VETORES
uma abordagem geométrica
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Escalares: Que podem ser descritas por um
número (e a unidade de medida
correspondente): 4 m de área, 2 m
de comprimento, 4 kg de massa.
2
Grandezas
Vetoriais: Essas necessitam de módulo,
direção e sentido; o que só pode
ser visualizado por meio de um
vetor.
Um vetor é representado por uma flecha
(segmento orientado)

B
u

A
Podemos indicar um vetor por:
u  A B  B  A,
ou melhor,
u  AB  OB  OA
Dizemos que dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo
comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
Exemplo: Dados os vetores:
c
u
w
v
a
b
u v
c  w
c é o oposto de w , pois
esses vetores tem o
mesmo tamanho e direção
e sentidos opostos.
Adição
de
vetores
(i) u  (  u )  0
Vetor nulo
Seja u e w vetores não nulos.
(ii) Quando u // w , ou seja, quando u e w tem a mesma
direção, a soma u  w poderá ser representada como:
(a)
(b)
u
u
w
u  w
w
u  w
(c)
u
uw0
w
(iii) Quando u e w não são paralelos:
Seja:
u
Então u  w , será:
w
(a)
(b)
uw
w
u
w
uw
u
Considerando ainda, os vetores u e w apresentados acima,
a soma u  (  w ) poderá ser representada como:
u  ( w)
w
w
u
u  ( w)
u
Regra
prática:
Escolhem-se
flechas
consecutivas
representantes de u , v e w , e “fecha-se o polígono”. Esta
regra se generaliza para uma quantidade qualquer de vetores,
e também para o caso em que as fechas são colineares.
B
v
C
u
w
A
uvw
D
Propriedades da adição de vetores:
• Propriedade associativa: ( u  v )  w  u  ( v  w )
B
v
C
u
u v
v w
A
uvw
• Propriedade comutativa: u  v  v  u
• Elemento neutro: u  0  0
• Elemento oposto: u  (  u )  0
w
D
Exemplo: Ache a soma dos vetores representados na figura:
a)
b)
D
D
E
C
C
A
A
B
B
Resolução: Cada flecha parte da origem da flecha anterior, a
soma será representada, em ambos os casos, pela flecha que
vai de A a B , ou seja, a soma é o vetor B  A .
Exemplo: Qual a soma dos vetores indicados na figura?
B
A
B
C
A
C
E
D
E
D
Resolução: A soma é 0 , pois a “flecha” que “fecha o polígono”
tem origem e ponta coincidentes:

( B  A )  (C  B )  ( D  C )  ( E  D )  ( A  E )  0
Observação: Se cada flecha começa na ponta anterior e o
“polígono” já é fechado, então a soma é 0.
Exemplo: Os vetores u , v ,w estão representados na figura.
Represente o vetor
origem O .
.O
x   2 u  3v 
Resolução:
w
v
por uma flecha de
2
 2u
u
w
.O
x
3v
w
2
Suponha que u e v não são paralelos. Escolha números nãonulos  e  e considere  u   v .
É possível que  u   v  0 ?
Isto sugere que se   0 e
.  0 é impossível que  u   v  0 .
Se tentarmos fazer  0, então
 u   v  0 fica  v  0 , e daí,
como v  0, teríamos  0.

v
u  v
v

u
u
Se u e v não são paralelos, a relação  u   v  0 só se
verifica para     0 .
De fato se   0, então da relação  u   v  0 viria que

u 

v
e u e v seriam paralelos, contra a hipótese.
Exercícios:
1.
a) Justifique
a seguinte regra pra determinar o vetor
. x  u  v  w : tomam-se representantes consecutivos, isto
é, a origem de cada um coincidindo com a extremidade do
anterior, e “fecha-se o polígono”.
b) Mostre que a regra do item a) vale para quatro e para cinco
parcelas (é possível demonstrá-la para um número qualquer
de parcelas usando o Princípio de Indução Finita ).
c) Determine a soma dos vetores indicados em cada caso da
figura.
D
D
C
C
A
A
B
B
Soma: 0
Soma: D  A
H
D
F
E
C
A
B
Soma: A  D
D
A
G
C
B
Soma: A  C
2. Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da
figura.
a) A B C D E F G H é um paralelepípedo.
b) A B C D E F G H
congruentes.
e
E F G H IJL M
são cubos de arestas
c) O cubo A B C D E F G H tem o centro O e está dividido em
oito cubos congruentes por planos paralelos às faces.
H
F
C
I
H
E
H
F
O
G
F
G
B
E
J
D
A
L
M
E
G
D
A
D
C
C
B
A
B
3. Os hexágonos na figura são regulares. Em cada caso,
determine a soma dos vetores indicados.
E
F
G
A
D
O
H
C
D
O
F
C
A
B
E
D
D
O
O
A
EG  HC  ED
B
E
F
E
C
B
F
C
A
B
4- Desenhe um representante da soma dos vetores indicados
na figura sobre hexágonos regulares.
F
O
A
D
F
E
O
B
D
C
F
E
O
A
C
B
A
F
E
D
E
O
A
D
B
C
B
C
F
E
F
E
O
A
B
D
C
O
A
B
D
C
5- A figura mostra um hexágono
regular de centro O . Verifique que:
a) ( E  A )  ( C  A )  3( O  A )
D
E
C
O
B
F
a)
A
b) ( B  A )  ( C  A )  ( D  A )  ( E  A )  ( F  A )  6 ( O  A )