alternativa E
TIPO DE PROVA: A
x
Questão 1
No ano de 2003, no Brasil, foram emplacados
aproximadamente 1.320.000 veículos nacionais e 15.000 veículos importados, sendo que
43% dos importados eram japoneses. Do total
de veículos emplacados no Brasil, em 2003, a
alternativa mais próxima da porcentagem de
carros japoneses é:
a) 1% b) 0,5% c) 2% d) 1,5% e) 0,9%
alternativa B
Dos 1 320 000 + 15 000 = 1 335 000 veículos emplacados, 43% ⋅ 15 000 são japoneses. Assim, a
porcentagem de veículos japoneses dentre todos
43% ⋅15 000 43
os veículos emplacados é
=
%≅
1 335 000
89
≅ 0,5%.
3
− 3x
2
≥ 4x ⇔ x(x 2 − 3x − 4) ≥ 0 ⇔
⇔ x(x + 1)(x − 4) ≥ 0 ⇔
⇔ (x − ( −1)) ⋅ x ⋅ (x − 4) ≥ 0
Sendo P(x) = (x − ( −1)) ⋅ x ⋅ (x − 4):
O conjunto solução da inequação é, portanto,
V = [−1; 0] ∪ [4; +∞[, que contém o intervalo
[5; 10] .
Questão 4
Na figura, se MN // AC, a medida de α é:
Questão 2
Considere os naturais n, 100 ≤ n ≤ 999, que,
divididos por 9, deixam resto 2. A soma deles
é:
a) 49 700
b) 65 450
c) 83 870
d) 54 650
e) 75 550
alternativa D
Os números naturais que satisfazem as condições do enunciado formam uma PA de razão 9
em que a1 = 99 + 2 = 101 e an = 990 + 2 = 992.
Assim, 992 = 101 + (n − 1) ⋅ 9 ⇔ n = 100 e a soma
(101 + 992) ⋅ 100
pedida é
= 54 650.
2
a) 28°
d) 34°
b) 30°
e) 36°
c) 32°
alternativa B
Prolongando MN, obtemos o ponto P.
Questão 3
Um intervalo contido no conjunto solução da
inequação x 3 − 3x2 ≥ 4x é:
a) [−1, 1]
b) [−3, −1]
c) [0, 1]
d) [3, 8]
e) [5, 10]
$ ) = α.
Como as retas MN e AC são paralelas, m (MPQ
$
Assim, sendo QMN ângulo externo do triângulo MPQ,
$ ) = m (MPQ
$ ) + m (PQM
$ )⇔
m (QMN
⇔ 4α = α + 90o ⇔ α = 30o .
matemática 2
Questão 5
tem 15 diagonais, esse polígono tem
gonais e, assim,
Numa gincana, um objeto é escondido num
ponto E, eqüidistante de 3 árvores A, B e C,
sendo AB = 6m, BC = 8m e AC = 10m. Para
localizar o objeto, um participante considerou
a árvore B como origem de um sistema ortogonal de eixos, de segmento unitário 1m, e a
árvore C como um ponto de um dos eixos.
Uma possibilidade para as coordenadas do
ponto E é:
a) (5, 3)
b) (4, 2)
c) (4, 3)
d) (3, 6)
e) (3, 3)
alternativa C
2
2
Como 6 + 8 = 10 2 ⇔ AB 2 + BC 2 = AC 2 , o
triângulo ABC é retângulo em B. Assim, o ponto
E, que é o circuncentro de ABC, é o ponto médio
da hipotenusa AC.
O ponto C pertence ao eixo dos x ou ao eixo dos
y. Se C pertence ao eixo dos x, C = (8; 0) ou C =
= (−8; 0). Nesse caso, A = (0; 6) ou A = (0; −6).
Deste modo, há quatro possibilidades para E: (4; 3),
(4; −3), (−4; 3) e (−4; −3).
Se C pertence ao eixo dos y, C = (0; 8) ou C =
= (0; −8). Nesse caso, A = (6; 0) ou A = (−6; 0).
Há outras quatro possibilidades para E: (3; 4),
(−3; 4), (3; −4) e (−3; −4).
A única alternativa que apresenta uma das oito
possibilidades para E é a alternativa C.
Questão 6
Se de cada vértice de um polígono regular
partem 15 diagonais, a medida dos ângulos
internos desse polígono, em radianos, é:
11π
6π
7π
17 π
8π
a)
b)
c)
d)
e)
12
7
8
10
9
alternativa E
(n − 3) ⋅ n
2
diagonais. Por outro lado, se de cada vértice parUm polígono de n lados, n ≥ 3, tem
15 ⋅ n
dia2
(n − 3) ⋅ n
15n
⇔ n = 18 la=
2
2
dos.
Desse modo, a medida dos ângulos internos de
um polígono regular de 18 lados é, em radianos,
(18 − 2) ⋅ π 16 π 8 π
.
=
=
18
18
9
Questão 7
Uma barra, metálica e reta, tem comprimento de 40 cm e extremidades A e B fixadas. Ao
ser aquecida, a barra dilata-se, assumindo a
forma de um arco de circunferência de centro O, como na figura. Supondo 2 = 1,4 e
π = 3, a porcentagem de aumento do comprimento da barra é:
a) 10%
b) 8%
c) 5%
d) 4%
e) 7%
ver comentário
Seja r = OA = OB . Logo r ⋅ 2 = 40 ⇔ r = 20 2 cm
1
e, assim, o arco AB mede
⋅ 2 ⋅ π ⋅ 20 2 =
4
= 10 π 2 cm.
Assim, a porcentagem de aumento do comprimen10 π 2 − 40
π 2
to da barra é
=
−1 =
40
4
π
=
− 1.
2 2
Dependendo de como substituímos as aproximações dadas, podemos obter valores próximos aos
apresentados em mais de uma alternativa:
π 2
• Se fizermos a substituição em 4 − 1, obte3 ⋅ 1,4
mos a aproximação
− 1 = 0,05 = 5% , al4
ternativa C ;
π
− 1, obte• Se fizermos a substituição em
2 2
3
1
mos a aproximação
−1 =
≅ 7% , alter2 ⋅ 1,4
14
nativa E.
matemática 3
π 2
− 1, com duas casas
4
decimais de precisão, é 0,11 = 11%, ou seja, a alternativa mais próxima ao valor correto é a alternativa A.
Na verdade, o valor de
2
⇔ 2 x + (2 + a)x − 5 = 2 0 ⇔ x 2 + (2 + a)x − 5 = 0
Como as raízes têm soma e produto iguais,
−(2 + a) = −5 ⇔ a = 3.
Questão 10
Questão 8
Se o par de números reais (x, y) é solução do
⎧x + y = − 1
⎪
x
, então:
sistema ⎨
1
2
⎪x + y = −
x2
⎩
a) xy = 2
d) x2 = 2
alternativa B
x +y =−
x
2
1
x
+y =−
x +y =−
1
⇔
x
2
1
x
−x =−
1
1
+
x
alternativa C
−1
Sendo (log x y)
= log y x para 0 < x ≠ 1 e
0 < y ≠ 1, temos, para x > 1 e y > 1,
2 log y x + (log x y) −1 = 6
⇔
x − y = 12
2 log y x + log y x = 6
log y x = 2
⇔
⇔
⇔
x − y = 12
x − y = 12
c) y2 = 1
b) xy = −2
x
e)
= −2
y
⎧ 2 logy x + (logx y)−1 = 6
Se ⎨
, com x > 1 e
⎩ x − y = 12
y > 1, então o valor de x + y é:
a) 12
b) 18
c) 20
d) 24
e) 36
⇔
x2
x2
1
x +y =−
x
⇔
⇔
1
x(x − 1) = 2 ( −1 + x)
x
1
x +y =−
1
x
−x
y =−
⇔
⇔
⇔
x
⎛
1 ⎞
=
x
1
−
=
=
x
1
0
ou
x
⎜
⎟
⎝
x2 ⎠
x =1
y = −2
Portanto xy = −2 .
⇔
Questão 9
⇔
x = y2
y
2
− y − 12 = 0
⇔
x = 16
⇒ x + y = 20.
y =4
Questão 11
Considere que os percursos de dois rios sejam representados pelos gráficos das funções
y = x2 − x e y = x − 4, ambas de domínio
[−1, 5], num sistema cartesiano de eixos ortogonais cujo segmento unitário é 1 km. O menor comprimento possível de um canal ligando os dois rios está melhor aproximado na
alternativa:
a) 2 km
b) 1,5 km
c) 3 km
d) 2,5 km
e) 3,5 km
alternativa A
x2
⋅4
x −2
=
1
,
2ax − 1
a ∈ R, cujas raízes têm soma e produto
iguais. O valor de a é:
a) −3
b) −2
c) 1
d) −1
e) 3
O menor comprimento possível do canal em
questão é a menor distância entre um ponto
(x; x 2 − x) da parábola y = x 2 − x e a reta
y = x − 4 ⇔ x − y − 4 = 0. Tal distância é igual
| x − (x 2 − x) − 4 |
| − x 2 + 2x − 4 |
a
=
=
2
12 + ( −1) 2
alternativa E
x 2 − 2x + 4
−2
e é mínima quando x = −
= 1,
2 ⋅1
2
2
1 − 2 ⋅1 + 4
3
3
assumindo o valor
=
≅
=
1,5
2
2
= 2 km.
Considere a equação 2
2x
2
⋅ 4x − 2 =
⇔ 2x
2
1
2 ax −1
⇔
⋅ 2 2(x − 2) ⋅ 2 ax −1 = 2 0 ⇔
=
matemática 4
Questão 12
Questão 14
Considere os esboços dos gráficos das funções
g(x) = x 3 + c ⋅ x + 2 e f(x) = a ⋅ x + b, dados
A representação gráfica dos pontos (x, y), so⎛ −2 1⎞ ⎛ x⎞
luções da equação matricial ⎜
⎟ ⋅⎜ ⎟ =
⎝ 1 0⎠ ⎝ y⎠
⎛ − y⎞
= ⎜ ⎟ , é:
⎝ x⎠
na figura.
a) uma reta que passa pela origem.
b) uma reta que passa pelo ponto (−2, 1).
c) uma circunferência.
d) uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
e) um par de retas concorrentes.
alternativa A
⎛ −2 1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ −y ⎞
⎛ −2x + y ⎞ ⎛ −y ⎞
⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔⎜
⎟ =⎜ ⎟ ⇔
⎜
x
⎠ ⎝ x ⎠
⎝ 1 0⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ x ⎠
⎝
O valor de f(g(2)) é:
a) 2
b) 5
c) 4
d) 3
e) 6
⇔ −2x + y = −y ⇔ x = y , que representa uma
reta que passa pela origem.
alternativa E
Como g( −2) = 0, ( −2) 3 + c ⋅ ( −2) + 2 = 0 ⇔
⇔ c = −3 , isto é, g(x) = x 3 − 3x + 2 .
Com relação a f, temos que corta o eixo x em
(−2; 0) e o eixo y em (0; g(0)) = (0; 2). Logo
a ⋅ ( −2) + b = 0
a =1
, isto é, f (x ) = ax + b =
⇔
a ⋅0 + b = 2
b =2
= x + 2.
Assim, g(2) = 2 3 − 3 ⋅ 2 + 2 = 4 e f(g(2)) = f(4) =
= 4 + 2 = 6.
Questão 15
⎛ senα cos α ⎞
Considerando a matriz A = ⎜
⎟,
⎝ − senα cos α ⎠
a soma dos valores de α, 0 ≤ α ≤ 2π, tais que
1
, é:
2
2π
3π
d) 3π
e)
a) 4π
b) 2π
c)
3
2
det A =
alternativa D
Questão 13
det A =
Considere a seqüência de números inteiros
dada por a n = 3n + ( −1)n , com n ∈ N ∗. A
soma dos 20 primeiros termos dessa seqüência é:
a) 580
b) 630
c) 950
d) 840
e) 760
alternativa B
2k −1
Como ( −1)
+ ( −1) 2k = 0, a soma dos 20 primeiros termos dessa seqüência é a soma da PA
de primeiro termo 3 ⋅ 1 = 3 e vigésimo termo
(3 + 60) ⋅ 20
3 ⋅ 20 = 60, ou seja, é igual a
= 630.
2
senα cosα
1
1
⇔
=
⇔
−senα cosα
2
2
1
⇔
2
1
1
⇔ 2 senα cosα =
⇔ sen 2 α =
⇔
2
2
π
5π
⇔ 2α =
+ 2k π ou 2 α =
+ 2k π, k ∈ Z ⇔
6
6
5π
π
⇔α =
+ k π ou α =
+ k π, k ∈ Z
12
12
π
Para 0 ≤ α ≤ 2 π, as soluções da equação são
,
12
13 π 5 π 17 π
36 π
,
e
, cuja soma é
= 3 π.
12 12
12
12
⇔ senα cosα − ( −senα cosα) =
matemática 5
Questão 16
Se 4 cos2 x − 2 =
Questão 18
1
, então um possível va2
lor para tg2x é:
a) 3
b) 6
c) 2
d) 7
e) 5
alternativa D
4 cos 2 x − 2 =
⇔ cos 2x =
1
2
⇔ 2(2 cos 2 x − 1) =
⇔
2
2
alternativa A
2
4
⎛ 2 ⎞
Conseqüentemente, sen 2x = ± 1 − ⎜
⎟
⎝ 4 ⎠
2
⇔
14
.
4
sen 2x
14
4
Logo tg 2x =
=±
⋅
=± 7.
4
cos 2x
2
⇔ sen 2x = ±
Um possível valor para tg 2x é 7 .
Se o polinômio p(x) = x 3 + 3x2 + a − 2b é divisível por (x − a)2 ⋅ (x − b), então o produto dos
números reais a e b é:
a) −2
b) 4
c) −3
d) 2
e) 3
Como p(x) é divisível por (x − a) 2 ⋅ (x − b) e tem
o mesmo grau e o mesmo coeficiente líder desse
polinômio, p(x) = (x − a) 2 ⋅ (x − b) ⇔
⇔ x 3 + 3x 2 + a − 2b =
= x 3 − (2a + b)x 2 + (a2 + 2ab)x − a2 b ⇔
⇔ a2 + 2ab = 0
2
−a b = a − 2b
2a + b = −3
⇔ a(a + 2b) = 0
⇔
O cliente pode escolher a cor do 1º piso de 10 maneiras, e a do 2º piso de 9 maneiras. Assim ele
pode escolher as cores das peças de 10 ⋅ 9 = 90
maneiras.
Como existem 4 tamanhos diferentes de piso, ele
⎛4 ⎞
pode escolher os tamanhos das peças de ⎜ ⎟ = 6
⎝2 ⎠
maneiras. Como para cada uma dessas 6 escolhas de tamanhos temos 90 possibilidades de cor,
há 90 ⋅ 6 = 540 possibilidades de escolha.
2
−a b = a − 2b
2a + b = −3
⇔ (a = 0 ou a + 2b = 0) ⇔ a = −2 e b = 1.
−a2 b = a − 2b
Uma loja oferece pisos de cerâmica para cozinha, com peças em 4 tamanhos diferentes.
Em qualquer um dos 4 tamanhos, as peças
são oferecidas nas mesmas 10 cores distintas. Se um cliente quer escolher peças de 2
tamanhos, com uma cor diferente para cada
tamanho, o total de opções que ele tem é:
a) 370
b) 780
c) 540
d) 660
e) 280
alternativa C
alternativa A
−(2a + b) = 3
Seja R o raio da esfera. Como a esfera fica totalmente submersa, seu volume é igual ao volume correspondente à elevação da altura da
água, ou seja, ao volume de um cilindro de raio
da base 4 cm e altura 2 cm.
4 πR 3
Logo
= π ⋅ 4 2 ⋅ 2 ⇔ R = 2 3 3 cm.
3
Questão 19
Questão 17
Assim, ab = −2 .
Um recipiente cilíndrico reto, com raio da
base igual a 4 cm, contém água até a metade
de sua altura. Uma esfera maciça, colocada
no seu interior, fica totalmente submersa,
elevando a altura da água em 2 cm. O raio da
esfera é:
3
5
b) 4
c) 33 2
d)
e) 2
a) 23 3
2
Questão 20
Um candidato faz uma prova de múltipla escolha com 10 questões, cada uma com 5 al-
matemática 6
ternativas. Ele resolve e assinala a alternativa correta de 4 questões, escolhendo, arbitrariamente, uma alternativa para cada
uma das outras 6 questões. A probabilidade
de ele acertar exatamente 8 questões na prova é:
a)
36
54
b)
34
53
c)
42
56
d)
48
55
e)
45
65
alternativa D
A probabilidade de o candidato acertar exatamente
8 questões na prova é igual à probabilidade de ele
acertar 4 dentre as 6 questões que chutou, ou
⎛6 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 4 ⎛ 4 ⎞ 2
6 ⋅5
1
16
seja, ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =
⋅ 4 ⋅ 2 =
⎝5 ⎠
⎝4 ⎠ ⎝ 5 ⎠
2
5
5
48
= 5 .
5