Escola EB2,3/S Vieira de Araújo
Prova Escrita de Matemática A
Duração 90 minutos
11 de Dezembro de 2009
Versão 1
11º Ano
Grupo I
Para cada uma das seguintes questões identique a opção correcta. Cada questão tem a cotação
de 9 pontos. Respostas ilegíveis ou duplicadas serão cotadas com 0 pontos.
1. Num referencial o.n. Oxyz, o plano α de equação x − z = 2 é
(A) paralelo a xOz
(B) perpendicular a eixo Oz
(C) perpendicular a xOz
(D) paralelo ao eio Oz
O vector (1, 0, −1) é normal ao plano α, assim como o vector (0, 1, 0) é um vector normal ao plano xOz . O
eixo Oz tem por vector director, por exemplo, (0, 0, 1). Assim sendo, é fácil constatar que os vectores
(1, 0, −1) e (0, 1, 0) são perpendiculares, e que os vectores (1, 0, −1) e (0, 0, 1) não são nem ortogonais, nem
colineares. Podemos concluir que a opção (C) é a correcta.
2. Da amplitude β de um certo ângulo orientado sabe-se que cos β < 0 e tan β > 0.
Qual das expressões seguintes dá o valor de sin β?
(A)
p
1 + cos2 β
(B) − 1 − cos2 β
(C)
p
1 − cos2 β
(D) − 1 + cos2 β
p
p
Se cos β < 0 e tan β > 0 então sin β < 0. Sabemos ainda, da fórmula fundamental da trigonometria, que
p
sin2 β = ± 1 − cos2 β .
Podemos concluir a veracidade da opção (B).
−−→
−→
3. Na gura estão representados dois vectores AD e AE , de normas 12 e 15 respectivamente.
ˆ No segmento de recta [AD] está assinalado um ponto B .
ˆ No segmento de recta [AE] está assinalado um ponto C .
ˆ O triângulo [ABC] é rectângulo de lados 3,4 e 5 unidades de comprimento.
−−→ −→
O valor do produto escalar AD.AE é:
(A)108
(B) 128
(C) 134
(D)144
−
−
−
−
→ −→
→
−
→ −→
−
−−−→
Para calcular o produto escalar podemos recorrer à identidade AD.AE = AD × kAEk × cos AD∧ AE .
−
−
→ −→
−
−
→ −→
O triângulo [ABC] permite-nos concluir que cos AD∧ AE = 45 e consequentemente que AD.AE = 12 ×
15 ×
4
5
= 144, opção (D).
1
4. Considere a gura ao lado onde se encontra representada uma recta AB num
referencial o.n. Sabe-se que AB = 1.
Uma equação para a recta AB é:
(A) y = tan α × x + cos α
(B) y = tan α × x + sin α
(C) y = tan
(D) y = tan
π
2
+ α × x + cos α
A inclinação da recta AB é igual
uma equação da recta AB é y = tan
5. Se (~u∧~v ) =
π
3
π
+α, e a ordenada
2
π
+ α × x + cos α,
2
π
2
+ α × x + sin α
na origem, ordenada do ponto A é 1×cos α. Assim,
opção (C).
e k é um número real negativo, pode armar-se que:
(A) cos (k~u∧~v ) = cos (~u∧~v )
(B) (k~u∧~v ) =
(C) (k~u∧~v ) =
(D) cos (k~u∧ k~v ) = − cos (~u∧~v )
π
6
2π
3
Teremos que observar que multiplicando um vector por um escalar k negativo é invertido o sentido do vector.
Se multiplicarmos ambos os vectores, os sentidos de ambos os vectores são invertidos, e o ângulo por estes
formado continua igual. Se multiplicarmos um único vector, o ângulo passará a ser o suplementar. Assim
a opção (B) é a correcta.
Grupo II
Responda a cada uma das seguintes questões apresentando todos os cálculos que tiver de efectuar,
e expondo o seu raciocínio de forma clara.
1. Na gura está representado, em referencial o. n. Oxyz , um cone de revolução. Sabe-se que:
ˆ a base do cone está contida no plano α de equação x + 2y − 2z = 11
ˆ o vértice V do cone tem coordenadas (1, 2, 6)
ˆ o ponto C é o centro da base do cone
1.1. Determine uma equação do plano γ que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano α.
Como os planos α e γ são paralelos, um vector normal a α também é normal a γ . Queremos então escrever
a equação de um plano que contém o ponto (1, 2, 6) e tem por vector normal (1, 2, −2):
1 (x − 1) + 2 (y − 2) − 2 (z − 6) = 0
⇔
x − 1 + 2y − 4 − 2z + 12 = 0
⇔
x + 2y − 2z + 7 = 0
1.2. Seja β o plano denido pela equação 2x−2+z = 3. Averigúe se os planos β e α são perpendiculares.
Dois planos são perpendiculares se possuirem vectores normais perpendiculares. Vectores normais a
β e α são, respectivamente, (2, 0, 1) e (1, 2, −2) . Falta-nos verificar a condição de ortogonalidade,
ie, verificar se o produto escalar dos vectores é nulo:
(2, 0, 1) . (1, 2, −2)
=
2 × 1 + 0 × 2 + 1 × (−2)
=
2−2
=
0
Os planos são perpendiculares.
2
1.3. Sabendo que a altura do cone é 6, indique as coordenadas do ponto C e represente por uma
condição a recta CV .
−
−
→
−
−
→
Podemos partir da identidade C = V + V C . Como V C é colinear com (1, 2, −2), vector
normal a α,
−
−
→
−
→
−
e k(1, 2, −2)k = 3, facilmente concluimos que V C = ±2×(1, 2, −2),(observe que V C = 2×k(1, 2, −2)k =
−
−
→
6).
Como C tem cota inferior a C , pretendemos a solução de cota negativa, ou seja, V C = (2, 4, −4),
e consequentemente, C = (1, 2, 6) + (2, 4, −4) = (3, 6, 2).
Equação Vectorial: (x, y, z) = (1, 2, 6) + k (1, 2, -2) , k ∈ R
Equação Cartesiana: x−1
=
2
y−2
2
z−6
−2
=
1.4. Calcule a amplitude do ângulo, em graus e arredondado às unidades, que a recta CV forma com
o eixo Oy .
Para calcular a amplitude do ângulo formado pelas duas rectas iremos precisar identificar respectivos
vectores directores. Consideremos os vectores (1, 2, −2) e (0, 1, 0). Temos consequentemente:
cos θ =
q
|1 × 0 + 2 × 1 + (−2) × 0|
√
√
9× 1
2
3
=
=
cos−1
2
3
|(1, 2, −2) . (0, 1, 0)|
√
12 + 22 + (−2)2 × 02 + 12 + 02
≈ 48.19
A amplitude do ângulo formado pelas duas rectas, em graus e arredondado à unidades, é 48.
1.5. Escreva uma equação do plano V OC .
−
−
→
Precisamos determinar ~n normal a V OC , ou seja, perpendicular a OV = (1, 2, 6) e a (1, 2, −2). Uma
solução imediata é (−2, 1, 0), (cancelando a terceira coordenada, permutando as duas primeiras, e alterando
o sinal da primeira). No entanto poderiamos recorrer ao sistema:
⇔
⇔
(l1 − l2 )
⇔

~
n. (1, 2, 6) = 0
~
n. (1, 2, −2) = 0

x + 2y + 6z = 0
x + 2y − 2z = 0

8z = 0
−

z = 0
x = −2y
Considerando y = 1, obtemos (−2, 1, 0).
Uma equação cartesiana do plano:
−2 (x − 0) + 1 (y − 0) + 0 (z − 0) = 0
⇔
−2x + y = 0
2. Na gura está representado, num referencial o.n. Oxy , uma circunferência de centro C e raio 5, tangente ao eixo Oy na origem e à
recta t, em T .
ˆ O ponto C pertence ao eixo Ox;
ˆ a abcissa do ponto T é −8.
2.1. Mostre que a ordenada do ponto T é 4.
3
A equação da circunferência é (x + 5)2 + (y − 0)2 = 52 .
Para x = −8, obtemos
(−8 + 5)2 + y 2 = 52
(−3)2 + y 2 = 25
y 2 = 16
y = −4 ∨ x = 4
Pela observação da figura concluimos que a ordenada é positiva, ou seja, y = 4.
2.2. Prove que a equação reduzida da recta t é y = 43 x + 10.
−→
Como t é perpendicular a [T C], raio da circuferência, começaremos por determinar T C .
−→
T C = (−5, 0) − (−8, 4) = (3, −4).
−→
Um vector normal a T C é, por exemplo, (4, 3) .
O declive de t é m = 34 .
Só nos falta escrever a equação da recta:
(y − 4) =
⇔
y−4=
⇔
y=
2.3. Calcule o valor exacto da expressão cos
3π
2
3
(x + 8)
4
3
x+6
4
3
x + 10
4
− β × sin α.
Como os ângulos α e β são complementares, a expressão pode ser simplificada para − sin β × cos β .
O ângulo β é a inclinação da recta t, logo tan β = 34 .
Da identidade tan2 β + 1 =
1
,
cos2 β
obtemos:
2
1
3
+1=
4
cos2 β
9
1
+1=
16
cos2 β
16
cos2 β =
25
4
cos β = ±
5
Como β é agudo, cos β =
4
5
e da relação tan β =
O valor da expressão é − 35 ×
4
5
sin β
,
cos β
concluimos que sin β = 53 .
= − 12
.
25
2.4. Determine a distância do ponto B à recta T C .
−
−
→
−
−
→
−→
O ponto B tem coordenadas (−10, 0) e CB = (−5, 0). Vamos calcular a projecção de CB sobre CT :
−
−
→ −→
CB.CT
−→
CT −
−
→
→ CB =
P roj−
CT
(−5, 0) . (−3, 4)
5
15 + 0
5
3
=
=
=
Temos assim que a distância d do ponto B à recta T C é o cateto omisso de um triângulo rectângulo
de hipotenusa 5, e cujo o cateto conhecido mede 3. Consequentemente d = 4.
−→ −→
2.5. Determine as coordenadas de um ponto A da circunferência tal que OT .OA = 0.
−→ −→
Como O,T , e A são pontos da circunfência, e OT .OA = 0, [OT A] será um triângulo rectângulo em
O inscrito numa circunferência. Como qualquer triângulo inscrito numa semi-circunferência é rectângulo,
−→
[T A] é um diâmetro da circunferência e consequentemente A = C + T C = (−5, 0) + (3, −4) = (−2, −4).
−−→ −−→
2
3. Considere o rectângulo [ABCD]. Mostre que DC.CB = −DC .
4
−−→ −
−
→
DC.CB =
−−→ −−→ −−→
DC. CD + DB
=
−−→ −−→ −−→ −−→
DC.CD + DC.DB
−−→ −−→
−CD.CD + 0
−−→2
− DC =
−DC
=
=
FIM
5
2