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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line
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Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta definições, traçados, exemplos e
aplicações da Proporção Áurea em Desenho Geométrico e Arquitetura. Geométrica
vol.1 n.4a. 2005
PROPORÇÃO ÁUREA
I niciarem os est a aula int roduzindo o conceit o de Proporção Áurea. Relem brando um
dos assunt os est udados na aula ant erior " Média Proporcional" , darem os um a
explicação do que vem a ser Secção Áurea e Segm ent o Áureo. Falarem os t am bém ,
sobre algum as figuras geom ét ricas que apresent am a proporção áurea e algum as de
suas aplicações na nat ureza e arquit et ura. Na página de exercícios você encont rará
const ruções geom ét ricas de secção áurea e figuras apresent adas aqui.
SECÇÃO ÁUREA
: Tam bém cham ada de razão áurea, foi est udada pelos gregos
ant es do t em po de Euclides de Alexandria que descreveu est a seção em sua
proposição " dividir um segm ent o de ret a em m édia e ext rem a razão" . Diz- se que o
pont o B divide o segm ent o AC em m édia e ext rem a razão, se a razão ent re o m enor e
o m aior dos segm ent os é igual à razão ent re o m aior e o segm ent o t odo, ist o é ,
AB/ BC = BC/ AC. Usando a not ação m oderna, podem os escrever est a relação assim :
( a- x) / x = x / a
A raiz posit iva 1,618034..., m uit as vezes é indicada pelo sím bolo f( fi) e às vezes por t
( t au) .
SEGMENTO ÁUREO:
Tam bém cham ado de segm ent o de ouro e núm ero de ouro.
É o segm ent o result ant e da divisão de um out ro segm ent o AB em m édia e ext rem a
razão, ou sej a, é obt ido quando se faz um a seção áurea no segm ent o AB.
1 . Quando se quer obt er o segm ent o áureo ( a) de out ro segm ent o dado AB bast a
m ult iplicar ( AB) por 1/ f.
2 . Quando se quer obt er o segm ent o AB, onde ( a) é o segm ent o áureo, é só
m ult iplicar AB por f ( f = núm ero de ouro) .
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NÚMERO DE OURO:
Tam bém cham ado de razão áurea, seção áurea e segm ent o
áureo; é sim bolizado pela let ra ( f) , inicial de Fídias, escult or grego que ut ilizou est e
núm ero ou ( t ) , t au. É o núm ero obt ido quando se divide ( a) por ( b)
( a+ b) / a = a / b = f = 1,618034
f 2 = 2,618
1 / f = 0,618034
Est a proporção diz que a relação ent re a som a de duas grandezas, e um a delas ( a
m aior, que no caso é " a" ) , é igual à relação ent re est a ( a) e a out ra ( b) . I st o de fat o se
obt ém quando a = 1,618, que é o núm ero de ouro. Port ant o 1,618 é a razão ent re os
t erm os da proporção.
É o único núm ero posit ivo que sat isfaz a relação f 2 = 1 + f.
A igualdade f = 2.cos.( p) im plica a presença do núm ero de ouro em m uit as
proporções.
EXEMPLOS: Ent re os elem ent os de polígonos regulares com o: pent ágonos,
decágonos, est relas pent agonais e decágonos. O núm ero f aparece nas art es ( ret rat o
de " I sabelle d'Ést e" pint ado por Leonardo da Vinci) , no pent ágono regular est relado, no
corpo hum ano, anim ais, nas flores, na form ação das árvores, na disposição das folhas
em cert as plant as, nos frut os, na espiral logarít m ica, na const rução do decágono
regular, na const rução do pent ágono regular, em vários poliedros regulares, na
pirâm ide de Queops, nas danças clássicas, nas grandes cat edrais da I dade Média, na
Arquit et ura, no " m odulor" de Le Corbusier, na poesia, na série de Fibonacci.
RETÂNGULO ÀUREO: É o
ret ângulo que t em os seus lados a e b na razão áurea
a/ b = f = 1,618034 port ant o, o lado m enor ( b) é o segm ent o áureo do lado m aior ( a) .
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O ret ângulo áureo exerceu grande influência na arquit et ura grega. As proporções do
Part enon prest am t est em unho dest a influência. Const ruído em At enas no século V
a.C., o Part enon é considerado um a das est rut uras m ais fam osas do m undo. Quando
seu front ão t riangular ainda est ava int act o, suas dim ensões podiam ser encaixadas
quase exat am ent e em um ret ângulo áureo.
CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO A PARTIR DO SEU LADO MAIOR
CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO ÁUREO A PARTIR DO SEU LADO MENOR
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PENTÁGONO: Do lat im - pent agonum , do grego - pént a ( cinco) + gon, de gônia
( ângulo) : pént agonos; é um polígono que possui 5 vért ices, 5 lados e 5 ângulos.
DECÁGONO:
Do grego - dekágonos, déka ( dez) + gonia ( ângulo) , do lat im - decagonu; é o polígono
de dez vért ices, dez lados e dez ângulos. Um fat o de conhecim ent o dos ant igos
geôm et ras era que a razão do raio do círculo de um decágono regular para um dos
lados é a razão áurea.
PENTAGRAMA:
Do grego - pént a ( cinco) + gram m a ( linha) ; o sím bolo da saúde e
a insígnia que ident ificava os pit agóricos; é um pent ágono regular est relado onde cada
um dos cinco segm ent os divide out ros em m édia e ext rem a razão. O pont o de
int ersecção P de duas diagonais divide cada um a delas na proporção áurea. P divide
AQ e AB int ernam ent e e QB ext ernam ent e nessa proporção.
TRIÂNGULO ÁUREO:
É um t riângulo isósceles ABC com ângulos da base de 72 o
e ângulo do ápice de 36 o
O t riângulo áureo é encont rado no " pent agram a m íst ico" .
A part ir do t riângulo áureo podem os desenhar um a espiral
logarít m ica.
FIBONACCI:
Leonardo de Pisa, t am bém cham ado de Leonardo Fibonacci por ser
filho de Bonacci ( filius Bonacci) ; nasceu cerca de 1175 d.C.. Seus prim eiros anos
foram vividos em um a com unidade crist ã, m as ele recebeu sua inst rução acadêm ica
ent re os m aom et anos da Barbaria. Ali conheceu o sist em a arábico ( ou decim al) de
num eração, bem com o os ensinam ent os de álgebra de Alkarism i. Com cerca de vint e
e set e anos de idade, ret ornou à sua t erra nat al e lá publicou um a obra am plam ent e
conhecida com o " Liber Abaci" ( o livro do ábaco) , na qual dem onst rava as grandes
vant agens do sist em a arábico de num eração sobre o rom ano. Est a obra de Fibonacci
foi considerada obra- m odelo durant e duzent os anos e o principal veículo de
int rodução do sist em a hindu- arábico de not ação nas cam adas cult as da Europa
Crist ã. Em sua obra " Liber Abaci" , Fibonacci apresent a um quebra cabeça
m at em át ico que deu origem à série de Fibonacci relacionada com a criação de
coelhos. Est a série segue a regra segundo a qual cada t erm o é a som a dos dois
t erm os im ediat am ent e ant eriores:
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Un+ 1 = Un + Un- 1 ( U0 = 0, U1 = 1)
Ex..: 1 : 1 : 2 : 3 : 5 : 8...
ESPIRAL LOGARITMICA: É t am bém cham ada de eqüiangular, pois cort a t odos
os raios vet ores sob o m esm o ângulo; é um a curva gerada por um pont o que
cam inha em t orno de um pólo. O pont o se desloca no raio vet or em progressão
geom ét rica, enquant o o raio polar gira em t orno do pólo em progressão arit m ét ica
num a sucessão de ângulos iguais.
Na figura abaixo not am - se as seguint es caract eríst icas int eressant es:
1 - O pont o lim it e O é cham ado de pólo da espiral que passa pelas secções áureas D,
E, G, J...
2 - As diagonais AC e BF são m ut uam ent e perpendiculares.
3 - Os pont os E, O, J são colineares, assim com o G, O e D.
4 - Os quat ro ângulos ret os do pont o O t êm EJ e DG por bisset rizes.
5 - AO/ OB = OB/ OC = OC/ OF = ... Há um núm ero infinit o de t riângulos sim ilares,
cada um igual à m et ade de um ret ângulo áureo.
LE MODULOR:
Desenvolvido pelo arquit et o francês Le Corbusier, é a relação de
m edidas baseadas na divisibilidade do corpo hum ano em proporção harm ônica.
1 - A part ir da alt ura m áxim a de ocupação de espaço pelo corpo hum ano ( dist ância
do chão às pont as dos dedos com o braço levant ado) e da m et ade dessa alt ura ( at é o
plexo solar) criou duas séries de valores em relação áurea. Essas séries foram
obt idas a part ir da divisão harm ônica desses com prim ent os, que const it uem um a
gam a de m edidas hum anas.
2 - Na série est abelecida a part ir da alt ura do plexo solar, ( a que cham ou série
verm elha) o t erm o que lhe sucede im ediat am ent e coincide com a alt ura do hom em
( 175 ou 183) . O t erm o principal da série azul, alt ura do hom em com o braço
levant ado ( 216 ou 226) , coincide com a adição dos t rês t erm os principais da série
verm elha Pela com binação dos t erm os principais das duas séries obt êm - se os
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valores de ocupação do corpo hum ano.
3 - A princípio le Corbusier part iu da est at ura m édia do hom em da Europa ( 175) para
det erm inar os valores num éricos dos vários com prim ent os. Os valores inferiores
assim encont rados foram para a série verm elha. Os valores exat os obt idos pela
divisão harm ônica foram depois arredondados t endo- se obt ido assim os cham ados
valores de aplicação.
4 - Pode- se obt er valores m aiores a part ir de 2.26 bast a m ult iplicar porf = 1,618034
Série Verm elha
( cm )
95.280,7
58.886,7
36.394,0
22.492,7
13.901,3
8.591,4
5.309,8
3.281,6
2.028,2
1.253,5
774,7
478,8
295,9
182,9
113,
69,8
43,2
26,7
18,5
10,3
6,3
3,9
2,4
1,5
0,9
0,6
et c.
No esquem a o hom em t em alt ura igual
a 175 cm e com o braço levant ado 216 cm .
Série Azul
(cm)
1 1 7 .7 7 3 ,5
7 2 .7 8 8 ,0
4 4 .9 8 5 ,5
2 7 .8 0 2 ,5
1 7 .1 8 2 ,9
1 0 .6 1 9 ,6
6 .5 6 3 ,3
4 .0 5 6 ,3
2 .5 0 6 ,9
1 .5 4 9 ,4
9 5 7 ,6
5 9 1 ,8
3 6 5 ,8
2.26
1.39
86.3
53.4
33
20.4
12.6
7.8
4.8
3
1.8
1.1
etc.
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OCUPAÇÃO DO ESPAÇO PELO HOMEM: Valores num éricos ilim it ados.
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Jefferson's Rot unda at t he Universit y of Virginia" .
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Est e art igo t raz várias const ruções geom ét ricas de ret ângulos ut ilizando a proporção áurea.
REINOLDS, Mark A., "Geometer's Angle no. 10: The Unknown Modulor: the "2.058"
Rectangle". ht t p: / / www.nexusj ournal.com / GA- v5n2.ht m l