GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Problemas Métricos
Ângulo entre Recta e Plano
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
O ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo formado entre a recta
dada e a projecção ortogonal da recta sobre o plano.
p
r
P
I
θº
r’
P’
α
p
r
P
Se uma recta r
faz um ângulo θ
com um dado
plano α, qualquer
recta paralela à
recta r fará o
mesmo ângulo
com qualquer
plano paralelo ao
plano α.
I
θº
r’
P’
α
I’
θ1º
r’’
P’’
β
Ângulo entre uma Recta Horizontal e o Plano Frontal de
Projecção
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta horizontal h e o
Plano Frontal de Projecção.
h2
F2
Determina-se o ponto de
intersecção da recta com o plano.
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o plano.
O ângulo entre a recta h e o Plano
Frontal de Projecção é o ângulo
entre a recta e a sua projecção
ortogonal no plano.
x
F1
αº
h1
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Horizontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta r e um plano
horizontal υ.
r2
A2
Determina-se o ponto de
intersecção da recta com o plano.
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o plano,
rebatendo a recta r.
O ângulo entre a recta r e o plano
horizontal υ é o ângulo entre a
recta e a sua projecção ortogonal
no plano, ou seja entre a rr e a r1r.
(fυ)
H2
x ≡ e2
A1
αº
rr
Ar
H1 ≡ Hr
r1 ≡ e1 ≡ r1r
É dada uma recta frontal f, definida pelos pontos A (3; 2; -1) e B (-2; 2; 5).
Determina a V.G. do ângulo entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção.
y≡ z
f2
B2
Determina-se o ponto de intersecção
da recta com o plano.
Determina-se a projecção ortogonal
da recta sobre o plano.
O ângulo entre a recta f e o Plano
Horizontal de Projecção é o ângulo
entre a recta e a sua projecção
ortogonal no plano.
αº
x
H2
A2
f1
A 1 H1
B1
É dada uma recta oblíqua r, definida pelos pontos A (2; -1; 2) e B (-3; 4; 5). É
dado um plano frontal φ, que tem 2 cm de afastamento. Determina a V.G. do
ângulo entre a recta r e o plano φ.
y≡ z
Determina-se o ponto de
intersecção da recta com o
plano.
(fυ)
A2
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o
plano, rebatendo a recta r.
O ângulo entre a recta r e o
plano frontal φ é o ângulo
entre a recta e a sua
projecção ortogonal no plano.
B2
r2
F2 ≡ (e2)
A1
F1 ≡ F r
x
αº
(hφ)
e1
B1
Br
rr
r1
Ângulo entre uma Recta de Perfil e um Plano Frontal
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta de perfil p e um
plano frontal φ.
p1 ≡ p2 ≡ e2 ≡ p2r
αº
Fr ≡ F2
Primeiro há que rebater a recta de
perfil para determinar o ponto de
intersecção da recta com o plano.
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o plano.
O ângulo entre a recta p e o plano
frontal φ é o ângulo entre a recta
e a sua projecção ortogonal no
plano, ou seja entre a pr e a p2r.
A2
Ar
Br
B2
F1≡ (e1)
x
A1
(hφ)
B1
pr
É dada uma recta de perfil p, definida pelos pontos M (4; 5) e N (2; 1). É dado
um plano horizontal υ, que tem 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo
entre a recta p e o plano υ.
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ e2≡ fπr
Primeiro há que rebater a
recta de perfil para
determinar o ponto de
intersecção da recta com o
plano.
M2
Mr
pr
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o
plano.
(fυ)
O ângulo entre a recta p e o
plano horizontal υ é o ângulo
entre a recta e a sua projecção
ortogonal no plano, seja entre
pr e hπr com vértice em Hr.
N2
(e1)
x ≡ hπr
N1
M1
Nr
Hr
αº
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Vertical
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano
vertical α.
P2
r’2
fα
r2
p2 ≡ (fυ) ≡ e2
P’2
Determina-se o ponto de
intersecção da recta com o plano.
I2
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o plano.
O ângulo entre a recta r e o plano
α é o ângulo entre a recta e a sua
projecção ortogonal no plano, ou
seja entre rr e r’r com vértice em
Ir .
x
P’1≡ P’r
I1
Ir
r1
P1≡ Pr
p1 ≡ e1
rr
θº
hα≡ r’1 ≡ r’r
Ir1
É dada uma recta oblíqua r, paralela ao β1,3, contém o ponto A (0; 3; 4) e a sua
projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x.É dado um plano de
topo θ, que faz um diedro de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção e
corta o eixo x num ponto com –2 cm de abcissa. Determina a V.G. do ângulo
entre a recta r e o plano θ.
r2
y≡ z
rr
fθ ≡ r’2 ≡ r’r
Determina-se o ponto de
intersecção da recta com o
plano.
αº
Ir1
Ir
2
I2
Determina-se a projecção
ortogonal da recta sobre o plano.
O ângulo entre a recta r e o
plano α é o ângulo entre a recta
e a sua projecção ortogonal no
plano, ou seja entre rr e r’r com
vértice em Ir.
p2 ≡ e
A2 ≡ Ar
A’2 ≡ A’r
x
I1
p1 ≡ (h ) ≡ e
φ
1
A’1
A1
r’1
r1
hθ
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo
Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa
enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal
solução é sempre preferível quando o plano é não projectante.
É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano α.
Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p.
90º - θº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.
θº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano α.
r
p
s
θº
P
90º - θº
I
θº
r’
P’
α
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano
oblíquo δ.
r2
Utilizando o método geral para a
determinação de ângulos entre rectas
e planos resulta numa enorme
complexidade de traçados, sendo mais
adequado o método do ângulo
complementar. Tal solução é sempre
preferível quando o plano é não
projectante.
É conduzida por um ponto qualquer P da
recta r, uma recta p ortogonal ao plano
δ.
Determina-se o ângulo formado pelas
duas rectas, r e p, via rebatimento.
90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e
o ângulo complementar do ângulo
pretendido.
βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o
plano δ.
pr
p2
rr
Pr
Pr1
P2
βº
fδ
90º-βº
e2
B2 ≡ Br
A2 ≡ Ar
x
B1
(hφ) ≡ e1
A1
P1
r1
p1
hδ
É dada uma recta oblíqua m contém o ponto M (0; 4; 5). A projecção horizontal
da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e a sua projecção frontal
faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano oblíquo δ, ortogonal
ao β1,3, intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço
horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do
ângulo entre a recta m e o plano δ.
Mr1
p2
y≡ z
M2
Utilizando o método geral para a
determinação de ângulos entre
rectas e planos resulta numa enorme
complexidade de traçados, sendo
mais adequado o método do ângulo
complementar. Tal solução é sempre
preferível quando o plano é não
projectante.
É conduzida pelo um ponto M da
recta m, uma recta p ortogonal ao
plano δ.
Determina-se o ângulo formado pelas
duas rectas, m e p, via rebatimento.
e2
mr
fδ
B2 ≡ Br
αº
Mr
90º- αº
A2 ≡ Ar
pr
x
B1
(hφ) ≡ e1
90º - αº é a V.G. entre as duas
rectas e o ângulo complementar do
ângulo pretendido.
αº é a V.G. do ângulo entre e recta m
e o plano δ.
m2
M1
m1
p1
A1
hδ
Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano de Rampa
Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um
plano de rampa ρ.
Uma vez que que se trata de um plano
não projectante, será mais adequado o
método do ângulo complementar.
r2
É conduzida por um ponto qualquer P da
recta r, uma recta p ortogonal ao plano ρ.
Determina-se o ângulo formado pelas
duas rectas, r e p, depois do processo de
rebatimento das rectas. O plano π é o
plano de perfil que contém a recta p. A
recta i é a recta de intersecção entre os
planos π e ρ, definida pelos seus traços,
F e H.
Para determinar a V.G. do ângulo, existe
a necessidade de rebater o plano
definido pelos duas rectas r e p, para um
plano horizontal υ. 90º - βº é a V.G.
entre as duas rectas e o ângulo
complementar do ângulo pretendido.
βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o
plano ρ.
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ e1 ≡ hπr
P2
fρ
F2
A2
(fυ) ≡ e’2
Fr
B2
F1 ≡ H2 ≡ (e2)
x ≡ fπr
pr
A1 ≡ Ar1
Ar
H 1 ≡ Hr
B1≡ Br
hρ
Pr
r1
βº
rr1
P1
Pr2
90º-βº p
r1
e’1
ir
Pr1
Uma recta de perfil p é definida pelos pontos A (1; 1) e B (3; 2). É dado um
plano de rampa ρ, com o seu traço horizontal de 5 cm de afastamento, e o seu
traço frontal de 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o
plano ρ.
Neste caso, o processo mais
simples é via o processo de
mudança do diedro de projecção.
fρ
x’
p1 ≡ p2
C2
B2
O ponto C de fρ é utilizado para
determinar o traço do plano ρ no
plano 4.
C1
f4ρ
É conduzida por um ponto
qualquer P da recta r, uma recta
p ortogonal ao plano ρ.
A2
C4
A1
A4
O ângulo entre a recta p e o
plano ρ é o ângulo entre p4 e f4ρ.
αº
x
B4
B1
p4
hρ
2
1
4
1