ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA DISCRETA
1o TESTE (Turma nocturna)
2o Semestre
Curso: LEI
Data: 21 de Abril de 2010
2009/2010
Duração: 2h
Instruções:
Leia atentamente a prova nos 15 minutos previstos para esse efeito.
Poderá colocar dúvidas nesse período.
Não deverá responder a diferentes grupos de questões numa mesma folha
de resposta.
É obrigatória a apresentação de um documento de identi…cação.
O abandono da sala em caso de desistência só poderá efectuar-se decorrida uma hora a partir do início da prova.
Não se aceitam respostas escritas a lápis.
Justi…que convenientemente todas as respostas.
I
Diga, justi…cando adequadamente, se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
[1,0]
1. O quociente da divisão de
145 por
8é
[1,5]
2. Se a é um número inteiro ímpar, então 8 divide a2
[1,0]
3. Para quaisquer a; b 2 Z e p 2 N, se pjab então pja ou pjb:
[1,0]
4. Dados a; b 2 Z e m; d 2 N; se a
18:
1.
b(mod m) e djm, então a
b(mod d):
II
[1,5]
1. Utilizando o princípio de indução, mostre que
1
1! + 2
2! + 3
3! +
+n
1
n! = (n + 1)!
1;
8n 2 N.
2. Determine:
[1,0] (a) A representação do número 1972 na base 12.
[1,5] (b) A base
do sistema de numeração sabendo que (164)10 = (20002) :
3. Considere os inteiros a = 2100 e b = 378:
[1,0] (a) Utilizando o algoritmo de Euclides, calcule mdc(a; b):
[1,5] (b) Obtenha todas as soluções da equação ax + by = 126:
[1,0] (c) Determine as decomposições de a e b em factores primos e utilize-as para obter
mmc (a; b) :
III
[1,0]
1. Determine os algarismos a e b de modo que o inteiro 4a1b seja simultaneamente
divisível por 5 e por 9.
[1,5]
2. Mostre que o resto da divisão de 10
[2,0]
3. Determine, justi…cando, a menor solução positiva do seguinte sistema:
3447 + 58 por 9 é 8.
7x 9(mod 17)
:
x 16(mod 7)
IV
[1,5]
1. Utilize o (pequeno) teorema de Fermat para determinar 0
a 292 + 345 (mod 19):
[2,0]
2. Dados a 2 Z e um número primo n, demonstre que an
2
a(mod n):
a < 19 tal que