Movimentos sob a acção
de uma força resultante
constante

No 11ºano estudámos movimentos
rectilíneos causados por forças
constantes. Vamos agora estudar
movimentos com trajectórias
curvilíneas sob a acção de uma
força constante
1
A importância das
condições iniciais
2
A importância das
condições iniciais


Se o fio romper, a única força que
actua no corpo é o peso.
Apesar de a força resultante ser
exactamente a mesma, as
trajectórias de voo são diferentes
de acordo com velocidade inicial
do corpo no instante em que é
largado
3
A importância das
condições iniciais
4
Equações paramétricas de
um movimento com força
resultante constante

Para escrever as equações
paramétricas são necessárias as
condições iniciais do movimento:
v0x, v0y e v0z
x 0, y 0 e z 0
Nos movimentos a duas dimensões:
5
Equações paramétricas de
um movimento com força
resultante constante
Grandezas
Direcção horizontal
aceleração
Fx
ax 
m
posição
velocidade
Direcção vertical
ay 
Fy
m
1 2
1 2
x  x 0  v 0 x t  at
y  y 0  v 0 y t  at
2
2
vx 
dx
 v 0x  a x t
dt
vy 
dy
 v0y  a y t
dt
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Equações paramétricas de
um movimento com força
resultante constante


Para escrever as equações do
movimento, devemos escolher um
eixo com a direcção da velocidade
ou com a direcção da força
resultante
Conclui-se facilmente que um
corpo sujeito à acção de uma força
resultante constante (se a sua
direcção for diferente de v0) tem
sempre trajectória parabólica
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Projécteis



Um corpo sujeito apenas à força
gravítica, é um projéctil.
Nos movimentos de projécteis a
força resultante é constante
(desprezando a resistência do ar)
Os mais variados lançamentos
podem ser vistos como movimento
de projécteis se considerarmos
apenas os centros de massa dos
corpos
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Lançamento horizontal

É aquele em que a velocidade
inicial é horizontal
9
Lançamento horizontal


O movimento de um projéctil tem
duas componentes: a componente
horizontal e a componente vertical.
Uma vez que estas componentes
são independentes uma da outra,
podem, e devem, ser tratadas
separadamente.
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Lançamento horizontal


Consideremos uma bala a
ser disparada
horizontalmente por um
canhão situado em cima de
um penhasco. Na ausência
de gravidade a bala deveria
continuar em frente,
mantendo a velocidade com
que foi disparada (Lei da
inércia).
Se a bala fosse
simplesmente largada, sob a
acção da gravidade, deveria
acelerar, ganhando
velocidade à razão de 9,8m/s
em cada segundo
11
Lançamento horizontal


Se lançarmos horizontalmente
uma bala de canhão, na presença
de um campo gravítico, a
componente horizontal da
velocidade permanece constante e
a bala cai, percorrendo a mesma
distância vertical que percorreria
no caso de ser simplesmente
largada do alto do penhasco.
Porém, a presença da gravidade
não afecta o movimento horizontal
da bala uma vez que a força
gravítica apenas actua na direcção
vertical
12
Lançamento horizontal
13
Lançamento horizontal
A trajectória do pacote é parabólica e o
pacote permanece debaixo do avião
durante todo o tempo.
14
Lançamento horizontal
Então:
 O movimento segundo o eixo dos
xx é uniforme:
Fx  max  a x  0

O movimento é uniformemente
variado segundo o eixo dos yy:
P
Fy  ma y  a y 
 g
m
15
Lançamento horizontal

Atendendo às condições iniciais do
movimento as equações que
descrevem este movimento são:
x  vt
1
2
y  h  gt
2
Em que h=y0 e v=v0x
16
Lançamento oblíquo


Suponhamos agora
que a nossa bala de
canhão era disparada
fazendo um ângulo θ
com a horizontal
Se pudéssemos
“desligar” o “botão” do
campo gravítico….
Na ausência de gravidade:
Movimento rectilíneo
e uniforme
17
Lançamento oblíquo

Neste caso, a
velocidade inicial tem
duas componentes,
uma horizontal e outra
vertical.
v0y
v0x
18
Lançamento oblíquo

Mais uma vez, a força
gravítica não afecta a
componente horizontal
do movimento; o projéctil
mantém a sua
velocidade horizontal
constante uma vez que
sobre ele não actua
nenhuma força com essa
direcção
19
Lançamento oblíquo
h
20
Lançamento oblíquo
Então:
 O movimento segundo o eixo dos
xx é uniforme:
Fx  max  a x  0

O movimento é uniformemente
variado segundo o eixo dos yy:
P
Fy  ma y  a y 
 g
m
21
Lançamento oblíquo

As equações que descrevem este
movimento são:
x  v 0 cost
1
y  y 0  v 0 sin t 
gt 2
2
Condições iniciais do movimento:
x0=0; v0x=v0cosθ;
v0y=v0sinθ; h=y0
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O tratador de
chimpanzés…


Suponhamos que o tratador de
animais do zoológico pretende
alimentar um chimpanzé,
utilizando um canhão que dispara
bananas.
O chimpanzé está pendurado no
ramo de uma árvore e, no preciso
instante em que o canhão é
disparado, solta-se. Para onde
deve o tratador apontar o canhão?
23
O tratador de
chimpanzés…

Na ausência de gravidade:
24
O tratador de
chimpanzés…

Se o tratador
apontar o canhão
para um ponto
acima do
chimpanzé:
25
O tratador de
chimpanzés…

Se o tratador
apontar o canhão
à cabeça do
chimpanzé:
26
O tratador de
chimpanzés…

E se a velocidade
de lançamento da
banana for
menor? Será que
conseguimos
acertar no
chimpanzé?
27
Tempo de voo e alcance


Tempo de voo: tempo durante o
qual o projéctil permanece no ar
Alcance: distância que o projéctil
percorre na horizontal
28
Alcance máximo e
tempo de voo
29
Tempo de voo e alcance
Para um dado valor da velocidade inicial,
se o projéctil cair no mesmo plano
horizontal de onde foi lançado:
 Alcance é máximo para o ângulo de
lançamento de 45º
 Ângulos de lançamento
complementares, proporcionam o
mesmo alcance
 A altura máxima aumenta com o ângulo
de lançamento
 O tempo de voo aumenta com o ângulo
de lançamento
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Resolver…

Mostre que o alcance de um
projéctil lançado o solo com uma
certa velocidade é máximo quando
for lançado a 45º
31

As imagens gif foram retiradas
daqui:
http://www.physicsclassroom.com/
Class/vectors/U3L2a.cfm
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