
de
a
na
base
b
(em
símbolos, cologb a) o oposto do logaritmo de a
na base b.
cologb a = – logb a
 colog2 8 = – log2 8 = –3
 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2
LOGARITMOS
DECIMAIS
LOGARITMOS DECIMAIS
O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o
matemático inglês Henry Briggs (1561-1631).
Foi
ele
quem
construiu a
logaritmos decimais.
primeira
tábua
de
TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS
n
log n
n
log n
n
1
0
11
1,041
21
2
0,301
12
1,079
22
log 13 = 1,114
log n
n
log n
ou
1,322 1,11431
1,491
10
= 13
1,342
1,505
32
3
0,477
13
1,114
23
1,362
33
1,519
4
0,602
14
1,146
24
1,380
34
1,531
5
0,699
15
1,176
25
1,398
35
1,544
6
0,778
16
1,204
26
1,415
36
1,556
7
0,845
17
1,230
27
1,431
37
1,568
8
0,903
18
1,255
...
...
9
0,954
99
1,996
10
1
1,447
28
35 = 1,544
1,279
1,462
19 log
29
ou
1,301
1,477
20
30
1,544
10
= 35
100
2
EXEMPLOS
 Calcule os logaritmos decimais
a) log 10
b) log 10 000
c) log 1013
d) log 10–30
e) log 0,000001
EXEMPLOS
 Consultando a tábua de logaritmos calcule
a) log 60 + log 31 – log 5
b) 100,903 + 101,505 – 1000,69
c) os valores de x e y tais que 10x = 26 e
1000y = 15
EXEMPLOS
 Em valores aproximados, a tábua de logaritmos
mostra que log 13 = 1,114 ou 101,114 = 13. A
partir desses valores, sem uso de calculadora,
obtenha os números seguintes.
a) 102,114; 104,114; 100,114 e 1001,557.
b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300
c) os valores de x e y tais que 10x = 0,13 e
13y = 103,342.
MUDANÇA DE
BASE
MUDANÇA DE BASE
Observe uma calculadora científica. Ela permite o
cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla
log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln).
Como obter então, numa calculadora, logaritmos
em outras bases?
Será possível achar, por exemplo, os valores de
log3 5 e log7 23?
MUDANÇA DE BASE
Na tábua de logaritmos decimais, encontramos
que log10 23 = 1,362 e log10 7 = 0,845. A partir
deles, determine o valor log7 23.
log10 23 = 1,362
⇒
101,362 = 23
log10 7 = 0,845
⇒
100,845 = 7
log7 23 = x
⇒
log7 23 =
log10 23
log10 7
7x = 23
⇒ (100,845)x = 101,362
⇒ 0,845.x = 1,362
⇒
⇒
100,845.x = 101,362
x=
1,362
0,845
= 1,612
FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE
De modo geral, podemos calcular logba, utilizando
uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos
o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k
escolhida.
Logb a =
logk a
logk b
EXEMPLOS
 Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma
calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693.
A partir desses valores, calcular log2 6.
log2 6 =
loge 6
loge 2
=
Ln 6
Ln 2
=
1,792
0,693
= 2,586
EXEMPLOS
 Resolver a equação 5x = 20, dados os logaritmos
decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1,301.
5x = 20
log5 20 =
⇒
x = log5 20
log10 20
log10 5
=
log 20
log 5
=
1,301
0,699
= 1,861
EXEMPLOS
 Se logk x = 2, calcular logx (1/k).
logx (1/k) =
logk (1/k)
logk x
=
–1
2
EXEMPLOS
 Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
log2 3 =
log 3
log 2
=
0,48
0,30
= 1,6
Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
EXEMPLOS
 Escrevendo os logaritmos numa mesma base,
obtenha o valor mais simples do produto
log2 7 . Log7 13 . Log13 2
1o. Vamos a fórmula de mudança de base.
1
1
1
log 7
. log 13 . log 2 = 1
log 2
log 7
log 13
1
1
1
CONSEQÜÊNCIA – MUDANÇA DE BASE
 Compare os valores dos log5 25 e log25 5.
log5 25 = 2 e log25 5 = 1/2
 Compare, também, os valores log2 8 e log8 2.
log2 8 = 3 e log8 2 = 1/3
 Que conclusão se pode tirar dessas comparações?
logb a = 1/loga b
 Se logx y = 3/5, calcule logy x.
logy x = 5/3
GENERALIZANDO
Como conseqüência da fórmula de mudança de
base, temos:
logb a =
logb a =
loga a
loga b
1
loga b
PROPRIEDADES
DOS LOGARITMOS
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele
transforma
operações
mais
complicadas
em
operações mais simples.
Com
as
propriedades
dos
transformar:
 multiplicações em adições;
 divisões em subtrações;
 potenciações em multiplicações;
 radiciações em divisões.
logaritmos
podemos
LOGARITMO DO PRODUTO
Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos
valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845.
log 3 = 0,477
⇒
100,477 = 3
log 7 = 0,845
⇒
100,845 = 7
x = 21
log 21log
= x21 =⇒log
10(3.7)
= log 3 + log 7
⇒ 10x = 3.7
⇒
10x = 100,477.100,845
⇒ 10x = 100,477 + 0,845
⇒ x = 0,477 + 0,845
⇒
x = 1,322
LOGARITMO DO PRODUTO
De modo geral, o logaritmo do produto de dois
números, numa
certa base,
é a soma
dos
logaritmos desses números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade
continua válida.
EXEMPLOS
A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log 2000.
 log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13
log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415
 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000
log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
EXEMPLOS
Sendo x e y reais positivos, decompor log3 (9xy)
numa soma de logaritmos.
log3 (9xy) = log3 9 + log3 x + log3 y
log3 (9xy) = 2 + log3 x + log3 y
EXEMPLOS
Transformar num único logaritmo e calcular o
valor da expressão log 4 + log 5 + log 50.
log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50)
log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3
LOGARITMO DO QUOCIENTE
Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos
valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.
log 2 = 0,301
⇒
100,301 = 2
log 3 = 0,477
⇒
100,477 = 3
log (3/2) = x
⇒
10x
3
=
=
2
x = 3/2
⇒ 10
log
(3/2)
= log 3 – log 2
100,477
100,301
⇒ x = 0,477 – 0,301
= 100,477 – 0,301
⇒
x = 0,176
LOGARITMO DO QUOCIENTE
De modo geral, o logaritmo do quociente de dois
números, numa certa base, é a diferença dos
logaritmos desses números, na mesma base.
Loga x = loga x – loga y
y
EXEMPLOS
A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 = log
10
= log 10 – log 2 = 1 – 0,301
2
⇒ log 5 = 0,699
EXEMPLOS
Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas
log2 (x/4y).
log2
x
= log2 x – log2 4y
4y
= log2 x – (log2 4 + log2 y)
= log2 x – (2 + log2 y)
= log2 x – 2 – log2 y
= log2 x – log2 y – 2
EXEMPLOS
Compor
(transformar
num
único
logaritmo)
expressão E = log m – log 3 + 2 – log n.
1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo
decimal. log 100 = 2.
E = log m – log 3 + log 100 – log n
E = (log m + log 100) – (log 3 + log n)
E = (log 100m) – (log 3n)
E = log
100m
3n
a
LOGARITMO DA POTÊNCIA
Vamos calcular o valor do log 34, a partir do valor
de log 3 = 0,477.
⇒
log 3 = 0,477
log 34 = x
⇒
100,477 = 3
10x = 34
⇒ x = 4 . 0,477
⇒
⇒ 10x = (100,477)4
x = 1,908
log 34 = 4 . log 3
LOGARITMO DA POTÊNCIA
Generalizando, o logaritmo de uma potência, é
igual ao produto do expoente da potência pelo
logaritmo da base.
Loga xk = k . loga x
EXEMPLOS
A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009.
log 0,009 = log
9
= log 9 – log 100
100
= log 32 – 2 = 2 . log 3 – 2
= 2 . 0,477 – 2
= 0,954 – 2 = – 1,046
EXEMPLOS
13√3, a partir dos valores log 2 =
4
0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114.
Calcular log
log
13√3
4
= log 13 + log √3 – log 4
= log 13 + log 31/2 – log 22
= log 13 + 1 . log 3 – 2 . log 2
2
= 1,144 + 0,5.0,477 – 2.0,301
= 1,144 + 0,2385 – 0,601 = 0,7505
EXEMPLOS
Compor e simplificar a expressão
E = 2.log3 12 – 1 log3 8 – 2
3
1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo
de base 3. (log3 9 = 2).
E = 2.log3 12 –
1
log3 8 + log3 9
3
E = log3 122 – log3 81/3 + log3 9
E = log3 144 – log3 2 + log3 9 = log3 144 – log3 (2.9)
E = log3 144 – log3 18
⇒ E = log3
144
= log3 8
18
UTILIZANDO AS PROPRIEDADES DOS
LOGARITMOS COMPLETE A TABELA DE
LOGARITMOS DECIMAIS.
n
log n
n
log n
n
log n
n
log n
1
0
11
D
21
B+C
31
J
2
A
12
2A + B
22
A+D
32
5A
3
B
13
E
23
H
33
B+D
4
2A
14
A+C
24
3A + B
34
A+F
5
1–A
15
1+B–A
25
2(1 – A)
35
1–A + C
6
A+B
16
4A
26
A+E
36
2(A+B)
7
C
17
F
27
3B
37
K
8
3A
18
A + 2B
28
2A + C
38
A+G
9
2B
19
G
29
I
39
B+E
10
1
20
1+A
30
1+B
40
1 + 2A
EXEMPLOS
(FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos
logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1
a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação
exponencial 3x = 24, encontrando-se,
aproximadamente,
a) 2,1.
b) 2,3.
c) 2,5.
d) 2,7
e) 2,9
x
Ln x
x
Ln x
1
0,00
6
1,79
2
0,69
7
1,95
3
1,10
8
2,08
4
1,39
9
2,20
5
1,61
10
2,30
EXEMPLOS
Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log2 72 em
função de a e b.
log2 72 =
=
=
log 72
log 2
=
log 23.32
log 2
log 23 + log 32
log 2
3a + 2b
a
=
3.log 2 + 2.log 3
log 2