Laboratório de Física
EXPERIMENTO Nº02: GRÁFICOS
INTRODUÇÃO: Um gráfico deve mostrar a relação entre duas quantidades
variáveis sendo uma representação diagramática de modo como varia uma
em relação à outra. Quando a relação entre as duas variáveis corresponde a
uma linha reta no gráfico, a inclinação dessa reta, bem como a interseção
com um dos eixos coordenados são informações valiosas. Este aspecto é
particularmente explorado na análise gráfica.
Por outro lado, um gráfico pode ser muito útil como auxílio visual,
revelando tendências difíceis de serem constatadas diretamente em dados
tabelados. Na figura abaixo, verifica-se facilmente que próximo a 15 ° há
um decréscimo no incremento da velocidade da água numa calha em
função do ângulo formado pela calha com a horizontal.
50
40
30
V
20
10
0
5
10
15
20
25
30
35

FIGURA 1: Velocidade da àgua em uma calha em função do ângulo de inclunação.
Um outro exemplo de auxílio visual de gráficos é a comparação de
resultados experimentais com previsões teóricas, quando ambos são
lançados no mesmo gráfico.
O estabelecimento de uma relação empírica entre duas quantidades é,
também, uma aplicação importante do gráfico. Descoberta de relações
empíricas são freqüentes; com o transcorrer do tempo elas podem ser
absorvidas pela estrutura teórica da ciência. A lei de Boyle, que expressa a
relação entre a pressão e o volume de um gás perfeito, foi um
descobrimento empírico, logo confirmado por investigações que
conduziram à formulação da teoria cinética dos gases.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: Para representar graficamente a relação entre
duas variáveis costuma-se observar algumas regras práticas que são
tradicionalmente adotadas:
a) No eixo horizontal (abscissa) é lançada a variável independente,
isto é, a variável cujos valores são escolhidos pelo experimentador;
no eixo vertical (ordenada) é lançada a variável dependente, isto é,
aquela obtida em função da primeira, em outras palavras, lança-se a
causa no eixo horizontal e o efeito no eixo vertical.
b)Deve-se agrupar convenientemente os pontos experimentais, pela
escolha de uma escala adequada. O gráfico da figura 2 é de pouca
utilidade se comparado com o da figura 2b.
150
90
80
Y
Y
100
70
50
60
0
50
0
5
10
X
15
5
6
7
8
9
X
FIGURA 2: A escolha da escala no gráfico (a) resultou um excessivo agrupamento dos
pontos. Os mesmos resultados foram lançados numa escala expandida em (b).
c)A escala deve ser simples. Adotam-se valores múltiplos ou submúltiplos de números inteiros (0.1; 0.2; 0.3; ...10; 20; 30; ...1; 2; 3;
...). Uma escala complicada e/ou confusa pode dificultar muito a
obtenção rápida de informações a partir do gráfico.
d) A escala adotada num eixo não necessita ser igual à do outro.
e) A escolha da escala pode, às vezes, ser imposta por razões teóricas.
Por exemplo, desejando-se saber os resultados da figura 2, se os
mesmos satisfazem a relação y= kx, deve-se incluir a origem (0,0 )
no gráfico, neste caso, a escala adotada em 2b seria inconveniente.
f)O traçado da curva deve ser suave e contínuo, adaptando-se melhor
maneira aos dados experimentais, a menos que não se trate de uma
função contínua. Unir pontos com traçados retos implica em que a
relação entre as duas grandezas tenha uma forma quebrada, o que
exceto em circunstâncias especiais, é pouco provável ocorrer.
g) Quando se trabalha com números muito grandes ou muito
pequenos, a escala pode ser simplificada lançando-se as potências de
10 juntamente com as unidades sobre os eixos ou usando-se
múltiplos ou sub-múltiplos das unidades (figura 3).
1,5
25
20A
20
15A
1,0
-4
I (mA)
B(10 T)
15
10A
0,5
10
5
0,0
0
0
5
10
15
-1
1/r (m )
20
25
300
350
400
450
T (K)
FIGURA 3: (a) Variação do módulo do vetor indução magnética com a distância, para
diferentes valores de corrente elétrica. (b) Variação da corrente elétrica em função da
temperatura para um semicondutor.
h) Símbolos diferentes como: , , , , são empregados para
distinguir pontos experimentais relativos a condições diferentes
(figura 3 a).
ANÁLISE GRÁFICA: Feita a representação gráfica de duas grandezas, a análise
do gráfico pode conduzir a uma relação matemática, embora isso nem
sempre seja possível. Se o gráfico mostrar que tal relação existe, deve-se
continuar a análise a procura do tipo de relação, ou seja, da forma da
equação que defina a curva encontrada.
Uma forma de método analítico é que apenas duas grandezas podem
ser relacionadas de uma só vez. Tanto o experimento como os dados
devem ser ordenados de modo a manter todas as variáveis constantes,
exceto duas, estudando-se a maneira como uma destas afeta a outra.
A equação que descreve uma curva desconhecida nem sempre pode
ser definida com exatidão. Relações do tipo 1/x e 1/x 1/2 facilmente podem
ser confundidas num gráfico. Esta dificuldade desaparece quando se obtém
uma linha reta. A linha reta é, portanto, a chave da análise gráfica. Ela
pode ser identificada com segurança. O problema então é como lançar os
dados no gráfico para obter uma linha reta. Embora não exista um método
geral, há várias maneiras de obtê-la. Normalmente é preciso fazer algumas
tentativas antes de obter uma solução.
a)RELAÇÕES LINEARES: As relações lineares são do tipo y  ax  b , a é o
quociente, y/x denomina-se inclinação da reta, ou coeficiente angular; b o
ponto onde a reta corta a ordenada, ou coeficiente linear.
Quando a reta é traçada sobre uma sucessão de pontos, deve-se
escolher o traçado de modo a deixar alguns pontos acima e outros abaixo.
Convém, entretanto, tomar cuidado de não converter numa reta alguma
curva suave.
O exemplo a seguir mostra como, a partir de gráficos experimentais,
pode-se obter uma relação matemática entre as variáveis envolvidas no
experimento.
Exemplo 1: Numa experiência de dinâmica, montou-se um carrinho sobre um
trilho giratório, impulsionado por um motor elétrico, para verificar o
módulo da força resultante F que atua sobre o carrinho e outras variáveis,
como a massa m do carrinho, o raio R de sua trajetória e a freqüência
angular  do trilho.
FIGURA 4 : A leitura do módulo da força resultante F foi feita no dinamômetro D e a
freqüência controlada com um cronômetro.
Os dados experimentias são apresentados na tabela abaixo.
TABELA 1 : Em cada experimento duas variávies foram mantidas constantes.
R(10-2m) F (9,8 10 3 N )
m(Kg)
(s-1)
F (9,8 10 3 N )
F (9,8 10 3 N )
78
10
110
15
160
20
190
25
230
30
m = 0,20 kg
 = 2,0  s-1
160
0,20
200
0,25
250
0,30
285
0,35
325
0,40
R = 0,20m
 = 2,0  s-1
75
4,18
100
4,83
130
5,71
180
6,61
220
6,98
m = 0,20 kg
R = 0,20m
A partir dos dados tabelados podemos construir gráficos que
apresentam as tendências entre F e R, F e m, F e .
340
240
320
220
240
220
300
200
200
280
180
180
140
120
-3
-3
160
F (9,8X10 N)
F (9,8X10 N)
-3
F (9,8X10 N)
260
240
220
160
140
120
200
100
180
100
80
160
80
60
140
10
15
20
-2
r (10 m)
25
30
0,20
0,25
0,30
m (kg)
0,35
0,40
60
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
-1
 (s )
FIGURA 5: As figuras 5a e 5b representam relações lineares. A curva obtida em 5c indica que a relação
entre F e  não é linear.
Das figuras 5a e 5b pode-se concluir, respectivamente, que F  k1 R e
F  k 2 m onde k1 e k2 são constantes de proporcionalidade (inclinações
dos gráficos). Como o gráfico da figura 5c não resultou numa linha reta é
preciso investigar que tipo de relação existe entre F e . O passo imediato
é supor uma relação do tipo F  k n .
b)RELAÇÕES DE POTÊNCIA: São do tipo y= k x n . Tomando o logaritmo de
ambos os lados, tem-se:
log y= log k+ log. x n.
Esta última equação é a de uma linha reta, cuja inclinação n é
log y
dada por
e cuja interseção com o eixo y é um número do qual develog x
se procurar o antilogarítmo K. O gráfico assim nos permite calcular
facilmente K e n, sendo n um número fracionário, positivo ou negativo.
Convém usar este método sempre que a relação procurada for
desconhecida. Contudo, relações deste tipo e, mesmo outras, quando já são
previamente conhecidas, podem ser lançadas num gráfico de modo a
oferecer diretamente uma linha reta. Assim, por exemplo, senisenr
,ECv 2, Fgr-2, T 2 R 3 , quando lançadas num gráfico, resultam numa
linha reta.
Exemplo 2: Verificar- se- á, agora, se a relação entre F e , do exemplo 1, é uma
relação de potência. Se for o gráfico log F contra log  será uma linha
reta; senão for, deve-se tentar outra relação ou outro método de encontrar
uma linha reta.
O gráfico log F contra log  confirma esta hipótese:
2,4
2,3
2,2
log F
2,1
2,0
1,9
1,8
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
log 
FIGURA 6: A relação entre F e W é uma relação de potência. Os dados são da tabela 4a.
A inclinação n da reta é dada por:
 log F 2,22  1,82
n

2
 log 
0,2
A constante obtida corresponde, com boa aproximação, ao produto
mR, mantido constante durante a experiência em que se estudou a relação
entre F e : mR  0,20kg  0,20m  4  102 kg.m
Portanto nenhuma outra constante é necessária para relacionar P com
R. m e  através de uma equação matemática. Conclui-se, pois, que:
F  mR 2
Neste exemplo a análise gráfica conduziu a uma expressão matemática
para o módulo da força resultante. Confrontando-se mR 2 com ma, onde
a é a aceleração, pode-se obter, inclusive, a partir da relação encontrada, a
expressão da aceleração centrípeta, que é uma aceleração própria do
movimento em estudo. Prevaleceu, nesta análise, uma linha de pensamento
indutivo, pois partiu-se do particular (os dados) para o geral (a relação
matemática encontrada).
c)RELAÇÕES EXPONENCIAIS: São do tipo y= k e ax .
Tomando n em ambos os lados da equação, temse: n y  n k  ax , o que define uma linha reta. Neste caso o gráfico é
ln y
logarítmico apenas no eixo y. A inclinação da reta é: a 
e a
x
interseção com o eixo é um número do qual deve-se procurar o
antilogarítmo k. A equação que relaciona y com x é, então:
n y  n k  ax ,
Y 
n   ax
k
y  keax
sendo k e a determinados no gráfico.
Exemplo 2 : Uma experiência muito simples, cujo resultado revela um
decaimento exponencial da temperatura, consiste em aquecer a água alguns
graus acima da temperatura ambiente e, após colocá-la num ambiente
fechado, controlar como uma temperatura decresce em função do tempo. A
tabela 2.1 mostra dados desse experimento, sendo T a temperatura da água.
Durante a coleta de dados a temperatura ambiente permaneceu constante.
TABELA 2 : Decaimento da temperatura em função do tempo.
t (min.)
0
10
20
30
40
50
60
T(oC)
35,2
33,1
31,5
30,0
28,8
27,6
26,0
nT
3,56
3,50
3,45
3,40
3,36
3,31
3,26
O Gráfico da figura 7 mostra a proporcionalidade entre nT e t.
Observa-se a constante de proporcionalidade deste gráfico é negativa.
Conclui-se, pois, que nT  nT0  kt , de onde
k
ln T  ln T0 3,260  3,555

 4,92 10 3 s 1
(t  0)
60
3,6
3,5
ln T
3,4
3,3
0
10
20
30
40
50
60
70
t (min)
FIGURA 7 :
nT e t são linearmente dependentes.
O valor de T0 obtêm-se da interação da reta com o eixo das ordenadas
cujo antilogaritmo é T0  34,99 .
A equação que descreve este decaimento de temperatura é, pois:
3
3
T
 e  4,9210 t , ou seja, T  34,99e4,9210 t ,
34,99
sem risco de erro esta equação pode ser aproximada para:
3
T  35e510 t
substituindo-se t na equação, pode-se verificar facilmente se ela prevê
corretamente o decaimento de temperatura.
nT0  3,555
Laboratório de Física
EXPERIMENTO Nº 1 – GRÁFICOS
Nome :
Data:
ATIVIDADES:
1 . Quando um gás ideal sofre uma transformação adiabática, a pressão
p e o volume V do gás relacionam-se segundo uma equação pV y  k ,
onde y e k são constantes. Use os dados da tabela abaixo para construir um
gráfico pV e determine o valor de y para o ar.
p (104N/m2)
V (m3)
10,0
1,34
7,5
1,64
5,0
2,19
2,5
3,60
Os dados referem-se à transformações adiabáticas de uma amostra de
ar.
2 . Raios X são parcialmente absorvidos quando passam por uma placa
de chumbo. Os dados da tabela abaixo referem-se ao número de contagens
por unidade de tempo detectadas por um contador GM quando uma placa
de chumbo de espessura X é interposta entre a fonte e o contador.
Determine, através de análise gráfica, a equação matemática que relaciona
C com X
X (mm)
C (min-1)
6
1075
9
925
12
780
15
660
18
570
21
480
A variação da espessura da placa de chumbo afeta o número de
contagens.