TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A
RESOLUÇÃO - VERSÃO 1
______________________________________________
GRUPO I
1.
0 Ð %Ñ 0 " Ð#Ñ œ $ $ œ !
Resposta B
2.
0 ÐBÑ
1ÐBÑ œ ! Í 0 ÐBÑ œ ! • 1ÐBÑ Á !
Portanto, os zeros da função
0
1
são os zeros da função 0 que
não são zeros da função 1
Como a função 0 tem cinco zeros e um deles também é zero da
função 1, a função
0
1
tem quatro zeros.
Resposta C
3.
Ð1 ‰ 0 Ñ Ð$Ñ œ 1Ò 0 Ð$ÑÓ œ 1Ð"Ñ œ #
Resposta D
4.
O perímetro do triângulo ÒEGHÓ é igual a EH EG GH
Tem-se:
EH EG GH œ B & È%# Ð$ BÑ# œ
œ B & È"' * 'B B# œ
œ B & ÈB# 'B #&
Resposta D
5.
s GE Þ GF œ ½ GE ½ ‚ ½ GF ½ ‚ cos ŠGE GF ‹ œ
œ % ‚ % ‚ cos ")!° œ % ‚ % ‚ Ð "Ñ œ "'
Resposta B
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 1
GRUPO II
1.
O ponto E pertence ao eixo SB, pelo que a sua ordenada e a sua cota são iguais a zero.
Como o ponto E pertence ao plano EFG , vem:
'B $ ‚ ! % ‚ ! œ "# Í B œ #
Portanto, o ponto E tem coordenadas Ð#ß !ß !Ñ
EFG tem equação 'B $C %D œ "#, o vector de coordenadas
Ð'ß $ß %Ñ é perpendicular ao plano, pelo que é um vector director da recta <
Como o plano
Assim, uma equação vectorial da recta < é
ÐBß Cß DÑ œ Ð#ß !ß !Ñ 5 Ð'ß $ß %Ñß 5 − ‘
2.
T , de coordenadas tg α ß sen α ß # cos α, pertence à superfície
#
esférica I , de equação B# C# D # œ %, tem-se
Como o ponto
tg# α sen# α # cos α ## œ %
Vem, então:
tg# α sen# α # cos α ## œ % Í tg# α sen# α cos# α œ % Í
Í tg# α " œ % Í tg# α œ $
Como α pertence ao intervalo Ó! ß
Portanto, α œ
1
$
1
#
Ò,
vem tg α œ È$
Portanto, as coordenadas do ponto T são
œ ŒÈ $ ß
È$
"
È
# ß # #  œ Œ $ß
Štg
1
1
1
$ ß sen $ ß # cos $ ‹ œ
È$
&
# ß # 
3.1. No início do ano 2009, o número de animais, em milhares, da espécie A era igual a
+Ð!Ñ œ ', ou seja, no início do ano 2009, havia ' !!! indivíduos da espécie A.
No início do ano 2010, o número de animais, em milhares, da espécie A era igual a
+Ð"Ñ œ ),&, ou seja, no início do ano 2010, havia ) &!! indivíduos da espécie A.
Por isso, desde o início do ano 2009 até ao início do ano 2010, o número de indivíduos da
espécie A aumentou # &!!
Como, no intervalo de tempo referido, morreram &!! animais da espécie A, podemos
concluir que, no mesmo intervalo de tempo, nasceram
Ð# &!! &!! œ $ !!!ÑÞ
$ !!! animais dessa espécie
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 2
3.2. Tem-se:
+Ð>Ñ œ
"" > '
&
> " œ "" > "
"" > '
"" > ""
&
>*
> *
> $
'
'
,Ð>Ñ œ > $ œ " > $
> "
""
> $
"
Portanto, as assimptotas horizontais dos gráficos das funções
respectivamente, as rectas de equações C œ "" e
+
e
,
são,
Cœ"
Tem-se assim que, com o passar do tempo, o número de animais da espécie A tende para
"" !!! e o número de animais da espécie B tende para " !!!, pelo que a diferença entre o
número de animais da espécie A e o número de animais da espécie B tende para "! !!!
4.1. 0 ÐBÑ Ÿ & Í $ '
'
B Ÿ& Í $ B &Ÿ! Í
'
Í # B Ÿ! Í
B
#B '
B
∞
Quociente
# B '
Ÿ!
B
!
!
8Þ.Þ
$
!
!
∞
Portanto, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação 0 ÐBÑ Ÿ & é
Ó ∞ß ! Ò ∪ Ò$ ß ∞ Ò
4.2. O declive da recta < é igual a 0 w Ð#Ñ, derivada da função 0 no ponto #
Tem-se que
'
w
'
0 w ÐBÑ œ Š$ B ‹ œ B# , pelo que
'
$
0 w Ð#Ñ œ % œ #
A equação reduzida da recta < é, portanto, da forma C œ Como 0 Ð#Ñ œ $ tem
'
# œ $ $ œ ',
$
# B ,
a recta < passa no ponto Ð#ß 'Ñ , pelo que se
$
' œ # ‚ # , , donde vem que
Portanto, a equação reduzida da recta < é C œ ,œ*
$
# B *
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w
"
4.3. Tem-se que 1 w ÐBÑ œ Š B$ $B# )B $‹ œ B# 'B )
$
1 w ÐBÑ œ ! Í B# 'B ) œ ! Í B œ # ” B œ %
Portanto,
Portanto, a abcissa de E é # e a abcissa de F é %
Como
"
""
1Ð#Ñ œ $ ‚ ) $ ‚ % ) ‚ # $ œ $ ,
A área do triângulo ÒSEGÓ é, portanto,
% ‚ ""
$
#
o ponto E tem ordenada
""
$
##
œ $
4.4. As soluções da equação 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ são as abcissas dos pontos de intersecção dos
gráficos das funções 0 e 1
Na figura, estão representadas graficamente as funções 0 e 1, na janela de visualização
Ò!ß "!Ó ‚ Ò!ß "!Ó, e está assinalado o ponto de intersecção dos gráficos que tem abcissa
positiva.
A solução positiva da equação, arredondada às centésimas, é &,"&
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