Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca
UnED Petrópolis - Curso de TELECOMUNICAÇÕES/TV Digital
Disciplina: Matemática para Telecomunicações Prof. Felipe Henriques
2012-2
AULA 8
ROTEIRO:
1.
2.
3.
Função exponencial
Logaritmo e propriedades
dB, dBm.
Função Exponencial:
Na função exponencial, a variável x encontra-se no expoente, por exemplo,
ou y=0,5 x . Podemos definir a função exponencial da seguinte forma:
y=2
x
,
y=3
x+ 4
,
Definição: f : R→ R , y=a x ; a>0, a≠1 .
No caso da representação da função exponencial no plano cartesiano, tem-se duas situações:
1) se a > 0: Nesse caso, a função será crescente;
2) se 0 < a < 1: Nesse caso, a função será decrescente.
Podemos verificar as duas condições [1) e 2)] na figura abaixo.
OBS1: Podemos observar que y (0)=a0=1 , ou seja, a curva corta o eixo y no ponto x = 0; y = 1.
OBS2: O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal, ou seja, a função não tem raízes.
OBS3: Os valores de y são sempre positivos, para potências de base positiva.
E SE a < 0???
A função exponencial é usada comumente quando há uma taxa de variação grande (a função varia
rapidamente), por exemplo no decaimento radioativo de substâncias químicas, no desenvolvimento de
bactérias e micro-organismos.
Exemplo 1: Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após sua
compra, é dado pela seguinte função: v (t )=v 0 . 2−0,2 .t , em que v 0 é uma constante real. Se, após 10
anos, a máquina estiver valendo R$ 12.000,00, determine o valor que ela foi comprada.
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−0,2. 10
v (10)=v 0 .2
=12000
−2
v 0 . 2 =12000
1
v 0 . 2 =12000
2
1
v 0 . =12000
4
v 0=48000.
Logo, a máquina foi comprada pelo valor de R$ 48.000,00.
Exercício:
(1) Numa população de bactérias, há P(t)=109 . 4 3t no instante t medido em horas (ou fração de hora).
Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha
o dobro da população inicial?
→ 10 minutos.
Logaritmo:
Definição: Dados dois números reais positivos, a e b, com a≠1 , existe um único número real x,
de modo que a x =b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a, e indica-se log a ( b) .
Podemos, então, escrever:
x
a =b →x=log a (b),(1≠a>0, b>0)
Note que o logaritmo de b na base a nada mais é que o expoente ao qual se deve elevar o número a
para obter b.
•
•
•
a → base do logaritmo;
b → logaritmando (ou antilogaritmo);
x → logaritmo.
Consequências da definição:
1.
2.
3.
4.
5.
log a (1)=0 ;
log a ( a)=1 ;
log a ( am )=m ;
log a ( b)=log a(c)→b=c ;
log (b)
a
=b .
a
Propriedades dos logaritmos:
1. Logaritmo de produto: log a ( x . y)=log a ( x)+ log a ( y ) ;
x
2. Logaritmo de quociente: log a ( )=log a ( x )−log a ( y) ;
y
3. Logaritmo de potência: log a ( x m )=m . log a (x) .
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Mudança de base:
log (x )
log a ( x )= b
.
log b (a)
Gráfico da função logarítmica:
• Para a > 1, temos uma função crescente;
•
Para 0 < a < 1, temos uma função decrescente.
OBS1: A função logarítmica tem raíz igual a 1, ou seja, o gráfico cruza o eixo x no ponto x = 1; y = 0;
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OBS2: A função logarítmica é a função inversa da exponencial.
dB, dBm:
O decibel é uma unidade muito usada em telecomunicações, eletrônica, áudio. No caso do áudio,
por exemplo, ela é usada pois a escala dessa unidade se aproxima a maneira com o que nosso ouvido
compreende os sinais sonoros.
É uma unidade logarítmica que indica uma proporção de uma quantidade física (geralmente
intensidade ou energia), em relação a um nível de referência. Por exemplo, em relação à potência,
podemos definir a potência em dB da seguinte forma:
P(dB)=10 . log 10 (
P
) (1), em que
P0
P0 é a potência de referência.
Se tivermos uma potência em mW, por exemplo, podemos calcular a potência (em dBm), da
seguinte forma:
P(dBm)=10. log 10[
P (mW )
] (2), ou simplesmente:
1 mW
P(dBm)=10. log10[ P(mW )] .
Na equação (2), a potência está em dBm, pois utiliza-se como referência a potência de 1 mW.
No caso da equação (1), essa também pode ser usada para se calcular, por exemplo a perda em um
enlace de comunicações, sabendo-se a potência de transmissão e a de recepção, podemos usar essa
expressão para calcular a perda devido a atenuação, por exemplo, conforme veremos no exemplo a seguir.
Exemplo:
(1) Tem-se a transmissão de um sinal em uma fibra ótica. De acordo com o fabricante, essa fibra apresenta
um fator de atenuação de 2,7 dB/Km no comprimento de onda de 825 μm. Aplicando-se uma potência de
transmissão de 120 μW, qual seria a potência de saída após 12 Km?
→
N (dB)=32,4 dB
P
N (dB)=10 . log 10 ( e ) .
Ps
P s=0,0069μ W
(2) Calcule, e dBm, as seguintes potências:
a) P1=0 dBm
b) P2=3 dBm
c) P3=6 dBm
d) P4 =−3 dBm
e) P5=−6 dBm
Podemos perceber, através do exemplo (2) que, a cada 3 dB (de ganho), o sinal dobra de potência,
em mW. Por outro lado, a cada 3 dB (de perda) o sinal cai pela metade de sua potência, em mW.
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(3) Segundo a especificação do fabricante de um dispositivo fotossensível, o seu desempenho estará de
acordo com o especificado se o sinal que nele incidir estiver com potência igual ou superior à -96 dBm.
Qual é a potência (em mW) mínima aceitável pelo componente?
Pr=0,251 pW .
→
Operações com dB e dBm:
A unidade dB é uma unidade que relaciona duas grandezas, por exemplo, potências, indicando um
ganho ou uma perda.
•
•
Podemos somar (ou subtrair) dB com dB, ou dB com dBm;
Não podemos somar (ou subtrair) dBm com dBm.
(4) Calcule as seguintes operações: (dica: passe para mW e faça os cálculos)
a) 0 dBm + 3 dB
b) 0 dBm – 3 dB
c) 0 dBm + 0 dBm
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