TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A
RESOLUÇÃO - VERSÃO 1
______________________________________________
GRUPO I
1.
Como a recta < passa nos pontos EÐ#ß !Ñ e FÐ!ß )Ñ, um vector
director da recta < é EF œ Ð!ß )Ñ Ð#ß !Ñ œ Ð #ß )Ñ
Vem, então, que o declive da recta < é
)
# œ %
Como a recta < intersecta o eixo SC no ponto de ordenada ),
tem-se que a ordenada na origem da recta < é igual a )
Portanto, a equação reduzida da recta < é C œ %B )
Resposta A
2.
Na figura, está representada parte do gráfico da função 1, bem
como as rectas de equações C œ ", C œ #, C œ $ e C œ %
Como se pode observar na figura, apenas a recta de equação
C œ % intersecta o gráfico da função 1 em dois pontos. Portanto,
a opção correcta é a opção D.
Este item também pode ser resolvido algebricamente do seguinte
modo:
1ÐBÑ œ " Í l B l $ œ " Í l B l œ #
equação impossível
1ÐBÑ œ # Í l B l $ œ # Í l B l œ "
equação impossível
1ÐBÑ œ $ Í l B l $ œ $ Í l B l œ ! Í B œ !
1ÐBÑ œ % Í l B l $ œ % Í l B l œ " Í B œ " ” B œ "
Resposta D
Teste Intermédio de Matemática A - 10.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 1
3.
0 é uma
O gráfico da função
parábola
voltada
com
para
a
concavidade
cima
e
que
intersecta o eixo SB num único
ponto.
Portanto, o contradomínio de 0
é Ò!ß ∞Ò
Resposta B
4.
O gráfico da função 2 pode ser obtido deslocando o gráfico da
função 0 uma unidade para a direita e uma unidade para cima.
Resposta D
5.
#
1Ð $
ќ
#
"
&
$ ' œ '
Resposta C
GRUPO II
1.1.
O ponto U tem coordenadas Ð&ß &ß !Ñ
A distância do ponto U ao ponto S é &È# œ È&!
Assim, uma equação da superfície esférica de centro no ponto U e que passa no ponto
S é ÐB &Ñ# ÐC &Ñ# D # œ &!
1.2.
A área da base da pirâmide é &# œ #&
Designando por 2 a altura da pirâmide, tem-se
#& 2
œ (&
$
#& 2
œ (& Í #& 2 œ ##& Í 2 œ *
$
&
&
Portanto, as coordenadas do ponto [ são Š
# ß # ß *‹
Vem, então:
2.
As funções 0 e 1 podem estar representadas graficamente na opção A.
A opção B está incorrecta, pois a Fernanda e a Gabriela percorrem a mesma distância,
ao contrário do que é sugerido pelos gráficos apresentados nesta opção.
A opção C está incorrecta, pois, no instante inicial, a distância da Fernanda a casa é
zero, ao contrário do que é sugerido pelo gráfico da função 0
apresentado nesta
opção.
Teste Intermédio de Matemática A - 10.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 2
3.1.
A área da zona relvada é dada pela diferença
entre a área do triângulo ÒEFGÓ e a área do
rectângulo ÒHIJ KÓ
ÒEHIÓ são
semelhantes, pelo que, sendo GL œ # EL ,
se tem IH œ # EH
Os
triângulos
ÒELGÓ
e
Portanto, IH œ #B
Como HK œ "# #B, vem que a área do
rectângulo ÒHIJ KÓ é dada, em função de B,
por #BÐ"# #BÑ
Então, a área da zona relvada é dada, em função de B, por
WÐBÑ œ
3.2.
"# ‚"#
#B Ð"# #BÑ œ %B# #%B (#
#
Tem-se:
%B# #%B (# œ % ÐB# 'BÑ (# œ
œ % ÐB# 'B *Ñ $' (# œ %ÐB $Ñ# $'
Portanto, o gráfico da função W é parte de uma parábola, com a concavidade voltada
para cima, cujo vértice é o ponto de coordenadas Ð$ß $'Ñ
Assim, o valor de B para o qual a área da zona relvada é mínima é $ e a respectiva
área é $'
3.3.
Uma condição que traduz o problema é
Tem-se:
%B# #%B (# %! • B − Ó!ß 'Ò
%B# #%B (# %! Í %B# #%B $# !
Ora, %B# #%B $# œ ! Í B œ # ” B œ %
Portanto, %B# #%B $# ! Í B # ” B %
Como B − Ó!ß 'Ò , o conjunto dos valores de B para os quais a área da zona relvada é
superior a %! 7# é
Ó!ß #Ò ∪ Ó%ß 'Ò
Teste Intermédio de Matemática A - 10.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 3
4.1.
Como o gráfico da função 0
função 0
intersecta o eixo das abcissas em quatro pontos, a
tem quatro zeros. Como um dos pontos tem abcissa $ e outro tem
abcissa ", dois dos quatro zeros da função 0 são $ e "
Portanto, o polinómio B% B$ (B# B ' é divisível por ÐB $ÑÐB "Ñ
Determinemos o quociente da divisão de
B% B$ (B# B '
por
B $,
por
B ",
utilizando a Regra de Ruffini.
"
$
"
"
(
"
'
$
'
$
'
#
"
#
!
Determinemos agora o quociente da divisão de
B$ #B# B #
utilizando novamente a Regra de Ruffini.
"
#
"
#
"
"
#
"
#
!
"
"
Portanto, B% B$ (B# B ' œ ÐB $ÑÐB "ÑÐB# B #Ñ
Tem-se
B# B # œ ! Í B œ " ” B œ #
Portanto, os quatro zeros da função 0 são $, ", " e #
Assim, o ponto F tem abcissa " e o ponto H tem abcissa #
Como 0 Ð!Ñ œ ', o ponto I tem ordenada '
Tomando ÒFHÓ para base do triângulo ÒFIHÓ , a altura
correspondente é ÒSIÓ
Tem-se FH œ $ e SI œ '
Portanto, a área do triângulo ÒFIHÓ é
$‚'
œ*
#
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4.2.
Na figura, está representada parte do gráfico da função 0
Assinalou-se no gráfico o ponto de ordenada mínima.
Tem-se, + ¸ "#,*
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