GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Problemas Métricos Ângulo entre Recta e Plano © antónio de campos, 2010 GENERALIDADES O ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo formado entre a recta dada e a projecção ortogonal da recta sobre o plano. p r P I θº r’ P’ α p r P Se uma recta r faz um ângulo θ com um dado plano α, qualquer recta paralela à recta r fará o mesmo ângulo com qualquer plano paralelo ao plano α. I θº r’ P’ α I’ θ1º r’’ P’’ β Ângulo entre uma Recta Horizontal e o Plano Frontal de Projecção Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta horizontal h e o Plano Frontal de Projecção. h2 F2 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta h e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. x F1 αº h1 Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Horizontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta r e um plano horizontal υ. r2 A2 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano, rebatendo a recta r. O ângulo entre a recta r e o plano horizontal υ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre a rr e a r1r. (fυ) H2 x ≡ e2 A1 αº rr Ar H1 ≡ Hr r1 ≡ e1 ≡ r1r É dada uma recta frontal f, definida pelos pontos A (3; 2; -1) e B (-2; 2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção. y≡ z f2 B2 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. αº x H2 A2 f1 A 1 H1 B1 É dada uma recta oblíqua r, definida pelos pontos A (2; -1; 2) e B (-3; 4; 5). É dado um plano frontal φ, que tem 2 cm de afastamento. Determina a V.G. do ângulo entre a recta r e o plano φ. y≡ z Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. (fυ) A2 Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano, rebatendo a recta r. O ângulo entre a recta r e o plano frontal φ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. B2 r2 F2 ≡ (e2) A1 F1 ≡ F r x αº (hφ) e1 B1 Br rr r1 Ângulo entre uma Recta de Perfil e um Plano Frontal Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta de perfil p e um plano frontal φ. p1 ≡ p2 ≡ e2 ≡ p2r αº Fr ≡ F2 Primeiro há que rebater a recta de perfil para determinar o ponto de intersecção da recta com o plano. Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta p e o plano frontal φ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre a pr e a p2r. A2 Ar Br B2 F1≡ (e1) x A1 (hφ) B1 pr É dada uma recta de perfil p, definida pelos pontos M (4; 5) e N (2; 1). É dado um plano horizontal υ, que tem 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o plano υ. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ e2≡ fπr Primeiro há que rebater a recta de perfil para determinar o ponto de intersecção da recta com o plano. M2 Mr pr Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. (fυ) O ângulo entre a recta p e o plano horizontal υ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, seja entre pr e hπr com vértice em Hr. N2 (e1) x ≡ hπr N1 M1 Nr Hr αº Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Vertical Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano vertical α. P2 r’2 fα r2 p2 ≡ (fυ) ≡ e2 P’2 Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. I2 Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre rr e r’r com vértice em Ir . x P’1≡ P’r I1 Ir r1 P1≡ Pr p1 ≡ e1 rr θº hα≡ r’1 ≡ r’r Ir1 É dada uma recta oblíqua r, paralela ao β1,3, contém o ponto A (0; 3; 4) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x.É dado um plano de topo θ, que faz um diedro de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção e corta o eixo x num ponto com –2 cm de abcissa. Determina a V.G. do ângulo entre a recta r e o plano θ. r2 y≡ z rr fθ ≡ r’2 ≡ r’r Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano. αº Ir1 Ir 2 I2 Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano. O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre rr e r’r com vértice em Ir. p2 ≡ e A2 ≡ Ar A’2 ≡ A’r x I1 p1 ≡ (h ) ≡ e φ 1 A’1 A1 r’1 r1 hθ Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano α. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p. 90º - θº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. θº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano α. r p s θº P 90º - θº I θº r’ P’ α Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano oblíquo δ. r2 Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano δ. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p, via rebatimento. 90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano δ. pr p2 rr Pr Pr1 P2 βº fδ 90º-βº e2 B2 ≡ Br A2 ≡ Ar x B1 (hφ) ≡ e1 A1 P1 r1 p1 hδ É dada uma recta oblíqua m contém o ponto M (0; 4; 5). A projecção horizontal da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano oblíquo δ, ortogonal ao β1,3, intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre a recta m e o plano δ. Mr1 p2 y≡ z M2 Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante. É conduzida pelo um ponto M da recta m, uma recta p ortogonal ao plano δ. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, m e p, via rebatimento. e2 mr fδ B2 ≡ Br αº Mr 90º- αº A2 ≡ Ar pr x B1 (hφ) ≡ e1 90º - αº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. αº é a V.G. do ângulo entre e recta m e o plano δ. m2 M1 m1 p1 A1 hδ Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano de Rampa Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano de rampa ρ. Uma vez que que se trata de um plano não projectante, será mais adequado o método do ângulo complementar. r2 É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano ρ. Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p, depois do processo de rebatimento das rectas. O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção entre os planos π e ρ, definida pelos seus traços, F e H. Para determinar a V.G. do ângulo, existe a necessidade de rebater o plano definido pelos duas rectas r e p, para um plano horizontal υ. 90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido. βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano ρ. p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ e1 ≡ hπr P2 fρ F2 A2 (fυ) ≡ e’2 Fr B2 F1 ≡ H2 ≡ (e2) x ≡ fπr pr A1 ≡ Ar1 Ar H 1 ≡ Hr B1≡ Br hρ Pr r1 βº rr1 P1 Pr2 90º-βº p r1 e’1 ir Pr1 Uma recta de perfil p é definida pelos pontos A (1; 1) e B (3; 2). É dado um plano de rampa ρ, com o seu traço horizontal de 5 cm de afastamento, e o seu traço frontal de 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o plano ρ. Neste caso, o processo mais simples é via o processo de mudança do diedro de projecção. fρ x’ p1 ≡ p2 C2 B2 O ponto C de fρ é utilizado para determinar o traço do plano ρ no plano 4. C1 f4ρ É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano ρ. A2 C4 A1 A4 O ângulo entre a recta p e o plano ρ é o ângulo entre p4 e f4ρ. αº x B4 B1 p4 hρ 2 1 4 1