Cálculo IV – ZEROS DAS FUNÇÕES REAIS
Objetivos:
Aplicar algoritmos numéricos para determinação dos zeros das
funções reais .
3.1 – Introdução
3.2 – Fase I – Isolamento
3.3 – Fase II – Refinamento
3.3.1 – Critério da Parada
3.3.2 – Métodos Iterativos para se
obter os zeros Reais das funções
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3.1 – Introdução
Na área de exatas, as mais diversas situações a resolução
de equação do tipo f(x)=0.
R
E
v=g(i)
Lei de Kirchhoff
Neste
circuito
há
um
dispositivo não linear onde a g
é uma função da corrente
elétrica não linear
E  Ri  g (i)  0
É um polinômio de 3º grau
Portanto x é um zero da função f(x) ou raiz da equação
f(x)=0 se f(x)=0
Em alguns casos as raízes podem se complexas
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3.1 – Introdução
Graficamente o zero das funções reais constituem os pontos das
abcissa que intercepta o eixo x.
f(x)
f(x)
x1
x2
x1
x
x2
x3
f(x)
x1
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x2
x3
x
x
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3.1 – Introdução
A questão é:
Como obter as raízes reais de uma
equação qualquer?
Para equações de 1º e 2º graus e equações que possam
ser reduzidos a equações deste tipo, há soluções
analíticas.
Para equações de maior grau e funções não lineares o
problema se torna mais complexo e não há solução
exata.
De qualquer forma, utilizando-se uma máquina
adequada podemos encontrar as raízes aproximadas
com precisão pré fixada.
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3.1 – Introdução
Desta forma o ideal é:
 Obter uma aproximação inicial da raiz;
 Refinar essa aproximação com processos
iterativos
Portanto, o método numérico constitui-se em duas fases:
Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes:
Consiste em definir o intervalo que contém a raiz.
Fase II – Refinamento: Após a fase I, realizar uma
melhora sucessiva até obter a raiz dentro de uma
precisão pré fixada.
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3.1 – Isolamento das Raízes
Faz-se a análise teórica e gráfica de f(x).
Graficamente:
Teorema I: (Cauchy-Bolzano)
f(x)
Seja f(x) uma função no intervalo [a,b]
Obs1: se f(a)f(b)<0 então existe pelo
menos um x=x entre a e b em que
f(x)=0
f(x)
a
a
x
b
x
f(x)
x1
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x2
a
b
x
x1
x2
x3b
x
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3.1 – Isolamento das Raízes
No caso do teorema 1, se f’(x) existir e
permanecer com o mesmo sinal de (a,b) então
este intervalo contém um único zero para f(x).
f(x)
f(x)
a
b
x
b
x
f’(x) > 0, x  [a,b]
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a
x
f’(x) < 0, x  [a,b]
x
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3.1 – Isolamento das Raízes
Forma de isolar as raízes:
Tabelar f(x) para vários valores de x;
 Examinar o sinal de f’(x) onde houve a mudança de
sinal.
Exemplo 1:
a) f(x)=x3-9x+3
- -100 -10 -5 -3 -1
x
f(x) - + +
0
+
Cada
um
dos
f(x) é contínua intervalos contém
para x R. pelo menos um
zero.
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1
-
2
-
3
+
4
+
5
+
Como a função é do 3º
grau pode-se afirmar
que há apenas uma raiz
em cada intervalo
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3.1 – Isolamento das Raízes
Exemplo 2:
b) f ( x) 
x  5e  x
x
0
1
2
3
...
f(x)
-
-
+
+
...
f(x) admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2]
1
x
f ' ( x) 
 5e  0, x  0
Análise do sinal de f’(x)
2 x
f(x) admite um único zero em todo seu domínio de
definição, localizado no intervalo (1, 2).
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3.1 – Isolamento das Raízes
Obs2: se f(a)f(b)>0Podemos ter várias situações
como por exemplo:
f(x)
f(x)
a
b
a
x
x
b
x
f(x)
a
x1
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x2
b
x
Neste caso é necessário a
análise gráfica da função
f(x) ou da equação f(x)=0.
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3.1 – Isolamento das Raízes
Os processos de análise gráfica são os seguintes:
i)
Esboçar o gráfico de f(x) e localizar as abcissa dos
pontos onde a curva intercepta o eixo x.
ii) A partir da equação f(x)=0 obter a equação
equivalente g(x)=f(x) , esboçar o gráfico de ambas
as funções no mesmo plano cartesiano e localizar
os ponto x onde as curvas se interceptam, pois
neste caso: f(x)=0  g(x)=h(x).
iii) Usar programas que esboçam gráficos de funções
disponíveis em algumas calculadoras ou softwares
matemáticos.
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3.1 – Isolamento das Raízes
• Estudo Detalhado do Comportamento de uma
Função a partir de seu Gráfico
 Domínio da função
 Pontos de descontinuidade
 Intervalos de crescimento e decrescimento
 Pontos de máximo e mínimo
 Concavidade
 Pontos de inflexão
 Assíntotas da função
(Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)
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3.1 – Isolamento das Raízes
Análise gráfica:
Exemplo 3: Uso do método (i)
f(x) = x3 – 9x +3
f(x)
f’(x) = 3x2 - 9
f’(x) = 0 <=> x = 
x
-4
-3
 3
-1
0
1
3
2
3
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f(x)
-25
3
13,3923
11
3
-5
-7,3923
-7
3
3
x1
-4
-3
x3
x2
-2
-1
1
2
3
4
x
x1  (-4, -3); x 2 (0, 1); x 3 (2, 3)
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3.1 – Isolamento das Raízes
Análise gráfica:
Exemplo 4: Uso do método (ii)
f(x) = x3 – 9x +3
y
g(x)
g(x) = x3
h(x)
x 3  (2, 3)
h(x) = 9x -3
x1  (-4, -3)
-4 x1 -3
-2
-1
x21
2 x3 3
x 2  (0, 1)
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4
x
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3.3 – Fase II – Refinamento
Métodos Iterativos são sequências
de instruções repetitiva em ciclos
Cada nova
Iteração utiliza
o resultado do
ciclo anterior
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3.3 – Fase II – Refinamento
INICIO
Dados Iniciais
Cálculos Iniciais
K=1
Calcular nova
Aproximação
Está aproximação
está próxima o
suficiente da raiz
exata?
N
Cálculos
Intermediários
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S
Cálculos
Finais
FIM
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3.3.1 – Critério de Parada
Há duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre
levam ao mesmo resultado:
x é raiz aproximada com precisão  se:
i)
x x  
ou
Como efetuar o teste (i)
se não conhecemos x?
f (x)  
ii )
• Uma forma é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada
iteração.
x  [ a, b]
• Ao se conseguir um intervalo [a,b] tal que
e
ba 
f(x)
a
x
b – a< 
b
x
então x  [a, b], x  x   
x  [a, b]
Pode ser tomado como x
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3.3.1 – Critério de Parada
Nem sempre é possível satisfazer a condição (i) e (ii).
f(x)
em x tem-se
x
mas
x
f(x)
f (x )  
 x  
x  x   mas
x
x
f (x )  
x
x
x
Os métodos numéricos são
desenvolvidos para satisfazer um
dos dois critérios.
f (x )  
x x  
x
x
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f(x)
x
Dependendo da ordem
de grandeza, aconselhase utilizar o erro relativo:
x  x se
onde
f (x)

L
L  f ( x)
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3.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais
das funções
I – Método da bissecção.
•Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0.
• Supor, por simplificação, a existência de uma
única raiz.
Objetivo: Reduzir a amplitude do intervalo que
contém a raiz até atingir a precisão requerida:
(b-a)<, dividindo-se sucessivamente o [a,b] ao
meio.
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3.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções
I – Método da bissecção.
Graficamente:
f(x)
a1
a0
a
a2 a3
x1 x2
Iterações:
a0  b0
x0 
2
 f (a0 )  0  x  (a0 , x0 )

 
f
(
b
)

0

   a1  a0
0
 f ( x )  0  b1  x0
0

 
a1  b1
x1 
2
 f (a1 )  0  x  ( x1 , b1 )

 
 f (b1 )  0    a2  x1
 f ( x )  0  b2  b1
1

 
b0
x xb01
b2
b3
b
 f (a2 )  0 x  ( x2 , b3 )
a b
x2  2 2  f (b2 )  0    a3  x2
2
 f ( x )  0  b  b
2

  3
2
a3  b3    x  a3 ,b3 
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3.3.2 – Métodos Iterativos para se obter os zeros Reais das funções
I – Método da bissecção.
Exemplo:
Achar o zero aproximado da função f(x)=xlog(x)-1
que possui um zero no intervalo [2,3] com =0,125.
 f (2)  0  x  (2;5,3)
23

 
x0 
 2,5 f (3)  0    a1  2,5
2
 f (2,5)  0  b  3

  1
 f (2,5)  0  x  (2,5;2,75)
2,5  3

 
x1 
 2,75 f (3)  0    a2  2,5
2
 f (2,75)  0  b  2,75

  2
 f (2,5)  0  x  (2,5;2,625)
2,5  2,75

 
x2 
 2,625 f (2,625)  0   a3  2,5
2
 f (2,75)  0   b  2,625

  3
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I – Método da bissecção.
Algoritmo:
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Seja f(x) contínua em [a,b]/f(a)f(b)<0.
1)Dados iniciais:
a) Intervalo [a,b]
b) precisão 
2) Se (b-a)<, então escolha para x qualquer x X[a,b]. Fim.
3) K=1
4) M=F(a)
5)x=(a+b)/2
6)Se M.f(x)>0, faça a=x. vá para passo 8.
7) b=x
8) Se (b-a)<, escolha x qualquer X[a,b]. FIM.
9) K=K+1. Volte para o passo 5.
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I – Método da bissecção.
Condições de parada
Se os valores fossem exatos
● f(x) = 0
● (b k– ak)= 0
Caso contrário
●|f(x)|  
● |(bk – ak)|  
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I – Método da bissecção.
Estimativa do número de iterações
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• Dada a precisão  e o intervalo [a,b] a estimativa do
número de iterações é obtido como se segue:
bk 1  ak 1 b0  a0
bk  ak 
 k
2
2
• Deve-se obter o valor de k tal que: bk  ak  
b0  a0
b0  a0
k
 2 

k
2

k log 2  log( b0  a0 )  log  
log( b0  a0 )  log 
k
log( 2)
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I – Método da bissecção.
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Observações finais:
• Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e f(a).f(b)<0 este
método vai gerar uma sequência {xk} que converge
para a raiz. É sempre possível obter um intervalo que
contém a raiz da equação em estudo, sendo que o
comprimentos deste intervalo final satisfaz a precisão
requerida.
• As iterações não envolvem cálculos laboriosos. A
amplitude de cada intervalo gerado é a metade da
amplitude do intervalo anterior;
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I – Método da bissecção.
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Observações finais:
• A convergência é muito lenta pois o intervalo inicial é
tal que b0-a0>> e se  for muito pequeno, o número
de iterações tende a ser muito grande como por
exemplo:
b0  a0  3

k

24
.
8

k

25
.

7
  10 
• O algoritmo apresentado pode incluir também o teste
de parada com o módulo da função e o número
máximo de iterações.
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