Questão 21
Questão 22
A partir de 64 cubos brancos, todos iguais,
forma-se um novo cubo. A seguir, este novo
cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de
vermelho. O número de cubos menores que
tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é
Na figura abaixo, a reta s passa pelo ponto P
e pelo centro da circunferência de raio R, interceptando-a no ponto Q, entre P e o centro.
Além disso, a reta t passa por P, é tangente à
circunferência e forma um ângulo α com a
reta s. Se PQ = 2R, então cosα vale
a) 2 /6
b) 2 /3
d) 2 2 / 3
e) 3 2 /5
c) 2 /2
alternativa D
a) 24
b) 26
c) 28
d) 30
e) 32
alternativa A
Supondo que a face não pintada seja a inferior, os
cubos menores que tiveram pelo menos duas de
suas faces pintadas são os destacados a seguir,
além de 3 que não são visíveis nessa perspectiva.
Sejam O o centro da circunferência e T o ponto
em que a reta t a tangencia. Então PTO é um
triângulo retângulo em T. Assim,
PO 2 = PT 2 +TO 2 ⇔ (PQ + QO) 2 = PT 2 + TO 2 ⇔
⇔ (2R + R) 2 = PT 2 + R 2 ⇔ PT = 2 2 R
e cosα =
PT 2 2 R 2 2
.
=
=
PO
3R
3
Questão 23
Logo há 12 cubos na face superior mais 4 colunas
de 3 cubos, ou seja, há 12 + 4 ⋅ 3 = 24 cubos.
Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e a escolaridade
da população de uma cidade.
matemática 2
o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais,
ainda com juros de 10% ao ano. Depois de
creditados os juros de cada um no final desse
segundo ano, o novo capital de Antônia era
igual à soma dos novos capitais de Maria e
João. Qual era o capital inicial de João?
b) R$ 22.000,00
a) R$ 20.000,00
d) R$ 26.000,00
c) R$ 24.000,00
e) R$ 28.000,00
alternativa A
Escolaridade
Jovens
Mulheres Homens
Fundamental
incompleto
30%
15%
18%
Fundamental
completo
20%
30%
28%
Médio
incompleto
26%
20%
16%
Médio
completo
18%
28%
28%
Superior
incompleto
4%
4%
5%
Superior
completo
2%
3%
5%
Sejam x, y e z, respectivamente, os capitais iniciais
de João, Maria e Antônia. Como os juros são de
10% ao ano, ao final do primeiro ano eles tinham,
respectivamente, 1,1x, 1,1y e 1,1z e ao final do
segundo ano, (1,1) 2 x = 1,21x , (1,1) 2 y = 1,21y e
(1,1) 2 z = 1,21z . Assim:
x + y + z = 100 000
1,1z = 11 000 + 2 ⋅ 1,1x ⇔
1,21z = 1,21x + 1,21y
z + z = 100 000
z = 50 000
⇔ z = 10 000 + 2x ⇔ x = 20 000
z =x +y
y = 30 000
Logo o capital inicial de João era R$ 20.000,00.
Questão 25
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior (completo ou incompleto) é
a) 6,12%
b) 7,27%
c) 8,45%
d) 9,57%
e) 10,23%
alternativa B
Da tabela, 4% + 2% = 6% dos jovens, 4% + 3% =
= 7% das mulheres adultas e 5% + 5% = 10% dos
homens adultos têm superior completo ou incompleto.
Portanto, a partir do gráfico, a probabilidade pedida é 6% ⋅ 48% + 7% ⋅ 27% + 10% ⋅ 25% = 7,27%.
Questão 24
João, Maria e Antônia tinham, juntos,
R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua
parte por um ano, com juros de 10% ao ano.
Depois de creditados seus juros no final desse
ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais
Um número natural N tem três algarismos.
Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das
centenas de N é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
alternativa C
Sejam a, b, c os algarismos das centenas, das
dezenas e das unidades de N, respectivamente,
de modo que N = 100a + 10b + c. O número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N
é N − 396 = 100c + 10b + a. Portanto:
100a + 10b + c − 396 = 100c + 10b + a
⇔
a +c =8
a −c =4
a =6
⇔
a +c =8
c =2
Logo o algarismo das centenas de N é 6.
⇔
matemática 3
alternativa D
Questão 26
Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão
aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos
da progressão aritmética é
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
alternativa C
Sendo os números positivos x − r , x e x + r , nesta ordem, em progressão aritmética temos:
x − r + x + x + r = 30 ⇔ x = 10 e −10 < r < 10
Somando-se 4, −4 e −9, nesta ordem, aos termos
da progressão aritmética, formamos a progressão
geométrica (10 + 4 − r , 10 − 4, 10 − 9 + r ). Logo
(14 − r)(1 + r) = 6 2 ⇔ r 2 − 13r + 22 = 0 ⇔ r = 2
e a PA pedida é (8, 10, 12).
⎤1 7 ⎡
Logo o conjunto pedido é ⎥ ; ⎢.
⎦3 4 ⎣
Questão 29
Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e
CB = 6. O valor de CD é
a) 17/12
d) 25/12
Questão 27
b) 19/12
e) 29/12
c) 23/12
alternativa E
O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem t2 − t − 6 = 0, onde
t = | x − y |, consiste de
a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.
alternativa B
2
Temos t − t − 6 = 0 ⇔ t = −2 ou t = 3 .
Como | x − y | = t e |x − y | ≥ 0, podemos afirmar
x − y =3
y = x −3
que |x − y | = 3 ⇔
,o
ou
ou
⇔
x − y = −3
y = x +3
que representa o conjunto dos pontos de duas retas paralelas.
Questão 28
O conjunto dos números reais x que satisfazem
a inequação log2 (2x + 5) − log2 (3x − 1) > 1 é o
intervalo:
a) ] −∞ , −5/ 2 [
b) ] 7 / 4 , ∞ [
c) ] −5/ 2, 0 [
d) ] 1/ 3, 7 / 4 [
e) ] 0, 1/ 3 [
log 2 (2x + 5) − log 2 (3x − 1) > 1 ⇔
⇔ log 2 (2x + 5) > log 2 2 + log 2 (3x − 1) ⇔
⇔ log 2 (2x + 5) > log 2 (2(3x − 1)) ⇔
2x + 5 > 6x − 2
1
7
⇔
⇔
<x <
3x − 1 > 0
3
4
$ , pela lei
Observando que CD = AC ⋅ cos(ACB)
dos co-senos,
$
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos(ACB)
⇔
29
2
2
2
.
⇔ 4 = 3 + 6 − 2 ⋅ 6 ⋅ CD ⇔ CD =
12
Questão 30
Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na
circunferência tem AB = AC. O ângulo entre
o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é α. Nestas condições, o quociente
entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de α, pela
expressão:
2
a) cos2 α
π
2
b)
sen2 2α
π
2
c)
sen2 2α cosα
π
2
d)
senα cos2α
π
2
e)
sen2α cos2 α
π
matemática 4
alternativa E
alternativa D
Como o triângulo ABC é isósceles de base BC e
α é a medida do ângulo formado entre AB e a altura relativa à base BC, podemos afirmar que
$
= 2 α. Se R é o raio da circunferência
m (BAC)
circunscrita
ao
triângulo
ABC,
temos
BC
= 2R ⇔ BC = 2R ⋅ sen(2 α). Sendo AH
sen(2 α)
BC
a altura relativa ao lado BC, temos BH =
e
2
BH
BC ⋅ cosα
assim tgα =
=
⇔ AH =
AH
2 ⋅ senα
2R ⋅ sen(2 α) ⋅ cosα
R ⋅ 2 senαcosα ⋅ cosα
=
=
=
2 ⋅ senα
senα
b
3
3a
Sendo
, o cone tem raio da
=
⇔b =
a
2
2
a
3a
. Logo Vcone = π ⇔
base e altura
2
2
2
1
3a
⎛a⎞
⇔ ⋅π⋅⎜ ⎟ ⋅
= π⇔
⎝2 ⎠
3
2
3 ⋅2
⇔a = 2 e b =
= 3.
2
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo
retângulo cujos catetos são o raio da base e a altura do cone e a hipotenusa é a geratriz, temos
g 2 = 12 + 3 2 ⇔ g = 10 .
= 2R ⋅ cos 2 α.
Logo a razão entre a área do triângulo ABC e a
área do círculo é
BC ⋅ AH
2R ⋅ sen(2 α) ⋅ 2R ⋅ cos 2 α
2
=
=
π ⋅ R2
2 ⋅ π ⋅ R2
Questão 32
=
2
⋅ sen(2 α) ⋅ cos 2 α.
π
Questão 31
Um cone circular reto está inscrito em um
paralelepípedo reto retângulo, de base quab
drada, como mostra a figura. A razão entre
a
3
as dimensões do paralelepípedo é
e o volu2
me do cone é π.
Então, o comprimento g da geratriz do cone é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 11
Em uma certa comunidade, dois homens
sempre se cumprimentam (na chegada) com
um aperto de mão e se despedem (na saída)
com outro aperto de mão. Um homem e uma
mulher se cumprimentam com um aperto de
mão, mas se despedem com um aceno. Duas
mulheres só trocam acenos, tanto para se
cumprimentarem quanto para se despedirem.
Em uma comemoração, na qual 37 pessoas
almoçaram juntas, todos se cumprimentaram
e se despediram na forma descrita acima.
Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de
mão?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
alternativa B
Sendo x o número de mulheres presentes, o número de homens é 37 − x . Logo o número de pares {homem 1; homem 2} formado por homens di⎛37 − x ⎞
ferentes é ⎜
⎟ e o número de pares {ho⎝ 2 ⎠
mem; mulher} é (37 − x) ⋅ x .
Portanto, considerando o total de apertos de mão:
⎛37 − x ⎞
2 ⋅⎜
⎟ + (37 − x) ⋅ x = 720 ⇔
⎝ 2 ⎠
(37 − x) ⋅ (36 − x)
⇔2 ⋅
+ (37 − x) ⋅ x = 720 ⇔
2
⇔ (37 − x) ⋅ (36 − x + x) = 720 ⇔
⇔ 37 − x = 20 ⇔ x = 17