MATEMÁTICA
Prof. Fernando
QUESTÕES EXTRAS – TRIGONOMETRIA
1. Simplifique y =
sec x + tgx
e calcule o valor de y sabendo que cos sec x = − 10 .
sec x − tgx
Solução. Simplificando, temos:
1
senx 1 + senx
+
sec x + tgx cos x cos x
1 + senx cos x
1 + senx
=
= cos x =
=
i) y =
.
1
senx 1 − senx
sec x − tgx
cos x 1 − senx 1 − senx
−
cos x cos x
cos x
1
= −0,1
ii) cos sec x = −10
senx = −
.
10
1 + senx
1 − 0,1
0,9 9
=
=
=
iii) y =
1 − senx 1 − ( −0,1) 1,1 11
⇒
2. Se cos x =
sec 2 x − sec x.cossec x
1
.
, determine
1 − cot gx
4
Solução. Desenvolvendo a expressão, temos:
1
1
senx − cos x
.
2
sec x − sec x.cos sec x cos x cos x senx
senx − cos x
senx
=
= cos x.senx =
.
cos x
senx − cos x cos2 x.senx senx − cos x
1 − cot gx
1−
senx
senx
senx
1
1
1
=
=
=
=
= 16
2
2
2
1
cos x.senx cos x ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
16
⎝4⎠
1
2
2
−
3. Determine o valor das expressões:
a)
X=
sen330º + cos2 300º
b) Y =
sen200º + cos70º + sen2 240º
⎛ 2π ⎞
⎛ 5π ⎞
⎟ + cos ⎜
⎟
3
⎝
⎠
⎝ 3 ⎠
sen2 ⎜
⎛ 5π ⎞
⎟
⎝ 6 ⎠
cos4 ⎜
Solução. Encontrando os valores ou relações conhecidas, temos:
2
X=
−
2
sen330º + cos 300º
sen200º + cos70º +sen2 240º
=
1 ⎛ 1⎞
+
2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎛
sen(180º +20º ) + sen(90 − 70º ) + ⎜⎜ −
⎝
a)
3⎞
⎟
2 ⎟⎠
2
=
.
−2 + 1
1
−
1 4
1
4
4
=
=
=− . =−
3
3
3
4 3
3
−sen20º +sen20º +
4
4
4
−
b)
Y=
1 1
+
2 4
⎛ 2π ⎞
⎛ 5π ⎞
sen2 ⎜
⎟ + cos ⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎛ 5π ⎞
⎟
⎝ 6 ⎠
cos4 ⎜
=
⎛
⎜⎜
⎝
2
3⎞
1
⎟ +
2 ⎟⎠
2
⎛
⎜⎜ −
⎝
3⎞
⎟
2 ⎟⎠
4
3 1 3+2
+
5 16 20
= 4 2 = 4 = .
=
9
9
4 9
9
16
16
1
2015 - MATEMÁTICA - FERNANDO - QUESTÕES EXTRAS - TRIGONOMETRIA - 1º ANO - 02-06 - SITE
cos(180º +α ) + cos(360º −α ) + sen(180º −α )
3
, senα ≠ 0
, calcule E =
5
sen2 (180º +α )
4. Se senα =
Solução. Simplificando a expressão antes da substituição, temos:
E=
cos(180º +α ) + cos(360º −α ) + sen(180º −α )
sen (180º +α )
2
=
− cos α + cos α + senα
sen α
2
senα
=
sen α
2
=
1
5
=
senα 3
1
3π
5. Sendo, senα = − , π < α <
, calcule cos α, tgα, sec α e cos sec α .
3
2
Solução. O arco está no 3º quadrante.
i) s e n α = −
1
3
⇒ c o s s e c α = s e1n α
ii) c o s 2 α = 1 − s e n 2 α
⇒ cos α = −
= −3
1−
⎛⎜ − 1 ⎞⎟ 2
⎝ 3⎠
= − 1−
1
3
3
2
3 2
.
= −
= −
= −
cos α
4
2 2
2 2
2
1
−
senα
3 = − 1.− 3 = 1 = 1 .
iv ) tg α =
=
cos α
3
2 2
2 2
2 2
2 2
−
3
1
= −
9
8
2 2
= −
9
3
iii) s e c α =
6. Quais são os valores de senx e cos x , sendo senx = −2cos x , com
2
2
2
4
=
π
< x < π?
2
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante.
⎧
⎪senx = −2cos x
2
⇒ ( −2cos x ) + cos2 x = 1 ⇒ 4cos2 x + cos2 x = 1 ⇒ 5 cos2 x = 1 ⇒
⎨
2
2
⎪
⎩sen x + cos x = 1
i) cos x = −
1
1
1
5
5
=−
=−
=−
.
5
5
5
5 5
⎛
5⎞ 2 5
=
ii) senx = −2cos x = −2. ⎜ −
⎜ 5 ⎟⎟
5
⎝
⎠
7. (UNEB) Se xpertence ao intervalo ⎡0, π ⎤ e tgx = 2 , então cos x vale:.
⎢
⎥
⎣ 2⎦
a)
3
2
b)
2
2
c) 1
2
d) 5
5
e)
3
5
Solução. O arco x está no 1º quadrante. Os valores de senx e cosx são positivos. Aplicando as relações
trigonométricas, temos:
⎧1 + tg2 x = sec 2 x
⎪
1
1
1
5
⎪
⇒ 1 + (2)2 = sec 2 x ⇒ sec x = 5 → (positiva) ⇒ cos x =
=
=
.
⎨sec x =
cos
x
sec
x
5
5
⎪
⎪ tgx = 2
⎩
8. Para todo x є IR tal que x ≠
a)
senx
cos x
b) 1 + cos x
π
. tg 2 x + 1) é igual a:
+ kπ, k ∈ Z , a expressão (cos 2 x )(
2
d) 2senx
c) 1
2
e) senx + cos x
Solução. Substituindo as relações trigonométricas para simplificação, temos:
⎧ 2
2
⎪tg x + 1 = sec x
⎪
1
⎪
⇒ cos2 x . tg2 x + 1 = cos2 x . sec 2 x = cos2 x
⎨sec x =
cos
x
⎪
⎪ cos2 x . tg2 x + 1
⎪
⎩
(
)(
(
)
)(
) (
)(
) (
).⎛⎜⎝ cos12 x ⎞⎟⎠ = 1
9. Simplificando a expressão E = ( sec x − cos x ) . ( cos sec x − senx ) . ( tgx + cot gx ) obtém-se:
a)
E = senx
b) E = cos x
d) E = 1
c) E = tgx
e) E = 0
Solução. Escrevendo a expressão em termos de senos e cossenos, temos:
1
cos x ⎞
⎞ ⎛ 1
⎞ ⎛ senx
− cos x ⎟ . ⎜
− senx ⎟ . ⎜
+
senx ⎟⎠
⎝ cos x
⎠ ⎝ senx
⎠ ⎝ cos x
⎛
E = ( sec x − cos x ) . ( cos sec x − senx ) . ( tgx + cot gx ) = ⎜
⎛ 1 − cos2
E=⎜
⎜
⎝
x ⎞ ⎛ 1 − sen2 x ⎞ ⎛ sen2 x + cos2 x ⎞ ⎛ sen2 x ⎞ ⎛ cos2 x ⎞ ⎛
1
⎞
⎟.⎜
⎟.⎜
⎟=⎜
⎟.⎜
⎟.⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
cos x ⎠ ⎝ senx ⎠ ⎝ senx.cos x ⎠ ⎝ cos x ⎠ ⎝ senx ⎠ ⎝ senx.cos x ⎟⎠
1
⎞
⎟ =1
⎝ senx.cos x ⎠
⎛
E = ( senx.cos x ) . ⎜
10. Simplificando a expressão y =
a)
y = 2cot gx
senx
1 + cos x , obtém-se:
+
1 + cos x
senx
b) y = 2senx
c) y = 2cos x
e) y = 2 cos sec x
d) 2tgx
Solução. Igualando os denominadores e aplicando as relações trigonométricas, temos:
2
senx
1 + cos x sen x + (1 + cos x )
sen2 x + 1 + 2cos x + cos2 x
1 + 1 + 2cos x
+
=
=
=
1 + cos x
senx
senx. (1 + cos x )
senx (1 + cos x )
senx (1 + cos x )
2
y=
2 (1 + cos x )
2 + 2cos x
2
⎛ 1 ⎞
y=
=
=
= 2. ⎜
⎟ = 2.cos sec x
senx (1 + cos x ) senx (1 + cos x ) senx
⎝ senx ⎠
11. Sabe-se que 4tg2 x = 9 e
a)
3
2
π
2
.
< x < π . Então a expressão E = −4senx − 6cos x + cot gx vale:
b) − 3
2
c) 2
3
e) 9
4
d) − 2
3
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante. O seno é positivo e o cosseno negativo. Logo a tangente e
cotangente são negativas.
i) 4tg 2 x = 9
⇒ tg2 x = 94 ⇒ tgx =
ii) sec 2 x = 1 + tg 2 x
9
3
= − ( negativa )
4
2
⇒ sec 2 x = 1 + 94 ⇒ sec x =
13
13
=−
4
2
⇒ cos x = −
2
13
=−
2 13
(negativo)
13
3
3 13
⇒ senx = 139 = 13
=
(positivo)
13
⎛ 3 13 ⎞⎟ − 6 ⎛⎜ − 2 13 ⎞⎟ + ⎛ − 2 ⎞ = − 12 13 + 12 13 − 2 = − 2
E = − 4senx − 6 cos x + cot gx = − 4 ⎜
13
3
3
⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 13
iii) sen 2 x + cos 2 x = 1
⇒ senx =
⇒ cot gx = − 32
1−
4
13
3
2015 - MATEMÁTICA - FERNANDO - QUESTÕES EXTRAS - TRIGONOMETRIA - 1º ANO - 02-06 - SITE
12.
a)
(UF VIÇOSA) Sabendo que senx =
3 2
4
b)
1
π
e
< x < π , o valor de cos sec x − sec x é:
2
3
cot gx − 1
2 2
3
c) − 3 2
4
2 2
3
d) −
e) 3
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante. O seno e a cossecante são positivos, o cosseno, secante,
tangente e cotangente são negativos.
⇒ cos sec x = 3
ii) sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ cos x =
i) senx =
iii) tgx =
1
3
1
senx
3
=
cos x
−2 2
cos sec x − sec x
iv )
=
cot gx − 1
=
=
3
⎛⎜
⎝
1−
1
9
⇒ cos x =
3− −
3 2
4
−2 2 − 1
⎞⎟ 12 + 3
⎠= 4
2
2
−2 2 − 1
=
12 + 3 2
(
)
4 −2 2 − 1
=
⎛⎜ − 1 + 2
2 ) ⎝ −1 + 2
12 + 3 2
(
4 −1 − 2
.
⎞⎟ =
2⎠
2
− 12 + 24 2 − 3 2 + 12 21 2
3 2
=
= −
− 28
4 (1 − 8 )
4
π
13. (UNIFOR) Para todo x ≠ k. , k ∈ Z , a expressão
2
a)
⇒ cot gx = − 2
1 −3
1
=−
.
3 2 2
2 2
⇒ sec x = − 2 3 2 = − 3 4 2
8
2 2
= −
9
3
− tgx
b) tgx
cos sec x + cos x é equivalente a:
sec x + senx
c) − cot gx
d) cot gx
e) sec x.tgx
Solução. Escrevendo as funções em termos de senos e cossenos, temos:
1
1 + senx.cos x
+ cos x
cos sec x + cos x
1 + senx.cos x
cos x
cos x
senx
= senx
=
=
.
=
= cot gx .
1
1
+
senx.cos
x
sec x + senx
senx
1 + senx.cos x senx
+ senx
cos x
cos x
14. (PUC) O arco que tem medida x em radianos é tal que
a)
3
b)
2
c)
3
3
d)
π
< x < π e tgx = − 2 . O valor do seno de x é:
2
6
2
e)
3
2
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante. O seno e a cossecante são positivos, o cosseno, secante,
tangente e cotangente são negativos.
⎧⎪sec 2 x = 1 + tg2 x
2
1
3
i) ⎨
⇒ sec 2 x = 1 + − 2 ⇒ sec 2 x = 3 ⇒ sec x = − 3 ⇒ cos x = −
=−
3
3
⎪
⎩ tgx = − 2
⎛
senx
senx
3⎞
6
⇒− 2=
⇒ senx = ⎜ −
ii) tgx =
⎟⎟ . − 2 =
⎜
cos x
3
3
⎝ 3 ⎠
−
3
(
)
(
15. Se senx =
a)
cot gx
2
e x está no 1º quadrante, calcule:
3
b) cossec x
4
)
Solução. Aplicando as relações trigonométricas, temos:
a ) sen 2 x + cos 2 x = 1
b ) cos sec x =
⇒ cos x =
4
1−
9
⇒ cos x =
5
5
=
9
3
5
cos x
5 3
5
= 3 =
cot gx =
. =
2
senx
3 2
2
3
⇒
1
1
3
=
=
2
senx
2
3
2sec x.cossec x
3π
, calcule o valor da expressão y =
.
3cot gx
2
Solução. O intervalo aberto indicado é o 3º quadrante. Escrevendo a expressão em termos de senos e
cossenos e substituindo o valor informado, vem:
π<x<
16. Sabendo que tgx = 2 e
1 ⎞⎛ 1 ⎞
2
⎟. ⎜
⎟
2
senx
2 ⎛ 1 ⎞ 2
cos
x
senx
⎝
⎠ ⎝
⎠
2
= cos x.senx =
= .⎜
.
⎟ = .sec x
3cos x
cos x.senx 3cos x 3 ⎝ cos2 x ⎠ 3
⎛ cos x ⎞
3⎜
⎟
senx
⎝ senx ⎠
2
2
2
10
y = . 1 + tg2 x = . 1 + 22 = . ( 5 ) =
3
3
3
3
⎛
2sec x.cos sec x
=
y=
3cot gx
(
)
(
2⎜
)
17. Qual o valor da expressão y = senπ + sen2π + sen3π + ... + sen15π ?
Solução. Observe que os valores com coeficientes ímpares estão localizados no ponto (-1, 0) do círculo
trigonométrico. Logo, senπ = sen3π = sen5π = ... = sen(2n + 1)π = 0 . Os valores com coeficientes pares estão
localizados no ponto (1,0). Logo, sen2π = sen4π = sen6π = ... = sen(2n)π = 0 . Desta forma, o valor da
expressão é y = 0 + 0 = 0.
18. Sendo cos x =
4
π
2
e 0 < x < , calcule o valor de sen x − 3senx .
2
5
Solução. O arco é do 1º quadrante. Calculando o valor de senx e substituindo, temos:
⎛4⎞
⎟
⎝5⎠
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen2 x + ⎜
Logo : sen2 x − 3senx =
19. Sabendo que cosa = −
5
π
e
<a<
2
5
2
= 1 ⇒ sen2 x = 1 −
16
25
⇒
senx =
9
3
=
25 5
9
9 9 9 − 45
36
⎛3⎞
− 3⎜ ⎟ =
− =
=−
25
25 5
25
25
⎝5⎠
π , calcule o valor de (1 + sena ) . (1 − sena ) .
2
2
Solução. O produto indicado é a diferença de quadrados do tipo (a + b) (a – b) = a – b . O arco é do 2º
quadrante. Temos:
⎛
(1 + sena ) . (1 − sena ) = 1 − sen2a = cos2 a = ⎜⎜ −
⎝
2
5⎞
5
1
=
⎟ =
⎟
5 ⎠
25 5
5
2015 - MATEMÁTICA - FERNANDO - QUESTÕES EXTRAS - TRIGONOMETRIA - 1º ANO - 02-06 - SITE
20. Dado cos x =
2
π
, com 0 < x < , determine o valor de sec x + cossec x .
2
2
Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando a soma, temos:
2
2
2
sen x + cos x = 1 ⇒ sen x
sec x + cos sec x =
21. Se cosa =
⎛
+⎜
⎜
⎝
2
2⎞
2
2
⎟ = 1 ⇒ sen x = 1 −
⎟
2 ⎠
4
⇒
senx =
2
2
=
4
2
1
1
2
2
4
4
2 4 2
.
+
=
+
=
=
=
=2 2
cos x senx
2
2
2
2
2 2
cos sec a − sena
1
π
e 0 < a < , qual é o valor da expressão y =
?
2
2
sec a − cosa
Solução. O arco é do 1º quadrante. Substituindo as relações conhecidas e calculando o quociente, temos:
⎛ 1⎞
⎟
⎝2⎠
sen2a + cos2 a = 1 ⇒ sen2a + ⎜
2
= 1 ⇒ sen2a = 1 −
1
⇒ sena =
4
3
3
=
4
2
2
3 4−3
1
1
−
− sena
cos sec a − sena sena
1 2
1
1
3
3
2
y=
. =
.
=
= 3
= 2 3 = 2 3 =
=
=
1
1
4 −1
3
sec a − cosa
3
9
2 3
3 3 3 3 3
2−
− cosa
cosa
2
2
2
22. Determine o valor de A =
cot gx − 1
1
, dado cos x = .
2
cos sec x − sec x
Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:
cot gx − 1
A=
=
cos sec x − sec x
cos x
cos x − senx
−1
cos x − senx senx.cos x
senx.cos x
1
senx
senx
.
=
=
=
= cos x =
1
1
cos x − senx
senx
cos x − senx
senx
2
−
senx cos x
senx.cos x
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos:
⎛ 1⎞
⎟
⎝2⎠
2
i)
sen2 x + cos2 x = 1 ⇒ sen2 x + ⎜
ii)
cos sec x =
iii)
1
cos x
1 2
1
1
3
3
cot gx =
= 2 = .
=
=
.
=
senx
3
3 2 3
3
3 3
2
iv)
sec x =
Logo,
2
3
=
2
3
.
3
3
=
= 1 ⇒ senx =
3
3
=
4
2
2 3
3
1
=2
cos x
3
3 −3
−1
3
=
=
A= 3
2 3
2 3 −6
−2
3
3
3 −3
3
3 −3
3 −3
1
=
=
=
.
3
2
2 3 −6 2 3 −6 2 3 −3
(
6
)
1
π
, com
< x < π , determine o valor de cot gx .
2
3
Solução. O arco é do 2º quadrante. Substituindo as relações conhecidas, temos:
23. Dado senx =
sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒
−
cos x
cot gx =
=
senx
⎛
⎜
⎝
2
1⎞
1
+ cos x = 1 ⇒ cos 2 x = 1 −
3 ⎟⎠
9
⇒
cos x =
8
2 2
=−
9
3
2 2
3 = − 2 2 . 3 = −2 2
1
3 1
3
cossec x − senx
1
+ sec x ?
, qual é o valor da expressão y =
2
cot gx.sec x
Solução 1. Expressando A em senos e cossenos e substituindo o valor de cosx ao final, temos:
24. Para cos x =
1
cos x
1
− senx +
.
cos sec x − senx
cos sec x − senx + cot gx.sec 2 x
senx
senx cos 2 x
y=
+ sec x =
=
cos x
1
cot gx. sec x
cot gx.sec x
.
senx cos x
1 − sen 2 x
1
cos 2 x
1
cos3 x + 1
+
+
3
3
senx
senx.cos x = senx
senx.cos x = senx.cos x = cos x + 1 . senx = cos x + 1
y=
1
1
1
1
cos x
senx.cos x
senx
senx
senx
y=
⎛
⎜
⎝
3
1⎞
1
+1
⎟ +1
2⎠
= 8
=
1
1
2
2
9
8 = 9.2 = 9
1 8 1 4
2
Solução 2. Calculando os valores das funções e substituindo na expressão, temos:
⎛ 1⎞
⎟
⎝2⎠
2
2
2
i) sen x + cos x = 1 ⇒ sen x + ⎜
2
ii)
2 3
cos sec x =
=
.
=
3
3
3 3
iv)
sec x =
Logo,
2
3
2
= 1 ⇒ senx =
3
3
=
4
2
1
cos x
1 2
1
1
3
3
2
=
= .
=
=
=
.
iii) cot gx =
senx
2
3
3
3
3
3 3
2
1
=2
cos x
2 3
3
4 3 −3 3
3
−
3 3
3 3
1
1+ 8 9
3
2
6
6
A=
.
+2=
+2=
+2 =
+2=
+2= +2=
=
6 2 3
4
4
4
3
2 3
2 3
12 3
.2
3
3
3
25. Calcule o valor de y = senx.cos x sabendo que tgx + cot gx = 2 b2 − 4ac .
Solução. Desenvolvendo a soma mostrada em senos e cossenos substituindo depois em “y”, temos:
tgx + cot gx = 2
senx cos x
sen x + cos x
1
⇒ cos
+
=2⇒
= 2 ⇒ 1 = 2senx cos x ⇒ senx cos x =
x senx
senx.cos x
2
y = senx.cos x =
2
2
1
2
7
2015 - MATEMÁTICA - FERNANDO - QUESTÕES EXTRAS - TRIGONOMETRIA - 1º ANO - 02-06 - SITE
26. (UA-AM) A expressão
a)
2senx
1
+ cossec x. (1 + cos x ) é igual a:
cossec x. (1 + cos x )
b) 2cos x
c) 2cos sec x
d) 2tgx
e) 2sec x
Solução. Desenvolvendo e escrevendo a cossecante em função do seno, temos:
(1 + cos x )
(1 + cos x )
1
1
senx
+ cos sec x. (1 + cos x ) =
+
=
+
=
cos sec x. (1 + cos x )
senx
senx
(1 + cos x )
(1 + cos x )
senx
=
=
sen2 x + (1 + cos x )
senx (1 + cos x )
2
(
(
2 (1 + cos x )
2 + 2cos x
2
⎛ 1 ⎞
= 2. ⎜
=
=
⎟ = 2cos sec x
senx (1 + cos x ) senx (1 + cos x ) senx
⎝ senx ⎠
27. (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idênticaa
a) senx
)
b) cos x
)
sen2 x + 1 + 2cos x + cos2 x
sen2 x + 1 + 2cos x + cos2 x
=
=
=
senx (1 + cos x )
senx (1 + cos x )
1 − sen2 x
?
cot gx.senx
d) cossec x
c) tgx
e) cot gx
Solução. Utilizando as relações trigonométricas, temos:
1 − se n 2 x
=
co t g x.se n x
co s 2 x
co s 2 x
=
= co s x
co s x
⎛ co s x ⎞
⎜
⎟ .se n x
⎝ se n x ⎠
8