IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Função Polinomial do 1º Grau [ou Função Linear]
Introdução e Conceitos Básicos
Vamos analisar os casos considerados abaixo:
[Caso 1] Uma panela com água à temperatura de 15ºC é levada ao fogo e observa-se que, a cada 1 minuto, a temperatura
sobe 2ºC. De acordo com os dados, forneça a lei (fórmula) que representa o aumento de temperatura em função do tempo.
Resolução:
Temperatura inicial [T0] : 15ºC
Tempo inicial [t0]: 0 min
Temperatura [ºC]
15
17
19
21
Tempo [min]
0
1
2
3




15
17
19
21
=
=
=
=
15
15
15
15
+
+
+
+
2.(0)
2.(1)
2.(2)
2.(3)
Veja que cada temperatura da tabela acima é dada pela temperatura inicial mais um acréscimo de 2ºC por minuto. Assim,
podemos dizer que a taxa de variação da temperatura pelo tempo é constante e equivale a 2ºC/min. Desta forma, a
temperatura cresce com o passar do tempo e dizemos que a temperatura é uma função crescente do tempo. Por tudo
isso, concluímos que a lei que relaciona o aumento de temperatura em função do tempo é:
T(t) = 15 + 2t , sendo esta, a solução do problema em questão.
[Caso 2] A tabela abaixo retrata um problema de equipes de buscas e salvamento trabalhando para achar excursionistas
perdidos em áreas remotas. Para procurar um indivíduo, membros da equipe se separam e caminham paralelamente uns aos
outros através da área a ser investigada. A experiência mostrou que a chance da equipe de achar um indivíduo está
relacionada com a distância, d, que separa membros da equipe. A porcentagem de achados para várias separações está
registrada na tabela.
Observação: 1 pé = 0,3048 m
Sucesso na busca de indivíduos “perdidos”
Distância de separação “d” [em pés]
20
40
60
80
100
Porcentagem aproximada de achados “P”
90
80
70
60
50
Os dados desta tabela indicam que quando a distância de separação aumenta, uma porcentagem menor dos excursionistas é
encontrada. Como P decresce quando d cresce, dizemos que P é função decrescente de d. Estes dados também mostram
que para cada aumento de 20 pés de distância, a porcentagem cai por 10.
taxa 
p. achados [ P ]
distância [ d ]

50  60
100  80

Portanto a função pode ser assim definida:
 10
20

1

2
P  100 
1
[O sinal negativo mostra que “P” decresce quando “d” aumenta].
2
1
2
d
ou
f (d )  100 
d
2
.
Observação:
As funções apresentadas nos casos acima são funções que têm taxa constante de crescimento ou decrescimento. Uma
função é dita do 1º grau (ou linear) se sua taxa de variação é a mesma em toda parte ou momento. O fato da taxa
de variação ser constante faz com que a representação gráfica destas funções seja uma RETA*, com uma inclinação
única, que depende diretamente da taxa de variação.
Comentário:
Quando se conhece a função (fórmula matemática) de um determinado fenômeno, torna-se possível compreendê-lo melhor
e mais precisamente; construindo uma representação gráfica (caso não se tenha), fazendo estimativas futuras (dependendo
da situação) e entendendo a relação existente entre as variáveis envolvidas, como a taxa de variação, entre outras
informações.
[*] Dependendo do domínio da função do 1º grau, graficamente podemos ter: uma reta, um segmento de reta, uma semi-reta, ou ainda,
um conjunto “discreto” [finito ou infinito] de pontos alinhados.
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Formalização dos Conceitos
Uma função cuja lei de associação é do tipo f(x) = mx + n [ou y = mx + n] com m  ℝ* e n  ℝ é chamada de
função polinomial do 1º grau, sendo “m” o coeficiente angular e “n” o coeficiente linear da reta que representa esta
função graficamente no sistema cartesiano ortogonal.
Veja os exemplos:
 f ( x)  2 x  5
m  2

n  5
 g ( x)  7 x
x
 h( x )  14 
3
m   1

3

n  14
 L( x)  ( 5  4) x  (3 
 yx
m  1

n  0
 P( x) 
 T ( x)  1  x
m  1

n  1
3
 x  2y   0
4
m  7

n  0
m  5  4
n  3  2
2) 
m  8

3

n  4
8 x  12
3
m  1

2

n   3
8

Geometricamente, a função polinomial do 1º grau é representada por uma linha reta oblíqua aos eixos coordenados,
cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , n).
Veja:
Se m > 0  f(x) é crescente
Se m < 0  f(x) é decrescente
y
y
f(x)
f(x)
n
n
x’
0
x
f(x) = mx + n
0
Raiz ou zero
da função
x
x’
Raiz ou zero
da função
coeficiente angular
coeficiente linear
ou
ou
taxa de variação
[constante]
intercepto “y”
Observações:
 O valor da abscissa onde o gráfico corta o eixo “x” denomina-se raiz ou zero da função e indicaremos por x’. A raiz da
função pode ser determinada algebricamente fazendo f(x) = 0. Observe que o ponto de encontro da reta com o eixo das
abscissas tem a forma (x’, 0) e por isso podemos chamar também a raiz x’ de “intercepto x”.
 O valor de n na função, denominado coeficiente linear, também é a ordenada do ponto (0 , n) onde o gráfico corta o
eixo “y” e por isso também podemos chamá-lo de “intercepto y”.
Veja:
Substituindo x = 0 em f(x) = mx + n temos:
f(0) = m(0) + n
f(0) = 0 + n

f(0) = n

(0,n)
 O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau também pode ser representado por “variações” da reta, ou seja, por
uma semi-reta, por um segmento de reta ou ainda por um conjunto finito [ou infinito] de pontos colineares. Essas
configurações gráficas dependerão do domínio associado à referida função, como já estudado anteriormente.
 Nos dois casos gráficos genéricos apresentados acima, temos que: D = ℝ e Im = ℝ.
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Exemplos:
1) Uma barra de aço que se encontrava inicialmente a 30ºC foi resfriada [num ambiente “controlado”] durante 7 minutos. A
função que descreve esse fenômeno linear é: f(x) = – 6x + 30. Abaixo, temos a sua representação gráfica, mostrando a
variação da temperatura da barra em função do tempo, durante o resfriamento.
Pergunta-se:
Temperatura (ºC)
a) A cada minuto decorrido, quanto varia a temperatura da barra? (trata-se
da taxa de variação)
b) Depois de quanto tempo após o início do resfriamento, a temperatura da
barra atingiu 0º C?
30
c) Qual o domínio e o conjunto imagem de tal situação?
0
7
tempo (min)
–12
Resposta (c): Analisando o gráfico acima, podemos escrever:
D = { x  ℝ | 0  x  7 } e Im = { y  ℝ | –12  y  30 }
Note que a função do problema em questão é decrescente.
(observe que a taxa de variação [m] é negativa)
[O exemplo acima foi adaptado do livro: PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. v.1. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2002]
2) Faça um “esboço” [representação simplificada] do gráfico das funções f : ℝ  ℝ, definidas por:
a) f(x) = 2x
b) f(x) = 3x
y
c) f(x) = 4x
y
y
x
d) f(x) = –2x
e) f(x) = –2x + 3
y
x
x
f) f(x) = –2x – 3
y
y
x
x
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x
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g) f(x) = x – 1
h) f(x) = 2x – 3
y
i) f(x) = 3x + 4
y
y
x
x
x
3) Construa o gráfico das funções f : D  ℝ, definidas por:
y
a) f(x) = 2x com D = ℝ
x
b) f(x) = 2x + 1 com D = ℝ
y
x
c) f(x) = –3x + 4 com D = ℝ
y
[apresentando os interceptos “x” e “y”]
x
d) f(x) = –2x – 6 com D = [ –1 , 2 [
y
x
Neste caso temos que: Im = ] –10 , – 4 ]
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e) f(x) = x com D = { –2 , 0 , 1 , 3 }
y
x
Neste caso temos que: Im = { –2 , 0 , 1 , 3 }
Nota:
A função f(x) = x é conhecida como Função Identidade.
Além disso, ela representa a “bissetriz dos quadrantes ímpares” do plano cartesiano ortogonal, quando D = ℝ.
Observações:
 As funções do 1º grau do tipo f(x) = mx + n são chamadas de funções afins. [m  0 e n  0]
 As funções do 1º grau do tipo f(x) = mx são chamadas de funções lineares. [m  0 e n = 0]
 Vale relembrar que, numa função f(x) = mx + n,
 O coeficiente angular da reta “m” pode ser chamado de declividade da reta, ou ainda, de taxa de variação.
 O coeficiente linear da reta “n” pode ser chamado de intercepto y.
 A raiz (ou zero) da função também pode ser chamada de intercepto x.
Determinação da função do 1º grau a partir do seu gráfico
Inicialmente vamos relembrar algumas relações associadas ao coeficiente angular da reta.
Calculando o coeficiente angular “m” através do gráfico:
 Conhecendo o ângulo  [inclinação] formado entre a reta “r” e o eixo “x” [no sentido anti-horário], usa-se:
m  tg 
ou
 Conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB) pertencentes à reta “r”, usa-se: m  tg  
y
y
x

m
yB  y A
xB  x A
B
yB
y

A
yA
n

x’
r
0
Raiz ou zero
da função
xA
x
xB
Observações:
 Variação da inclinação da reta de uma função
do 1º grau: 0    180 com   90º .
x
 Se  = 0  m = 0 tem-se neste caso uma
“função constante” [reta paralela ao eixo “x”].
Considerações Importantes:
Para escrevermos uma função do 1º grau [fórmula matemática] é necessário conhecer basicamente:
 dois pontos quaisquer da reta “r”, ou
 um ponto da reta “r” e o seu coeficiente angular (m), ou
 os coeficientes angular (m) e linear (n) da reta “r”.
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De forma mais detalhada, temos:
 Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB) pertencentes à reta que a
representa graficamente, podemos utilizar dois métodos:
# Substituir as coordenadas dos pontos A e B sucessivamente na expressão y = mx + n e encontrar os valores de “m” e “n”
resolvendo o sistema de equações assim gerado.
# Substituir as coordenadas dos pontos A e B em
x
y
xA
yA 1
1
xB
yB 1
 0 . Resolvendo esse determinante, teremos a função procurada.
 Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo um ponto P(xP , yP) e o coeficiente angular “m” da reta que a
representa graficamente, podemos utilizar:
y  y P  m( x  x P )
 Daí, substituindo as coordenadas de P e o valor de “m”, teremos então a função procurada.
 Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo o coeficiente angular “m” e o coeficiente linear “n” da reta que
a representa graficamente, podemos simplesmente utilizar:
y  mx  n
 Daí, substituindo os valores de “m” e “n” nessa expressão, teremos então a função procurada.
Posições relativas entre duas retas
Considerando duas funções representadas graficamente pelas retas r: y = mr x + nr
Retas Paralelas:
Se
Retas Concorrentes:
r // s
Se
Observação:

rs
e
s: y = ms x + ns
mr  ms

mr  ms
Retas Perpendiculares [Um Caso Particular de Retas Concorrentes]
rs
Se

mr  
1
ou ainda
ms
mr  ms  1
Exemplos:
1) Determine a função geradora do gráfico abaixo:
y
1
–2
0
3
x
–9
Notas:
Analisando o gráfico acima, podemos escrever: D = ℝ e Im = ℝ
A função do 1º grau em questão pode ser classificada como crescente (observe que a taxa de variação [m] é positiva).
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tem-se:
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2) O valor de uma máquina hoje é de US$ 10.000,00 e estima-se que daqui a 6 anos seja US$ 1.000,00. Pergunta-se:
a)
b)
c)
d)
Qual
Qual
Qual
Qual
a função (fórmula matemática) que representa o fenômeno em questão, sabendo que a desvalorização é linear?
a taxa de depreciação (variação do valor “y” em relação ao tempo “x”) da referida máquina?
o valor da máquina após 4 anos?
o Domínio e o conjunto Imagem desta situação?
Valor y (US$)
10.000
1.000
6
0
D={x
Resposta (d):
tempo x (anos)
ℝ|0x6}
Im = { y
 ℝ | 1.000  y  10.000 }
Observação:
A função do 1º grau em questão pode ser classificada como decrescente (observe que a taxa de variação [m] é negativa).
3) Sabe-se que uma reta, no sistema de coordenadas cartesianas, passa pelo ponto P( 3 , 4 ) e tem inclinação de 150º.
a)
b)
c)
d)
a)
Construa o gráfico desta função.
Determine o coeficiente angular da função.
Escreva a função [fórmula matemática] em questão.
Determine a raiz da função [intercepto “x”].
y
0
x
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4) Certo encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 60,00 mais R$ 10,00 por hora de trabalho. Um outro
encanador B cobra um valor fixo de R$ 40,00 mais R$ 15,00 por hora de trabalho.
a) Construa o gráfico das duas funções (valor cobrado “y” em função do tempo “x”) num mesmo plano cartesiano.
b) Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, analise as vantagens na contratação do serviço dos encanadores.
y (R$)
0
x (horas)
5) Sabendo que reta “r” passa pelo ponto P(2, –8) e é paralela à reta “s”, que tem equação s: 6x + 2y = 18, determine a
função que representa a reta “r”.
y
0
2
x
–8
P
s
Exercícios – Função Polinomial do 1º grau
1) Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por:
a) y   x 
1
f) g ( x)  1  x
2
b) f ( x)  2 x  5
g) y  
x
4
c)  x  2 y  3  0
d) F 
9
C  32
h) y  3x
com D = [ –2, +  [
i) h( x)  2 x  2
com D = [ –1, 2 [
5
e) f ( x)  x  3
j) y  1 3x
com D = { x  ℝ | x  0 }
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2) Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por f(x) = x e g(x) = – x.
3) Construa, num mesmo plano cartesiano, os gráficos de f ( x)  x , g ( x)  2 x , h( x)  3x e
para todos D = [–2 , 2] e ao final, observe o comportamento da posição das retas.
j ( x)  1 x considerando
2
4) Construa, num mesmo plano, os gráficos das funções dadas por: f ( x)  x , g ( x)  x  1 , h( x)  x  2 e
j ( x)  x  1
considerando para todas D = ℝ e ao final, observe o comportamento da posição das retas.
5) Duas operadoras de telefonia celular apresentam planos similares para seus usuários. O plano da operadora “V” tem uma
mensalidade no valor de R$ 25,00 e uma tarifa de R$ 0,70 por minuto em ligações locais. O plano da operadora “T” tem
custo de R$ 0,50 por minuto para ligações locais e uma mensalidade no valor de R$ 30,00. Utilizando seus conhecimentos
sobre função polinomial do 1º grau e considerando somente ligações locais, conclui-se que:
a)
b)
c)
d)
e)
O plano da operadora T é melhor, independentemente do tempo de uso do telefone em um mês;
O plano da operadora V é mais vantajoso somente para um uso mensal maior que 25 min;
Para um uso mensal acima de 25 min, os dois planos têm um mesmo custo;
O plano da operadora V é mais vantajoso somente para um uso mensal menor que 25 min
Se nenhuma ligação for realizada no período de um mês, o plano da operadora T tem custo mensal inferior ao plano da operadora V.
6) Determine a função geradora de cada um dos gráficos a seguir.
a)
b)
y
c)
y
6
4●
2
●
–2
d)
y
0
3
x
0
0
30º
x
●
2
x
0
●
3
y
45º
●
●
2
●
e)
y
x
●
1
–2
0
x
7) [GIOVANNI] Determine o valor de p de modo que o gráfico da função f(x) = 3x + p – 2 intercepte o eixo y no ponto de
ordenada 4.
8) Determine as funções do 1º grau que atendem as condições dadas:
a) Tem coeficiente angular igual a –2 e intercepto y igual a 4.
b) A reta é paralela à reta y = 4x – 2 e o seu intercepto y é 7.
c) A reta é paralela à reta 3x + 2y = 5 e passa pelo ponto (–1, 2).
d) A reta é perpendicular à y = 5x + 9 e o seu intercepto y é 6.
e) A reta é perpendicular à x – 4y = 7 e passa por (3 ,– 4).
f) A reta passa pelos pontos (2, 4) e (1, –7).
g) A reta passa por A(–3, 6) e por B(–2, 1).
Observações:
h) O intercepto y é 2 e o intercepto x é – 4.
 Note que a reta em “j” NÃO é uma
função.
i) A reta tem coeficiente angular 2 e a raiz da função é 3.
 A reta em “k” é uma função que
chamamos de CONSTANTE.
j) A reta é paralela ao eixo y, passando pelo ponto (–2, –3).
k) A reta é perpendicular ao eixo y e passa pelo ponto (– 4, 1).
9) [GIOVANNI] Determine “m” de modo que o gráfico da função g(x) = –2x + 4m + 5 intercepte o eixo x no ponto de
abscissa 3.
10) [GIOVANNI] Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = – 8, calcule os valores de m e n.
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11) Dada as equações r: 2x – y – 1 = 0 e s: x – y = 2 , determine:
a) O ponto de intersecção das retas r e s;
b) Os pontos de encontro das retas com os eixos coordenados.
y
12) [GIOVANNI] Dadas as funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1,
calcule os valores de “a” e “b” de modo que os gráficos dessas
funções se interceptem no ponto (1 , 6).
P
2
–4
13) Observando o gráfico ao lado, determine as equações das
retas (funções); as coordenadas do ponto P e os zeros das funções.
1
2
–2
f
x
g
14) [GIOVANNI] Considerando as funções f(x) = 8 – x e g(x) = 3x, determine:
a) as raízes das funções “f” e “g” dadas;
b) as coordenadas do ponto P, que representa a interseção das retas em questão;
c) qual a classificação [crescente ou decrescente] para cada uma das funções.
Custo (R$)
15) O custo C(x) de produção de “x” litros de certa
substância é dado por uma função linear, cujo gráfico está
representado ao lado. Nestas condições, pergunta-se:
520
400
a) O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos
litros?
b) Qual a taxa de variação do custo em função da produção?
0
16) O gráfico ao lado apresenta uma situação de
frenagem, onde a velocidade do veículo varia em função
do tempo. Sendo assim, responda:
a)
b)
c)
d)
8
x (Litros)
v (m/s)
Qual a taxa de variação da velocidade em função do tempo?
Qual a velocidade do veículo no instante 3s?
O que acontece com o veículo após 5s de frenagem?
Qual o Domínio e o Conjunto Imagem do problema?
20
Nota: Para se ter uma melhor noção da velocidade (neste caso),
podemos convertê-la de m/s para km/h, que é a unidade mais
utilizada em nosso cotidiano. Para isto, basta multiplicar o valor
da velocidade em m/s por 3,6 que teremos o resultado em km/h.
0
5
t (s)
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a)
1b)
1c)
1d)
y
y
1e)
F
y
5●
1/2
●
5/2
●
0
x
1f)
3
●
0
x
1g)
–3/2 ●
–160/9
y
0
● –1
x
–1
●
0
0
4
x
–2
●
x
y
y
–1
6
x
–1
0
–1
2●
0
Página 10 de 29
3
0
1j)
y
●
●
–3
C
1i)
6
●
–1
●
x
1h)
y
●
● 32
1/2 ●
0
y
2
x
●
–4
x
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y
2)
3)
f(x)
3
4)
y
h
6
●
y
h
g
2●
45º
45º
3
x
4
g
2
f
1
j
–2
●
–3
g(x)
–2
R$
V
42,50
V(x) = 0,7x + 25
25,00
T(x) = 0,5x + 30
25
2x
5
7) p = 6
4

min
Resposta: “d”
6b) y = –2x + 4
5
8a) f(x) = –2x + 4
8f) f(x) =11x – 18
f
–2
g
–4
h
–6
6c) y = 3x
6d) y  
8b) f(x) = 4x + 7
8g) f(x) = – 5x – 9
13) f(x) =
1
2
x2
3x
2
8h) f(x) 
2
x
2
3x
3
8c) f(x)  
 2
3x
2
3  utilizando valores tabelados


1
8d) f(x)  
2
8i) f(x) = 2x – 6
x
14b) P(2 , 6)
15b) +15 reais/Litro (que é o coeficiente angular da função)
x
5
6e) y = x + 3
8e) f(x) = – 4x + 8
 6
8j) x = – 2 [não é função, é apenas uma relação]
9) m = ¼
10) m = 4 e n = –12
12) a = 2 e b = 5
/ P(4 , 4) / raiz de f(x): x = – 4, raiz de g(x): x =
14a) raiz de f(x): x = 8, raiz de g(x): x = 0
15a) 20 litros
●
1
As retas f, g, h e j são paralelas, pois
têm o mesmo coeficiente angular.
11b) r  eixo x = (1/2, 0) e r  eixo y = (0, –1)
s  eixo x = (2 , 0) e s  eixo y = (0, –2)
e g(x) =
●
–1
●
j
x
8k) f(x) = 1 [É uma função constante que pode ser considerada função do 1º grau]
11a) r  s = (–1, –3)
●
Observação (exercício 4):
30,00
6a) y 
–1
T
●
0
j
1●
● –1
2
5)
●
f
4
3
14c) f(x) é decrescente e g(x) é crescente.
16a) – 4 m/s2 (que é o coef. angular)
16b) 8 m/s
16d) D = { t  ℝ | 0  t  5 } e Im = { v  ℝ | 0  v  20 }
16c) Sua velocidade torna-se “zero”, ou seja, o veículo para.
Para refletir: Não corrigir nossas faltas é o mesmo que cometer novos erros. (Confúcio)
Função Constante
A função constante é um caso particular da função de 1º grau.
Vamos analisar os casos considerados abaixo:
[Caso 1] Em diversas áreas do conhecimento humano, podemos
representar vários fenômenos graficamente. Na Física, temos
como exemplo o movimento uniforme (MU) que é o movimento
caracterizado por manter um móvel sempre com a mesma
velocidade, ou seja, constante. No gráfico (v x t) ao lado, temos
a representação de um veículo em MU, num intervalo de 5h e a
uma velocidade constante de 30 km/h.
Pode-se escrever então a função: v(t) = 30 ou f(x) = 30.
Matematicamente se tem: D = [0 , 5] e Im = { 30 }.
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v (km/h)
30
0
5
t (h)
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[Caso 2] Em um determinado ano, uma empresa em expansão contratou 100 funcionários em março e 100 em outubro.
Em janeiro deste mesmo ano o número de funcionários era 200. Matematicamente, podemos equacionar esta situação como
sendo uma função f : D  ℕ com D = {meses do ano} definida por:
f(x)
 200,

  300,
 400,

se x  { janeiro , fev ereiro }
se x  { março , abril , maio , junho , julho , agosto , setembro }
se x  { outubro , nov embro , dezembro }
Foi solicitada pelo setor de recursos humanos desta firma uma representação visual, de modo a relacionar os meses do ano
com o número de funcionários empregados (meses X funcionários).
Assim temos:
Número de
Funcionários
400
300
200
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Meses do ano (20XX)
[Caso 3] Vamos considerar que uma Litorina [Automotriz] fará uma
pequena viagem partindo de uma estação A até uma estação B. Veja
abaixo, a representação gráfica da velocidade pelo tempo de viagem.
v (km/h)
55
A
B
10
0
50
t (min)
65
No esquema ao lado, podemos trocar a palavra
velocidade por função, e assim identificamos as
três partes da função que compõem o gráfico:
Velocidade Constante

Para:
0  t  10  a função é crescente
Para: 10  t  50  a função é constante
Para: 50  t  65  a função é decrescente

Velocidade Crescente
Velocidade Decrescente
Apenas para complementar, no caso acima temos: D = { t  ℝ | 0  t  65 } e Im = { v  ℝ | 0  v  55 }
Agora observe:
y
3
0
g(x) = 2x + 3
f(x) = 0x + 3
[ com m > 0 ]
[ com m = 0 ] e simplesmente escrevemos: f(x) = 3
x
h(x) = –2x + 3
[ com m < 0 ]
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Formalizando, temos:
Uma função f : ℝ  ℝ cuja lei de associação é do tipo f(x) = n , com n  ℝ é chamada de função constante, pois para
qualquer valor atribuído à variável “x”, sua imagem será sempre a mesma, de valor “n”. Podemos acrescentar ainda, que se
trata de uma função que não é crescente, nem decrescente, mas sim constante, pois o valor da função f(x) não cresce nem
decresce, permanecendo o mesmo, ou seja, sem variar [constante]. Lembre-se que: y = f(x).
Graficamente, tem-se uma reta paralela ao eixo das abscissas, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , n).
Se n > 0:
Se n = 0:
y
Se n < 0:
y
y
n
x
0
0
x
x
0
n
Observações:
Se n = 0, a reta é coincidente com o eixo das abscissas (x), tem-se então que a lei fica sendo f(x) = 0 ou mesmo y = 0.
Vale reforçar que nos casos acima, tem-se que D = ℝ e o conjunto Imagem sempre será do tipo: Im = { n }.
Exemplos:
1) Construa o gráfico da função f(x) = 6 e determine o seu conjunto imagem.
y
x
2) Represente graficamente as funções de Domínio Real, indicadas a seguir.
y
0
g(x) = 14
y
x
y
x
0
h(x) = –5
0
x
y = 7,2
3) Faça o gráfico de g(x) = – 3 com D = ] –1 , 5 ] e escreva o seu conjunto imagem.
y
x
Calcule:
 g(0) =
 g(5) =
 g(–1) =
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4) Construa o gráfico da função: f(x) 
 3x  1 , se x  1

  2 , se x  1
y
Calcule:
x
 f(1) =
 f(5) =
 f(–3) =
D=ℝ
Note que:
e
Im = { y  ℝ | y = – 2 ou y

4}
5) Uma linha de elevadores de carga é construída conforme as seguintes especificações técnicas:
 Quando o elevador tiver capacidade de carga (x) menor ou igual a 1000 kg, será utilizado um conjunto de cabos de aço
de 20 mm de diâmetro para a sua sustentação.
 Quando o elevador tiver capacidade de carga (x) maior que 1000 kg e menor que 3000 kg, será utilizado um conjunto
de cabos de aço com
x
50
mm de diâmetro para a sua sustentação.
D (mm)
Assim, escreva a função D(x) que define o diâmetro dos
cabos de aço em função da capacidade de carga “x” e
construa seu gráfico.
x (kg)
0
[O exemplo acima foi adaptado do livro: PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. v.1. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2002]
Exercícios – Função Constante
1) Construa os gráficos das funções dadas por:
a) f(x) = 4
e) y = 0
b) g(x) = 
c) y = 
40
3
com
d) y = – 3
com
D = ℝ+
D=ℝ
com
com
D={x
ℝ|–4<x 3}
f) h(x) = 51
g) y = – 7
com
D={x
ℝ|x<6}
D = [–5 , 2 [
2) Determine o conjunto imagem para cada uma das funções do exercício anterior.
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3) [GIOVANNI] Em uma cidade, o departamento de água da prefeitura decidiu fazer uma experiência e passou a cobrar as
contas de água dos consumidores com preços fixos para intervalos de consumo. Assim, por exemplo, para qualquer consumo
inferior a 20m3, a conta será de R$ 18,50. Abaixo, você pode ver a lei de formação utilizada para determinar o valor “V” da
conta, em reais, em função do consumo “c”, em metros cúbicos.
 18,50

V (c)   47,50
 59,00

a)
b)
c)
d)
se
0  c  20
se
20  c  50
se
Obs.: O consumo é medido mensalmente.
c  50
Construa o gráfico no plano cartesiano V x c (valor da conta por consumo) determinando o Domínio e o Conj. Imagem.
Quanto pagará um morador que consumir 20m 3 de água em um mês? E se consumir 36,4m3 num mês?
Qual foi o consumo de uma casa cuja conta apresentou um valor de R$ 59,00?
Quanto pagou um morador que supostamente não consumiu nenhuma quantidade de água num mês?
4) [PUCCAMP / Adaptada] Ao lado, pode-se ver parte de um gráfico que
mostra o valor “y” a ser pago (em reais) pelo uso de um determinado
estacionamento por um período de “x” horas. Suponha que o padrão
observado no gráfico não se altere quando “x” cresce. Nestas condições,
pergunta-se:
a) Quanto deverá pagar uma pessoa, por utilizar o estacionamento durante
meia hora? E durante duas horas?
b) Quanto deverá pagar alguém que estacionar das 8h e 46min até às 11h
e 50min?
c) Quanto tempo ficou no estacionamento um carro se o proprietário pagou
R$ 8,00?
d) Quanto pagará um indivíduo que estacionar seu veículo das 22h de um
dia até às 8h e 30min do dia seguinte?
R$
6,5
5
3,5
2
0
1
2
4
3
Horas
5) Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por:
x,
se x  2
 2,
se x  2
a) f(x)  
d) h(x)
b) g(x) 
 2x , se x  1

x  3, se x  1
e)
 2x,

 1 ,
se x  0
c) y 
se x  0
 10 , se x  0

 10 , se x  0
 3 , se x  2

j(x)  1  x, se  2  x  2
 4, se x  2

RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a)
1b)
y
1c)
y
4
1d)
y
y

–5
0
0
x
0
x
1f)
y
1g)
y
2
x

– 40/3
1e)
0
x
3
2a) Im = { 4 }
y
2b) Im = { – 40/3 }
2c) Im = {  }
51
–4
3
0
0
x
0
x
x
–7
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2d) Im = {  3 }
6
2e) Im = { 0 }
2f) Im = { 51 }
2g) Im = { –7 }
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3a) Valor conta (R$)
3a) D = { c
ℝ| c  0} e
Im = { 18,50 ; 47,50 ; 59,00 }
59,00
3b) R$ 47,50 e R$ 47,50
47,50
3c) c  50 m3
3d) R$ 18,50
4a) R$ 2,00 e R$ 3,50
18,50
4b) R$ 6,50
0
20
50
5a)
5b)
y
4c) { x
Consumo (m3)
4d) R$ 17,00
5c)
y
y
2
–3
–2
10
0
x
0
0
1
–2
x
x
–1
–3
5d)
–10
5e)
y
y
3
3
2
1
1
–2
–1
0
ℝ|4<x5}
–2
x
2
0
–1
–2
–4
–4
Para descontrair....
Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. [Sócrates]
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x
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Função Polinomial do 2º Grau [Função Quadrática]
Introdução:
Veja a situação-problema abaixo:
Existem campeonatos de futebol onde cada clube joga 2 vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número “P” de
partidas do campeonato é dado em função do número “x” de clubes participantes. Para efeito de planejamento da
competição, entre outros fatores, o número de partidas que serão realizadas é um dado muito importante. Desta forma,
quantos jogos teremos num campeonato deste tipo, com 24 clubes?
Variáveis envolvidas: Número de partidas  P
Número de clubes  x
Por dedução, montamos a tabela:
Através da análise da tabela, temos que:
Daí, podemos fazer:

Número de partidas
2(2 – 1) = 02
3(3 – 1) = 06
4(4 – 1) = 12
5(5 – 1) = 20

Número de clubes
2
3
4
5
x
x(x – 1) = P
2
P=x –x
ou
P = x(x – 1)
P(x) = x2 – x
Então:
P(24) = (24)2 – 24 = 576 – 24
 P(24) = 552
Logo, teremos 552 jogos numa competição desse formato.
Nota: Observe que a lei [fórmula matemática] que calcula a quantidade de jogos mediante o número de clubes
participantes é um polinômio de 2º grau, que chamaremos de Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática.
Definição:
Função Polinomial do 2º grau é toda função definida pela lei: f(x) = ax2 + bx + c , com a
 ℝ*, b  ℝ e c  ℝ.
Exemplos:
 Na função
2
f (x)  x  4 x  7
2
temos:
a=1
,
b=–4
e
c = 7.
 Na função
g( x )  2 x  1  5 x
temos:
a = –2
,
b=5
e
c = –1.
 Na função
h( x )   x  3x
2
temos:
a = –1
,
b=3
e
c = 0.
temos:
a=1
,
b=0
e
c = –9.
temos:
a=1
,
b=0
e
c = 0.
 Na função
 Na função
2
P( x )  x  9
y  x
2
 Graficamente a função quadrática, com D = ℝ, é representada por uma figura “aberta” e “infinita” denominada parábola.
A parábola pertence a uma família de figuras denominada CÔNICAS. Esta família é composta por figuras delineadas pela
intersecção de um cone [circular reto de duas folhas] por um plano que não passe pelo vértice, chamado de plano secante.
Fazem parte desta família, além da parábola, as figuras: Circunferência, Elipse e Hipérbole. Veja o esquema abaixo:
O fator que determina a diferença para se obter uma das seções cônicas é a inclinação com que o plano secciona o cone.
Nota: A função quadrática tem
inúmeras aplicações nas mais
variadas áreas do conhecimento
humano, tanto na sua forma
algébrica (fórmula matemática)
quanto na forma geométrica
(parábola).
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Curiosidade: A Excentricidade das Cônicas
Apenas como curiosidade, podemos dizer que, para algumas das cônicas [elipse e hipérbole], a excentricidade é um número
que mede o seu “achatamento”. Abaixo temos uma ilustração sobre a excentricidade como fator determinante do tipo de
cônica.
Como variam os valores de “f(x)” de uma Função Quadrática [a taxa de variação NÃO é constante]:
Veja abaixo um (exemplo) comparativo com uma função do 1º grau:
f(x) = x2 +1
g(x) = 2x +1
x
x
g(x)
f(x)
 Taxa de Variação “Muda”
–3
–2
–2
–1
–1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
 Taxa de Variação “Fixa”
Neste caso: m = 2
Note que, para uma função quadrática com DOMÍNIO REAL, haverá um intervalo CRESCENTE e outro DECRESCENTE.
Particularidades:

O gráfico de uma função de 2o grau é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.

Se o coeficiente de x2 for positivo [a > 0], a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

A intersecção do eixo de simetria com a parábola determina um ponto chamado vértice [V].

Se a parábola interceptar o eixo x, então a intersecção define as raízes x1 e x2 da função [para isto, faz-se f(x) = 0].

A parábola intercepta o eixo das ordenadas [y] no ponto (0 , c) [para isto, faz-se: x = 0].
Neste último item, podemos destacar uma característica das funções polinomiais. O intercepto “y” sempre coincide com o
termo independente. Veja:
f(x) = ax2 + bx + c
f(0) = a(0)2 + b(0) + c
f(0) = 0 + 0 + c
f(0) = c

( 0 , c ) é o ponto em que o gráfico intercepta o eixo “y”.
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No esquema abaixo, caracterizamos as diversas possibilidades gráficas:
 = b2 – 4ac > 0
 = b2 – 4ac = 0
 = b2 – 4ac < 0
a parábola intercepta o
eixo x em dois pontos
distintos
a parábola intercepta o
eixo x em um único ponto
a parábola não intercepta
o eixo x
y
y
y
c
c
c
V
V
x1
a>0
x
x2
x
x
x1 = x2 = xV
∄ x1 , x2 ∈ ℝ
V
xV 
y
a<0
x1  x 2
2
y
y
∄ x1 , x2 ∈ ℝ
V
x1
x1 = x2 = xV
x2
x
x
c
c
x
V
V
c
As Coordenadas do Vértice da Parábola e o Conjunto Imagem da Função Quadrática:
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo: V(xV , yV).
O valor mínimo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y  ℝ | y

yV }.
 Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo: V(xV , yV).
O valor máximo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y  ℝ | y  yV }.
Veja:
y
y
a>0
V  [ponto de máximo]
valor máximo  yV
xV
x
valor mínimo  yV
x
xV
V  [ponto de mínimo]
a<0
As coordenadas do vértice V são
Nota:
 x V , y V  , podendo ser calculadas através de:
xV  
b
2a
e
yV  
Δ
4a
.
Se temos o XV de uma função quadrática (conhecida), então podemos calcular o YV fazendo a substituição do valor
numérico do XV na função em questão. Algebricamente, temos a relação:
YV = a(XV)2 + b(XV) + c
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Sobre a “abertura” da concavidade de uma parábola
Observe as ilustrações a seguir e tire suas conclusões em relação ao coeficiente do termo com x2 da função quadrática.
Regra Prática para Construção “Otimizada” de Gráficos de Funções Quadráticas:
Considere a função f(x) = ax2 + bx + c sabendo que o seu gráfico é uma parábola. Assim, é só seguir os passos...
1. Calcule as coordenadas do vértice da parábola  V(XV , YV).
Tem-se que:
XV  
b
2a
e
YV  
Δ
4a
sendo
2
Δ  b  4ac
Podemos usar também: YV = a(XV)2 + b(XV) + c
2. Calcule as raízes [x’ e x”] da função f(x) = ax2 + bx + c , fazendo f(x) = 0 [caso seja necessário].
Para calcular as raízes, usa-se:
x
b
2a
Δ
sendo
2
Δ  b  4ac [Fórmula de Bháskara]
As raízes identificam o(s) ponto(s) de encontro da parábola com o eixo x. Na resolução da equação do 2º grau, pode-se observar que:
Se  > 0  existem 2 raízes reais diferentes. Assim sendo, a parábola “cortará” o eixo x em dois pontos: (x’, 0) e (x”, 0).
Se  = 0  existem 2 raízes reais iguais (raiz dupla). Assim, a parábola “encostará” no eixo x em apenas um ponto: (x’ , 0) que coincide com o vértice V.
Se  < 0  não existem raízes reais. Assim sendo, a parábola não “encontrará” o eixo x.
3. Identifique o ponto onde a parábola “corta” o eixo das ordenadas [eixo y].
Este ponto [pertencente ao eixo y] sempre terá o formato: (0 , c)
4. Identifique a direção da concavidade da parábola:
Concavidade para cima:
a>0
Concavidade para baixo:
a<0
5. Após marcar os pontos encontrados no plano cartesiano, trace então a parábola a partir do vértice.
Lembre-se que a parábola é uma figura simétrica, e que o vértice encontra-se sobre o eixo de simetria, que sempre é paralelo ao eixo y.
V
V
Nota: com um pouco de prática, você conseguirá construir gráficos de funções quadráticas facilmente.
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Exemplos:
y
1) Construa o gráfico das funções abaixo, com D = ℝ.
a) y = x2 – 4
x
Obs.: ● Im = { y  ℝ | y

–4}
● Quando temos na função b = 0, a parábola é simétrica em relação ao eixo “y”.
y
b) f(x) = – x2 + 2x + 3
x
Note que: Im = { y  ℝ | y  4 }
c) g(x) = x2 + 6x + 9
y
x
Note que: Im = { y  ℝ | y

0}
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d) f(x) = x2 – 6x
y
x
e) h(x) = – x2 – 4x – 9
y
Resolução:
–4
 = (– 4)2 – 4.(–1).(–9)
 = 16 – 36
 = – 20  não existem raízes reais [a parábola não “corta” o eixo x]
xV =
yV =
 (4)
4

 2
2(1)  2
 (20) 20

 5
4(1)
4
 V(–2, –5)
–2
0
x
V
Ponto deduzido através do gráfico
–5
–9
Eixo de simetria da parábola
Note que: Im = { y  ℝ | y  – 5 }
2) Um pequeno foguete é lançado de uma base, como mostra o
“esquema” ao lado, descrevendo uma trajetória parabólica de equação
y = – 3x2 + 60x [sendo x e y medidos em metros]. Determinar:
a) a altura máxima atingida pelo foguete;
b) o alcance do disparo;
c) a que distância do lançamento [na horizontal] o foguete atingiu a
sua altura máxima;
d) a que distância do lançamento, o foguete atingiu a altura máxima.
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y
0
x
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3) Determine a função quadrática que graficamente passa pelos pontos A(–1, 0), B(4, 5) e C(2, –3).
80 m
4) [REBELLO] No desenho ao lado, temos a
representação esquemática do sistema de
sustentação de uma ponte pênsil. Assim,
determine [em metros] a altura do tirante “h”.
40 m
30 m
h
Resposta: A altura do tirante é h = 22,5 m.
Para refletir: O que não se busca de maneira correta não se encontra. [Pensamento retirado de um biscoito da sorte chinês]
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Exercícios – Função Quadrática
1) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando o valor máximo (ou mínimo), o ponto de máximo (ou de mínimo) e
o conjunto imagem para cada item.
2
b) g(x)  2x  5x  2
2
2
2
 x2 ,
j) T(x)  
 3 ,
2
e) f(x)  3x  12x
d) y  2x  5x
g) f(x)  x
2
c) h(x)   x  x  2
9
2
a) f(x)  x  9
h) y  2x
se x  0
se x  0
f) y   x  16
2
2
i) g(x)   x  8x  16
 x 1 ,

k) y   x 2  4 ,
 5 ,

se
x  2
se  2  x  2
se
x2
l) y
se x  1
4 ,
 2
 x  x  6 , se  1  x
 2x  1 , se x  3

3
2) Através de uma pesquisa estatística, visando um planejamento estratégico, estima-se que, daqui a x anos, o número de
pessoas que visitarão um determinado museu será dado pela lei N(x) = 30x2 – 120x + 3000, sendo que 0 ≤ x ≤ 20 anos.
Sabendo disso, responda as questões:
a) Atualmente, qual é o número de pessoas que visitam o museu?
b) Quantas pessoas visitarão o museu no 10o ano?
c) Daqui a quantos anos será registrado o menor número de visitantes?
d) Qual será o menor número de visitantes?
e) Faça uma representação gráfica do modelo matemático em questão.
3) O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos telefônicos é dado por C(x) = x 2 – 86x + 2500, onde C(x) é o
custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o
custo seja mínimo?
4) Um corpo lançado verticalmente do solo para cima, tem as suas posições no decorrer do tempo, dadas pela função
horária S = 40t – 5t2 [“t” em segundos e “S” em metros]. Pergunta-se:
a) Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima?
b) Qual a altura máxima atingida?
5) Sabe-se que o lucro total “L” de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que, “R” é a receita total e “C” é o
custo total da produção (em reais). Numa certa empresa que produziu “p” unidades em determinado período, verificou-se
que R(p) = 1000p – p2 e C(p) = 300 + 40p + p2. Nestas condições, determine:
a)
b)
c)
d)
a função L(p);
a produção “p” para que o lucro da empresa seja o máximo possível para esta situação;
o lucro máximo;
o lucro obtido para uma produção de 300 unidades.
Para a Resolução do Exercício 6: Você viu no exercício anterior que Lucro = Receita Total – Custo Total, ou seja, L = R – C.
Num contexto bem simples [onde tudo que é produzido é vendido], podemos dizer que a Receita Total [R] é determinada pela
multiplicação do Preço de Venda do produto [PV] pela quantidade de Unidades vendidas [U] desse produto. O Custo Total [C]
pode ser determinado multiplicando-se o Custo de uma unidade [C1] pela quantidade de produtos ou Unidades fabricadas [U].
Ou seja:
Lucro = [PV]U – [C1]U
6) Um pintor de quadros de uma feira de artesanato calculou que o custo total de uma tela pequena é de R$30,00. Ele
acredita que se vender cada tela por “x” reais, venderá, por mês, (90 – x) telas. [Considere que: 0 < x < 90].
a) O lucro L obtido pelo pintor é função do preço de venda x. Escreva a lei que define L(x).
b) Qual será o lucro mensal se o preço de venda de cada tela for de R$ 40,00?
c) Para que valor de x o pintor terá lucro máximo? Qual será esse lucro?
7) Determinar dois números cuja soma seja 70 e o produto seja o maior possível.
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8) Qual a área máxima que pode ter uma superfície retangular de perímetro igual a 40 cm?
9) Em uma fazenda, o seu proprietário precisa construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo de apenas 30 metros
de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Pergunta-se:
a) Qual será a área máxima desse cercado?
b) Quais as dimensões deste galinheiro de maior área?
10) [UFOP – MG] Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 h. Suponhamos que, neste dia, a
temperatura f(t) em graus Celsius era uma função do tempo t, medido em horas, dada por f(t) = – t2 + bt – 160, quando
8  t  20. Obtenha:
a) o valor de b;
b) a temperatura máxima atingida nesse dia;
c) o gráfico de f.
11) O gráfico da função f(x) = 3x – 2 intercepta o gráfico da função g(x) = x2 em dois pontos. Quais são estes
pontos?
12) [VUNESP / Adaptada] Duas plantas de mesma
espécie A e B, que nasceram no mesmo dia, foram
tratadas desde o início com adubos diferentes. Um
botânico mediu todos os dias o crescimento (em
centímetros) destas plantas. Após 10 dias de
observação, ele notou que o gráfico que representa o
crescimento da planta A é uma reta e o que
representa o crescimento da planta B pode ser
Altura y
(cm)
Planta B
24 x  x
. Um esquema
12
3
a) a “lei” que descreve o crescimento da planta A;
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma
altura e qual foi essa altura.
0
descrito pela função y 
Planta A
2
desta situação está apresentado ao lado. Calcule:
2
Tempo x (dias)
13) [GIOVANNI] Determine a função quadrática y = ax2 + bx + 5 correspondente ao gráfico abaixo:
y
9
V
Lembre-se que: x V  
2
b
2a
x
14) Determine a função quadrática que passa pelos pontos A(0, 18), B(2, 10) e C(–3, 0).
15) Sabendo que f(1) = 4 e que a função f(x) = ax2 + bx + c passa pelos pontos (2, 0) e C(3, –2), determine o valor de
S = a.b.c.
40 m
16) [REBELLO] Para retificar um rio, foi construído
um canal de formato parabólico, conforme a figura
ao lado. Sabendo que a profundidade máxima do
canal é de 12 m, determine a largura do canal a cada
4 m de profundidade.
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17) [REBELLO] O centro de gravidade de um golfinho saltador
descreve uma trajetória parabólica, conforme a figura ao lado.
Considerando as medidas apresentadas no desenho, determine a
altura máxima atingida pelo golfinho na situação em questão.

18) [REBELLO] Um foguete experimental é disparado do topo
de uma colina, toca a extremidade superior de uma árvore,
sem mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura a
seguir. Determine:
a) a altura máxima atingida;
b) a distância do ponto em que o foguete passa pela altura máxima até o
topo da árvore.
Reflita sobre isto: O mundo é um lugar perigoso de se viver, não por causa daqueles que fazem o mal, mas sim por causa daqueles que
observam e deixam o mal acontecer. [Albert Einstein]
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
y
1a) f(x) = x2 – 9
1e) f(x) = –3x2 + 12x
 = 36
 = 144
0
 Valor mínimo = –9
 Ponto de mínimo  (0, –9)
 Im = { y  ℝ | y  –9 }
y
–3
V
V
12
x
3
 Valor máximo = 12
 Ponto de máximo  (2, 12)
 Im = { y  ℝ | y  12 }
–9
0
4
y
2
x
1b) f(x) = 2x2 – 5x + 2
=9
1f) y = –x2 – 16
2
 Valor mínimo = –9/8
 Ponto de mínimo  (5/4, –9/8)
 Im = { y  ℝ | y  –9/8 }
 = – 64
5/4
0
½
 Valor máximo = –16
 Ponto de máximo  (0, –16)
 Im = { y  ℝ | y  –16 }
V
2
1c) f(x) = –x + x – 2/9
y
 = 1/9
 Valor máximo = 1/36
 Ponto de máximo  (1/2, 1/36)
 Im = { y  ℝ | y  1/36 }
1/3 ½ 2/3
V
–16
–17
x
1g) f(x) = x2
 = 25
–5/4
0
–5/2
V
y
=0
y
1d) y = 2x2 + 5x
 Valor mínimo = –25/8
 Ponto de mínimo  (–5/4, –25/8)
 Im = { y  ℝ | y  –25/8 }
1
V
1/36
–2/9
–1
x
x
2
–9/8
y
x
4
 Valor mínimo = 0
 Ponto de mínimo  (0, 0)
 Im = { y  ℝ | y  0 }
–25/8
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1
–2 –1
1
2
x
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2a) 3000 pessoas
=0
2e)
Visitantes
Gráfico fora de proporção!
y
1h) y = 2x2
2b) 4800 pessoas
8
12600
2c) Daqui a 2 anos
 Valor mínimo = 0
 Ponto de mínimo  (0, 0)
 Im = { y  ℝ | y  0 }
2d) 2880 visitantes
2
–2 –1
1
3000
x
2
2880
y
–8
1i) g(x) = – x2 – 8x – 16
–4
0
20
anos
0
x
V
=0
2
3) 43 aparelhos
4a) 4 s
4b) 80 m
5a) L(p) = – 2p2 + 960p – 300
 Valor máximo = 0
 Ponto de máximo  (– 4, 0)
 Im = { y  ℝ | y  0 }
5b) p = 240 unidades (XV)
–16
5c) Lucro máximo = 114.900 reais (YV)
5d) L(300) = 107.700 reais
1j)  Ponto de mínimo  infinitos pontos: (x , –3) com x < 0
 Im = { y  ℝ | y  0 ou y = –3 }
 Valor mínimo = –3
6a) L(x) = – x2 + 120x – 2700
y
6b) R$ 500,00
6c) x = 60 reais e L(60) = 900 reais
4
V
0
x
2
7) 35 e 35
8) 100 cm2
9a) 112,5 m2
9b) 15 x 7,5 m
10a) b = 28
10b) temper. máxima = 36 ºC (YV)
10c)
–3
temperatura (ºC)
1k)  Valor máximo = 5
 Ponto de máximo  infinitos pontos: (x , 5) com x > 2
 Im = { y  ℝ | y < –3 ou 0  y  4 ou y = 5 }
V
36
y
5
4
V
0
–3
8
14
20
tempo (h)
0
x
2
–2
11) Os pontos são: (1, 1) e (2, 4)
–3
–4
12a) y 
2
12b) Atingiram a mesma altura, de 9 cm, no 6º dia.
1l)  Im = { y  ℝ | –25/4  y < 0 ou y  5 }
 Ponto de mínimo  (1/2 , –25/4)
y
 Valor mínimo = –25/4
13) y = – x2 + 4x + 5
5
14) f(x) = – 2x2 + 18
0
15) S = –70
16) profundidade “zero”  largura do canal = 40 m
1/2
–1
3x
3
profundidade 04 m  largura do canal  32,7 m
x
profundidade 08 m  largura do canal  23,1 m
–4
–6
–25/4
profundidade 12 m  largura do canal = “zero”
V
17) 3,2 m
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18a)  29,3 m
18b)  28,9 m
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Curiosidade: A Catenária
Existem duas formas geométricas que são muito parecidas: a
parábola e a catenária. As curvas representadas nas figuras [1]
e [2] ao lado, têm a mesma longitude, no entanto, as primeiras
são catenárias e as segundas, parábolas.
A diferença é perceptível, embora sutil. Veja que na segunda
figura, as curvas são mais pontiagudas. Quando a curva não é
muito pronunciada, a única forma de distinguir uma catenária de
uma parábola é através das respectivas equações.
Assim, em situações digamos “simples”, podemos modelar um
problema matematicamente fazendo uso de uma parábola e não
de uma catenária, obviamente considerando uma aproximação
razoável. Faríamos isso, pois a catenária necessita de uma
função “transcendente” para representá-la analiticamente e a
parábola, na posição em que aparece na figura ao lado, pode ser
representada analiticamente por uma função quadrática, como
acabamos de estudar.
Matematicamente falando, a catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma
corda [ou cabo] suspensa pelas suas extremidades e sujeita à ação da gravidade. A palavra catena significa “corrente”.
A figura ao lado apresenta uma catenária [ou cabo
pendente] como um cabo telefônico [ou de tv, por
exemplo] estendido entre as duas torres, e pendendo
livremente devido ao seu peso. Note que a figura está
posicionada num sistema de coordeandas cartesianas.
Figura: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009.
Agora, veja abaixo que a equação da curva catenária é dada por uma função hiperbólica:
x

a
y  a.cosh 
y
Sendo que a sua equivalente forma exponencial é:
a
2

 ex/a  e x/a
Abaixo temos catenárias para diferentes valores de “a”.
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[onde “cosh” é o cosseno hiperbólico]

[onde “e” é o número de Euler]
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Aspectos Históricos:
O problema de descrever matematicamente a forma da curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ação
exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei, que propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola. Aos 17
anos de idade, Huygens mostrou em 1646 de que a conjectura era falsa. Em 1690, Johann Bernoulli relançou o problema à
comunidade científica. A resolução do problema foi publicada independentemente em 1691 por John Bernoulli, Leibniz e
Huygens.
Referências [acessadas em 17/08/2011]:
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Caten%C3%A1ria
 http://sosmatematica.com.sapo.pt/mundomatematico/catenaria.htm
Curta se puder...
Espaço para anotações:
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