Um pouco de história

Matemático escocês John Napier (15501617) e pelo matemático suiço Jost Bürgi
(1552-1632) em princípios do século XVII.
Um pequeno desafio!
Alguém sabe como simplificar
?
Outro pequeno desafio!
Qual é o valor de 128 x 256 ?
Algoritmo da multiplicação
Ideias de Napier e Bürgi
Os logaritmos, portanto, surgiram
para realizar simplificações, uma
vez que transformam multiplicações
e divisões nas operações mais
simples de soma e subtração.
1
2
3
...
7
8
9
10
...
2
4
8
...
128
256
512
1024
...
14
15
16384 32768
Tábuas de logaritmos
Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas
de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o
logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo
assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos
dias de hoje.
Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da
Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade
máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de
potência S watts podem passar por um canal de comunicação,
que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de
freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência
máxima N watts, é dada por:
Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel
fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no
contexto da moderna tecnologia.
Aplicações!
A escala de acidez e os logaritmos. O pH é uma escala em Química para
expressar o grau de acidez ou basicidade de uma solução aquosa. Os
valores do pH variam de 0 a 14.
Para o cálculo do pH usa-se a expressão: pH = - log[H+]
 Quando 0 ≤ pH < 7 ( solução ácida )
 Quando pH = 7 ( solução neutra )
 Quando 7 ≤ pH < 14 ( solução básica )

Aplicações!
A escala de Richter foi desenvolvida em 1935 pelos sismólogos Charles
Francis Richter e Beno Gutenberg, ambos membros do California Institute of
Technology (Caltech), que estudavam sismos no sul da Califórnia, utilizando
um equipamento específico - o sismógrafo Wood-Anderson. Após recolher
dados de inúmeras ondas sísmicas liberadas por terremotos, criaram um
sistema para calcular as magnitudes dessas ondas. A história não conservou o
nome de Beno Gutenberg. No princípio, esta escala estava destinada a medir
unicamente os tremores que se produziram na Califórnia (oeste dos Estados
Unidos).
Apesar do surgimento de vários outros tipos de escalas para medir
terremotos, a escala Richter continua sendo largamente utilizada.
A fórmula utilizada é ML = logA - logA0.
Aplicações!

“Os impactos ambientais aumentaram muito a partir do séc.
XVIII, como consequência da revolução industrial e do
avanço das tecnologias de exploração e transformação da
natureza. Além disso, houve um crescimento exponencial da
população do planeta, composto de pobres em sua maioria”
Sene, Eustáquio de. Espaço geográfico mundial e globalizado, 8º série pág. 184. São Paulo: Scipione, 2000.
Aplicações!

A reprodução de peixe:
Aplicações!
 AGRICULTURA:
para calcular o rendimento V de uma
floresta podemos usar a fórmula:
em que V dá-nos o valor em metros cúbicos de madeira
por are (100m²), em função da idade da floresta, t.
Aplicações!

ASTRONOMIA: desde tempos antigos, que se tem classificado
as estrelas de acordo com o seu brilho detectado a olho nú. As
estrelas que mais brilhavam eram chamadas "estrelas de 1ª
magnitude", aquelas que brilhavam um pouco menos eram
chamadas " estrelas de 2ª magnitude" e assim sucessivamente.
Atualmente o brilho de uma estrela pode ser medido
exatamente, e a classificação da sua magnitude é baseada no
cálculo do logaritmo do brilho atual. Assim, a fórmula que
relaciona a magnitude e o brilho é
Aplicações!

INTENSIDADE SONORA:
Aplicações!
Um pouco de diversão!
Só LOG, Só LOG...
Logaritmos

Definição: Sendo a e b números reais e positivos,
com a≠1, chama-se logaritmo de b na base a o
expoente x ao qual se deve elevar a base a de
x
modo que a potência a seja igual a b.
Logab = x
x
a =b
Logaritmos
Logc(A.B) = logcA + logcB
2. Logc(A/B) = log c A – log c B
n
3. Logc A
= n. (log c A)
4. LogcA = (LogxA)/(LogxC)
5. CologcA = Logc(1/A) = - LogcA
1.
Logaritmo Natural
Tudo o que foi visto continua válido
 A base deixa de ser 10 e passa a ser e (Euler)
 Pode-se simplificar a escrita utilizando-se a

nomenclatura:
ln = log e
Logaritmos – Exercícios


(Puccamp - Sp) A invenção dos logaritmos teve como resultado
imediato o aparecimento de tabelas, cujas cálculos eram feitos um a
um. O projeto do Inglês Charles Babbage (séc. XIX), “pai dos
computadores modernos”, era construir uma máquina para a
montagem dessas tabelas, como por exemplo:
x
Log x
2
0,30
3
0,47
4
0,60
5
0,70
6
0,78
...
...
Usando a tabela, determine o valor que se obtém para log 450
Logaritmos –Exercícios

(PUC MG) As indicações R1 e R2 de dois terremotos, na escala
Richter, estão relacionadas pela fórmula
, em que E1 e E2 medem as respectivas energias, liberadas pelos
terremotos em forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre.
Nessas condições, se R1 = 8,5 e R2 = 7,0, é CORRETO afirmar que a
razão entre E1 e E2, nessa ordem, é igual a:
a) 0,5
b) 1,5
c) 100,5
d) 101,5
Logaritmos –Exercícios

(UFRRJ) O pH de uma solução é definido por
, sendo H+ a concentração de hidrogênio em íons-grama por litro de
solução. Calcule o pH de uma solução que tem
íons-grama por litro.
Logaritmos –Exercícios

(UFG GO) Um capital aplicado é acrescido de 25% ao final de cada
mês. Quantos meses são necessários para que o montante atinja, no
mínimo, cinco vezes o capital inicial?(Use a aproximação de 0,3010
para log10 2)
Logaritmos –Exercícios
(UFOP MG) Resolva a equação 3x + 3x + 1 = 8, sabendo que
log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771.

Logaritmos –Exercícios

(UEPB) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma
tendência natural de se desintegrarem, diminuindo, portanto, sua
quantidade original com o passar do tempo. Suponha que certa
quantidade de um elemento radioativo, com massa inicial m0 (gramas),
com m0 ≠ 0, decomponha-se conforme o modelo matemático
,em que m(t) é a quantidade de massa radioativa restante no tempo
t(anos). Usando a aproximação log102=0,3, a quantidade de anos para
que esse elemento se decomponha até atingir 1/8 da massa inicial
será:
a) 60
b) 62
c) 64
d) 63
e) 70
Créditos
Prof.
Paulo Murillo
Site:
www.acheiox.com.br